7.1 条件概率与全概率公式（5大题型） （分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布 7．1 条件概率与全概率公式（5大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：利用定义求条件概率 2 题型二：条件概率的性质及应用 3 题型三：全概率公式 5 题型四：贝叶斯公式 6 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 7 拓展培优练 10 题型一：利用定义求条件概率 1．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·湖北·开学考试）近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（    ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质及应用 4．（2025·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 6．（2025·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三：全概率公式 7．某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 8．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 题型四：贝叶斯公式 9．有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 10．（2025·高三·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 11．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为 （用分数表示或者保留三位小数）. 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为． (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差； (2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率． 13．（2025·广西南宁·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 14．（2025·福建三明·三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 1．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 4．（2025·高三·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·江西九江·期末）如图所示 ，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 9．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 10．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）体育课上，老师把某班同学分成甲、乙两队，分别进行跑步和打篮球活动，公平起见，老师拿出一副扑克牌（共52张，红色和黑色牌各26张，不包括大王和小王），甲、乙两队的队长分别抽取3张牌（抽完不放回），老师随机从两队抽取的牌中各抽取1张牌交换给另一队，两队洗牌后，再各从两队中抽取1张牌交换给另一队，此时两队中黑色牌多的去跑步，红色牌多的去打篮球，若两队的黑色牌一样多，则重新由队长开始抽牌，直到两队的黑色牌数不同．则（    ） A．若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为 B．若乙队先抽牌（每次抽取1张），则在前两张都是红色牌的条件下，第3张也是红色牌的概率为 C．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则甲队去跑步的概率为 D．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则乙队去跑步的概率为 11．（多选题）（2025·高二·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·天津滨海新·阶段练习）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 13．（2025·高三·全国·专题练习）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，．现有某质检部门，对该产品进行质量检测，先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品中抽取一件进行检测．若在该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，则该件产品是从乙工厂抽取的概率为 ． 14．（2025·高二·全国·课后作业）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 15．（2025·山东临沂·一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 . 16．（2025·高二·全国·课后作业）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 17．（2025·高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 18．（2025·高三·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 19．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 随机变量及其分布 7．1 条件概率与全概率公式（5大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：利用定义求条件概率 2 题型二：条件概率的性质及应用 3 题型三：全概率公式 5 题型四：贝叶斯公式 6 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 7 拓展培优练 10 题型一：利用定义求条件概率 1．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 2．（2025·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 所以， 故选：C. 3．（2025·高三·湖北·开学考试）近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”的对立事件是“甲和乙都不前往陆羽故园”， 甲不选陆羽故园有5种选法，乙不选陆羽故园也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去陆羽故园，乙不去， 甲去陆羽故园有1种选法，乙从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去陆羽故园，甲不去， 乙去陆羽故园有1种选法，甲从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：. 题型二：条件概率的性质及应用 4．（2025·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 5．已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 【答案】A 【解析】对A，由，故选项A错误； 对B，根据条件概率的乘法公式得，故B正确； 对C，若、独立，则, ，故C正确； 对D，若、互斥，则， ，D正确. 故选：A 6．（2025·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，故， 而，则，又， 所以. 故选：D 题型三：全概率公式 7．某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 【答案】0.3/ 【解析】设“第天去餐厅就餐”，“第天去餐厅就餐”， 则对立且， 所以． 故答案为：0.3. 8．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 【答案】0.7/ 【解析】设第一天入住无人酒店为事件，第一天入住常规酒店为事件，第二天入住无人酒店为事件B， 则由题意可得， 所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为. 故答案为：0.7. 题型四：贝叶斯公式 9．有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 【答案】0.892 【解析】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”， 由题意知，，，，， 由贝叶斯公式得，所求概率为 ． 故答案为：0.892. 10．（2025·高三·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【解析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 11．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为 （用分数表示或者保留三位小数）. 【答案】0.024/ 【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故答案为：0.024或 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为． (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差； (2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率． 【解析】（1）个苹果中，大果的个数为，小果的个数为， 设大果的单果平均重量为，方差为，小果的单果平均重量为，方差为， 则，，，， 则100个苹果的平均重量为， 100个苹果的方差为： . 故估计果园苹果的单果平均重量为、方差为； （2）记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果， 记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，则“大果是真大果”为， 则，，，， 由全概率公式可得： ， ， 因此，. 13．（2025·广西南宁·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【解析】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故 （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， ,, , , 故. 14．（2025·福建三明·三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 【解析】（1）设事件“种子选手第局上场”， 事件“甲队最终获胜且种子选手上场”. 由全概率公式知， 因为每名队员上场顺序随机，故， ，，. 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. （2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”， ，，， ， 因为.     由（1）知，所以. 所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为. 1．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件表示“零件为一等品”， 事件表示“零件为二等品”， 事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”， 则， 故， 故选:B. 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 3．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【解析】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 4．（2025·高三·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以， 所以， ， 故选：B． 5．（2025·高二·江西九江·期末）如图所示 ，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】列举法：依次将 标识符号为：-1-2-3-4-5-，将它们依次取出， 一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，所有的可能结果如下： （1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4）， （1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2）， （5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16种可能． 其中1，2连在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3）， （1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9种可能．， 故选：D． 6．（2025·高二·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 7．（2025·高二·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记“数字1，3相邻”为事件A，“数字2，4也相邻”为事件B， 则，所以． 故选：B 8．（2025·高二·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】C 【解析】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 9．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【解析】对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二三局胜三种情况， 最终甲获胜的概率为，故A正确； 对B：采用5局3胜制，甲以获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜， 故甲获胜的概率为，B错； 对C：因为，结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为，若采用5局3胜制，甲获胜的概率为，故C正确； 对D：因为，结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为， 甲获胜的条件下，比赛局数可取值为， 由条件概率公式可得： 故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）体育课上，老师把某班同学分成甲、乙两队，分别进行跑步和打篮球活动，公平起见，老师拿出一副扑克牌（共52张，红色和黑色牌各26张，不包括大王和小王），甲、乙两队的队长分别抽取3张牌（抽完不放回），老师随机从两队抽取的牌中各抽取1张牌交换给另一队，两队洗牌后，再各从两队中抽取1张牌交换给另一队，此时两队中黑色牌多的去跑步，红色牌多的去打篮球，若两队的黑色牌一样多，则重新由队长开始抽牌，直到两队的黑色牌数不同．则（    ） A．若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为 B．若乙队先抽牌（每次抽取1张），则在前两张都是红色牌的条件下，第3张也是红色牌的概率为 C．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则甲队去跑步的概率为 D．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则乙队去跑步的概率为 【答案】AC 【解析】选项A：若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为，对． 选项B：设“乙队抽取的前两张都是红色牌”为事件，“乙队抽取的第3张也是红色牌”为事件， 则，，故，错． 选项C，D：第一次交换后，甲队有2张黑色牌，乙队有1张黑色牌， 第二次交换，当甲队被抽取的是黑色牌，对应概率为， 乙队被抽取的是红色牌，对应概率为，则乙队去跑步， 故乙队去跑步的概率为，甲队去跑步的概率为，C对，D错． 故选：AC 11．（多选题）（2025·高二·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意，总情况数为， 符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为， 所以， 对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”， 符合事件的情况有 ①先选定男生甲，再选定男生乙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ②先选定男生甲，再选定女生丙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为， 所以， 对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”， 则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为， 所以， 由条件概率公式可得． 故选：ACD． 12．（2025·高三·天津滨海新·阶段练习）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 【答案】 /0.6 【解析】设袋中黑球的个数为，则白球个数为， 因为从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 ， 所以取出的球全为黑球的概率为，可得， 解得或（舍去）， 所以袋中有4个黑球，6个白球， 记事件“第二次取出白球”，则， 记事件“第一次取出黑球”，则， 所以，即第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为， 故答案为：； 13．（2025·高三·全国·专题练习）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，．现有某质检部门，对该产品进行质量检测，先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品中抽取一件进行检测．若在该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，则该件产品是从乙工厂抽取的概率为 ． 【答案】 【解析】设“抽的产品是优秀等级”，“产品是从甲工厂抽取的”， “产品是从乙工厂抽取的”，“产品是从丙工厂抽取的”， 则由题意可得，，，， 所以， 所以， 所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为， 故答案为： 14．（2025·高二·全国·课后作业）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ． 【答案】 【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥． 所以， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为． 故所求概率为． 故答案为： 15．（2025·山东临沂·一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 . 【答案】 【解析】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西， 例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位， 一开始的状态有六种情况，我们用表示一次调换， 那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：， 第二种初始状态下的变换过程为：， 第三种初始状态下的变换过程为：， 第四种初始状态下的变换过程为：， 第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换）， 第六种初始状态下的变换过程为：， 从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况， 在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态）， 故所求概率为. 故答案为：. 16．（2025·高二·全国·课后作业）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 【答案】/0.4 【解析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 5名同学出场顺序共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 学生甲、乙相邻出场且学生甲在学生乙前面的情况共有种， 所以， 则． 故答案为： 17．（2025·高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【解析】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 18．（2025·高三·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 19．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 【解析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，则， 又，， 所以. （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，则 ， ， 所以 . 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$