精品解析：山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题

2025年高三一模考试 数学试题 2025.02 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A. B. 0 C. 1 D. 7. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ） A. 若的周期为1，则满足性质 B. 若，则不满足性质 C. 若（且）满足性质，则 D. 若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 10. 若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（ ） A. 若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B. 这四点能构成三棱锥的个数为58 C. 若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D. 若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 11. 已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A. 曲线C关于直线对称 B. ， C. 曲线C被直线截得的弦长为 D. 曲线C上任意两点距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 13. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 14. 如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为______； ②四棱锥外接球表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，F为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 18. 定义正方形数阵满足，其中i，. （1）若，求数阵所有项的和T； （2）若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； （3）若，，且，求的值为奇数的概率. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三一模考试 数学试题 2025.02 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的关键是解不等式，注意不要忽略式子中的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 3. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为，，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 4. 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出和的值，再计算即可. 【详解】，， ，， ，化简得，， . 故选：C. 6. 曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 7. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 【详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 8. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ） A. 若的周期为1，则满足性质 B. 若，则不满足性质 C. 若（且）满足性质，则 D. 若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证． 【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错； 选项B，，，所以，所以具有性质，B错； 选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错； 选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数， 所以，所以图象关于直线对称，D正确， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 10. 若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（ ） A. 若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B. 这四点能构成三棱锥的个数为58 C. 若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D. 若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明A是错误的；利用组合数公式求三棱锥的个数，判断B的真假；找出表面积最大的三棱锥判断C的真假；找出连接正方体顶点的两条直线所成角的最小值可判断D的真假. 【详解】如图： 对A：设，则，，所以A不正确； 对B：从正方体的8个顶点中任选4个的选法有中，其中不能构成三棱锥的有：①四个点在正方体的一个面上，即所选四点为：,，，，，共6个；②所选四个点在正方体的相对棱上，即所选的四点为：，，，，，，共6个. 所以所选的四个点可以构成三棱锥的个数为：个，故B正确； 对C：正方体棱长为a，从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是象这样的等边三角形，其边长为，面积为，所以四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大的就是三棱锥这样的正四面体，其表面积为，故C正确； 对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与的所成的角，设为，则，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A. 曲线C关于直线对称 B. ， C. 曲线C被直线截得的弦长为 D. 曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】求出第75百分位数，然后由二项式定理求解． 【详解】已知数据从小到大排列为：，共8个，， 第6个数是3，第7个数是9， ，所以， 展开式中的系数为， 故答案为：80. 13. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 14. 如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为______； ②四棱锥外接球表面积的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】因为到中点的距离等于（定值），且点在平面上方，所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆，进而可求周长；确定四棱锥底面外接圆的圆心及半径，当该点为球心时，四棱锥外接球的表面积最小. 【详解】因为到中点的距离等于，且点在平面上方， 所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的中点运动轨迹长度为； 因为四边形的外心为的中点，所以四边形的外接圆的半径 所以四棱锥外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面的直线上， 设四棱锥外接球的半径为，设球心到四边形的外心的距离为， 则，当时，等号成立， 所以四棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关联 （2）， 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等. 【解析】 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关. 根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. 【小问2详解】 依题意得，， ， 则， 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，F为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由，，，易求， 取的中点M，连结，F为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形为平行四边形. 所以，，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连结，证明四边形为平行四边形即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量求空间角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，所以 所以，又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 以E为原点，所在直线为轴，过E与垂直的直线为轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，， ，所以，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 【答案】（1） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，对参数进行讨论，判断与0的大小即可得到相应的单调区间； （2）依题意，由参数可知只需即可，结合（1）可求. 【小问1详解】 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增； 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 因为存在，使得，只需或， 因为，所以， 所以只需，由（1）知为与中的较大者， 所以或，解得或， 所以， 综上所述，a的取值范围为. 18. 定义正方形数阵满足，其中i，. （1）若，求数阵所有项的和T； （2）若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； （3）若，，且，求的值为奇数的概率. 【答案】（1）0 （2） 由知，，故， 所以也是数阵中的项. （3）若知：， 由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数， 即i与j必定一奇一偶， 当时，的取值情况有4种，故； 当时，的取值情况有8种，故； 当时，的取值情况有12种，故； 当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 综上所述，当且n为奇数时，；当且n为偶数时，. 【解析】 【分析】（1）根据确定的所有取值情况，通过分析的性质，发现以及，从而得出数阵所有项的和为. （2）对进行展开变形，再根据数阵的定义，证得结论成立. （3）先根据以及与具有相同奇偶性，得出为奇数时与一奇一偶，然后分为奇数和偶数两种情况，分别计算的取值情况数，进而计算出概率. 【小问1详解】 若，则的所有取值情况为： 故数阵共99项，由知：， ， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 对于求满足特定条件的数阵所有项的和，先确定数阵中元素的组成情况，再通过分析元素之间的关系（如本题中的对称关系与）来简化求和过程. 证明一个式子是数阵中的项，通常对式子进行代数变形，使其符合数阵元素的定义形式，再结合数阵中参数的取值范围进行判断. 求概率问题，先分析事件发生的条件（如本题中为奇数时与的奇偶性要求），然后根据条件计算满足条件的情况数以及总情况数（利用排列组合知识），最后根据概率公式计算概率.当参数有不同取值情况（奇数或偶数）时，要进行分类讨论. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ， 把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ；②是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，求解即可； （2）①设切线的方程为，由圆O的圆心到直线的距离公式可得，将直线的方程代入双曲线方程，由韦达定理即向量数量积的运算可得，同理可得，进而得到Q，O，R三点共线，由双曲线的对称性即可得证； ②由，可得，再利用向量数量积的运算及圆的性质即可得解. 【小问1详解】 由双曲线C的渐近线方程，可知，即. 把点带入双曲线C的方程得，由，解得， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②是定值，证明如下： 连接，，，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. 【点睛】关键点睛：将直线方程代入双曲线方程，借助韦达定理推出是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $