第13讲 空间直线、平面的垂直（5大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第13讲 空间直线、平面的垂直 目录 题型归纳 1 题型01 求异面直线所成的角 3 题型02 判断线面是否垂直 7 题型03 证明线面垂直 13 题型04 线面垂直证明线线平行 18 题型05 线面垂直证明线线垂直 21 题型06 线面垂直证明面面平行 26 题型07 判断面面是否垂直 29 题型08 证明面面垂直 34 题型09 面面垂直证线面垂直 38 分层练习 43 夯实基础 43 能力提升 54 知识点01直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 知识点02直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 知识点03平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点04平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点05三种垂直关系的转化 题型01求异面直线所成的角 【例1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与 所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 【变式2】（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 【变式3】（22-23高一下·浙江·期中）如图，为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据中位线可得，即可由线面平行的判定求证， （2）由线线平行可得即为直线与所成角，即可由余弦定理求解. 【详解】（1）连接与交于点，连接． 显然为的中点，所以． 又因为平面平面，所以平面． （2）由（1）可知即为直线与所成角， 在中, , 由余弦定理得 题型02 判断线面是否垂直 【例2】（22-23高一下·福建三明·期中）已知l，m是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则， D．若，则 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面平行 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则与可能平行或相交，所以A不正确； 对于B中，若，则与可能平行或，所以B不正确； 对于C中，若，则或与相交，所以C不正确； 对于D中，若，可得，又由，所以，所以D正确. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（    ） A．224 B．448 C．147 D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、判断线面是否垂直 【分析】根据题意结合图形得到求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果． 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，． 因为“刍童” 上、下底面均为正方形，所以底面，又，所以底面， 因为，所以， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，则，即“刍童” 的高为， 则该刍童的体积． 故选：D． 【变式2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的是（    ） A．平面 B． C．与所成角为45° D．平面 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、证明线面平行 【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A；由平面证明；由，得出与所成角；由与不垂直判断D. 【详解】对于A：如图，连接，. 在正方形中，为的中点,，即也为的中点， 在中，分别为的中点，， 又平面，平面，平面，故A正确； 对于B：平面，，，故B正确； 对于C：，，与所成角为，故C正确； 对于D：连接，， ，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D错误； 故选：D 【变式3】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点． (1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由； (2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) 【知识点】判断线面是否垂直、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）当时，根据面面平行的判定定理可证平面平面； （2）在上取点，且，连，可得，又，可得（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，根据余弦定理可求出结果. 【详解】（1）棱上存在点，且时，平面平面， 理由如下： 连，， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面. （2）由（1）可知，，又，所以， 因为异面直线与成角，所以， 因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在上取点，且，因为，所以， 又由（1）知，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角， ，，所以， ，， ， 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型03 证明线面垂直 【例3】（22-23高一下·山西大同·期中）在菱形中，已知，将沿对角线折起，形成三棱锥，则三棱锥的表面积最大时，该三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】沿对角线BD折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取BD的中点E，连接AE，EC，由ABCD是菱形，可知平面，结合三棱锥的体积公式即可求解; 【详解】由题意可知，当且，则三棱锥的表面积最大时，取BD的中点E，连接AE，EC，    平面，平面，，可知平面， 因为， 是菱形，是等边三角形， 是等边三角形， 所以. 故选：A. 【变式1】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，，则四棱锥的体积是（    ）    A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】连结，交与点，先证明平面，从而可求四棱锥体积. 【详解】   因为，所以长方体底面为正方形， 连结，交与点，且， 由长方体性质，知平面， 又平面，则， 所以平面， 则. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于, 取的中点，过作,过作，连接, 故平面平面， 过作于，由于平面，平面，故, 平面，故平面, 所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则， , 要使最小，则需要最大即可， 由于, 故当时，此时取最大值， 此时的最小值为， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【知识点】证明线面平行、求线面角、锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）将四棱台补成四棱锥，取的中点，证四边形为平行四边形，再利用其性质及线面平行的判定推理得证. （2）①利用体积法求出点到平面的距离即可证得平面；②求出，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面.    （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 题型04 线面垂直证明线线平行 【例4】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行 【分析】应用线面垂直的性质得出. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·山东枣庄·期中）三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线平行 【分析】根据体积公式计算三棱锥的体积与三棱锥的体积表达式，再求其比值. 【详解】设的面积为，设的面积为， 则，，又， ， ∴  ， 过点作平面，过点作平面，如图， 则，∴ 与相似， 又，∴ ， ∵  ，， ∴ ， ∴ 三棱锥与的体积之比是24. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 【答案】，则（答案不唯一，符合题意均可） 【知识点】线面垂直证明线线平行 【分析】取③④作条件，⑥作结论，根据线面垂直的性质即可得解. 【详解】以③④作条件，⑥作结论，即若，则. 因为， 所以． 故答案为：，则.（答案不唯一，符合题意均可） 【变式3】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·期中）设、、是空间不同的直线或平面，对下面四种情形：①、、是直线；②、是直线，是平面；③是直线，、是平而；④、是直线，是平面；使“且”为真命题的是 . 【答案】②③ 【知识点】线面垂直证明线线平行 【分析】对于①④，利用长方体举出反例即可，对于②③，根据线面垂直的性质即可判断命题的真假． 【详解】解：对于①，、、是直线， “且”是假命题，如图中长方体共顶点的三条棱； 对于②，、是直线，是平面，根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，则“且”是真命题； 对于③，是直线，、是平面，根据垂直于同一条直线的两个平面平行可知，“且”是真命题； 对于④，、是直线，是平面，“且”是假命题，如图中长方体，、分别是直线，是平面，且，但； 故答案为：②③． 题型05 线面垂直证明线线垂直 【例5】（23-24高一下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，所以证明平面，得到，再由线面垂直得到，即可得到平面，从而得到，同理可证，即可得解. 【详解】如图，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点. 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即， 同理可证，所以是的垂心. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·吉林长春·期中）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，．若，，，则点是的 心． 【答案】垂 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 【分析】连接，并延长，利用线面垂直的判定和性质，证得平面，得到，同理证得和，即可得到结论. 【详解】如图所示，连接，分别延长交于点， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又由，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证：， 所以点为的垂心. 故答案为：垂 【变式3】（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】线面垂直证明线线平行、线面垂直证明线线垂直、棱锥的结构特征和分类、证明线面垂直 【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得. （2）由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再用线面垂直的性质得结论. 【详解】（1）在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点， 由，，，得，则， 因此，，又平面， 于是平面，而平面，则，又， 所以. （2）由，，得为正三角形；同理也为正三角形， 则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由为的重心，得平面，菱形中，过的中点， 即直线与平面的交点为的中点，因此不在直线上，又平面， 所以 题型06 线面垂直证明面面平行 【例6】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行 【分析】利用线面垂直的性质判断. 【详解】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个. 故选：B 【变式1】（21-22高一下·江西上饶·期末）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】D 【知识点】线面垂直证明面面平行、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答. 【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线， 显然满足，而，此时不成立，A错误； 对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，B错误； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，C错误； 对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确. 故选：D 【变式2】（22-23高一下·江西南昌·期末）若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面垂直证明面面平行、判断面面平行、面面关系有关命题的判断 【分析】根据模型找出反例结合面面平行的判定判断即可. 【详解】   由图可知，面,面,面与面不平行，选项A错误； 面，面,面与面不平行，选项B错误； 根据线面垂直的性质可知，选项C正确； 面 面，面 面，面与面不平行，选项D错误. 故选：C. 【变式3】（20-21高一下·云南昆明·期中）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，.那么 D．如果，，，，那么 【答案】A 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、线面垂直证明面面平行 【分析】由线面垂直的性质可得A正确；由面面平行的性质可得C错误；由空间中线线，线面位置关系可判定B，D错误. 【详解】已知，为两条不同直线，，为两个不同平面. 若，，则，又，所以.故选项A正确； 若，，则或，又，所以.故选项B错误； 若，，，则直线和平行或异面.故选项C错误； 若，，，，则平面和平行或相交.故选项D错误. 故选：A. 题型07 判断面面是否垂直 【例7】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断线面平行、判断面面是否垂直、判断面面平行 【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断. 【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确； 对于B，或，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 故选：B. 【变式1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断面面是否垂直 【分析】A选项可由线面平行的判定定理进行判断；B选项可由面面垂直判定定理可判断；C选项可由线面的位置关系进行判断；D选项可由面面平行的判定定理进行判断； 【详解】A选项不正确，因为平行，相交，异面都有可能； B选项正确，，则面面垂直判定定理可得； C.选项不正确，因为，时，可能有或者与相交不一定垂直, D选项不正确，可由面面平面的判定定理说明其是不正确的，必须相交. 故选:B. 【变式2】（20-21高一下·广东深圳·期中）过平面外的两点作与平面垂直的平面可以作 个. 【答案】或无数 【知识点】判断面面是否垂直、点（线）确定的平面数量问题 【分析】设平面外的两点为、，对直线的位置关系进行分类讨论，考虑过点只能作一条直线与平面垂直，再利用面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】设平面外的两点为、. ①若，对任意过直线的平面，由面面垂直的判定定理可知，， 此时，过、两点可作无数个平面与平面垂直； ②若与平面斜交，如下图所示： 由于点在平面外，过点只能作一条直线使得， 由于直线与直线相交，且两条相交直线只能确定一个平面， 设由直线与直线确定的平面为，由面面垂直的判定定理可知，， 此时，过、两点有且只有一个平面与平面垂直； ③若，同②可知，过、两点有且只有一个平面与平面垂直. 综上所述，过平面外的两点作与平面垂直的平面可以作或无数个. 故答案为：或无数. 【变式3】（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【知识点】证明线面平行、判断面面是否垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以，     又因为平面CDF，平面CDF，     所以平面CDF． （2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，                 图1                              图2 则         因为， 所以， ， 又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且     所以平面ABCD．         所以四棱锥是正四棱锥． （3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，     根据等边三角形性质可知，， 所以是二面角的平面角，     设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直 题型08 证明面面垂直 【例8】（23-24高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】证明面面垂直、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）已知，是两个不同的平面，是内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、证明面面垂直 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，，得， 反之，，当平面内的直线平行于平面的交线时，，即不垂直于， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是 . 【答案】 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直 【分析】首先证明，取中点为，连接、，则，，可得，在旋转过程中，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时，在平面上的射影取得最小值为，当与平面平行时，在平面上的射影长取得最大值，则答案可求． 【详解】如图，取的中点的中点，连接， ∵分别是线段的中点，∴，， ∵，，∴，， 则，，且，平面，∴平面，又平面，∴，∴， 在中，， 当四面体绕旋转时， ∵，平面，平面， ∴平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变. 当与平面垂直时，在平面上的投影长最短为0， 此时在平面上的投影的长取得最小值，最小值为， 当与平面平行时，在平面上的投影长最长为， 此时在平面上的投影的长取得最大值，最大值为， 线段在平面上的投影长的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据等腰三角形证明，，进而得平面，即可根据当与平面垂直时以及当与平面平行时，求解的最值. 【变式3】（23-24高一下·广东东莞·期中）如图，在正方体中，求证： (1)平面平面． (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明面面垂直 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，先证明线线平行，再证明线面平行，最后证明面面平行. （2）根据面面垂直的判定定理，先证明线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直. 【详解】（1）证明：是正方体， ，且， 四边形是平行四边形． ， 又平面，平面， 平面， 同理：平面，且，平面， 平面平面. （2）证明：是正方体， 平面，又平面， ， 又，，平面， 平面，且平面， 平面平面． 题型09 面面垂直证线面垂直 【例9】（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积. 【详解】如图所示， 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以， 又， 所以四面体的体积， 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、面面垂直证线面垂直 【分析】取AF的中点G，连接AC交BD于O点，异面直线与所成角即直线与所成角.在中，分别求得，利用余弦定理即可求得，从而求得异面直线夹角的余弦值. 【详解】取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，    则，且，异面直线与所成角即直线与所成角， 由平面平面，，平面平面， 平面知，平面，又平面， 所以，由题易知， 所以，则，， ，则在中，由余弦定理知， ， 由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得异面直线的夹角. 【变式2】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为 ． 【答案】/0.48 【知识点】余弦定理解三角形、面面垂直证线面垂直 【分析】作，证明，利用勾股定理和余弦定理求出，再由余弦定理求的余弦值. 【详解】过作，垂足为，连接， ，，则，，， 中，， 中，由余弦定理， 平面平面，平面平面， 平面，，则平面， 平面，，则， 中，由余弦定理. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·北京·期中）已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行，理解判断． 【详解】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行． 故选：A． 2．（21-22高一下·山东青岛·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（    ） A．若，，，则 B．若，，且，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面垂直与面面垂直的性质和判断定理逐项分析即可求出结果. 【详解】对于A：若，，, 与可能平行，也可能异面故，故A错误. 对于B：若，，且，，当时，平面 与可能平行，也可能相交，故B错误. 对于C：若，，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误. 对于D：若，，，则，故D正确. 故选：D. 3．（21-22高一下·福建三明·期中）已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析，从而得解. 【详解】A选项，若，，则可能含于，A选项错误； B选项，若，，则可能含于，B选项错误； C选项，若，，则可能异面，C选项错误； D选项，若，，由线面垂直的性质定理可知，D选项正确. 故选：D. 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，C正确； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 【答案】AC 【分析】对A，根据线面垂直的性质即可判断；对BCD，通过平移将异面直线放置于一个平面内，再求出角的大小即可. 【详解】对A，在正方体中，底面底面， 所以，所以和所成的角是，所以A正确； 对B，因为，所以和所成的角等于与所成的角， 正方体中，与所成的角为，即和所成的角是，所以B不正确； 对C，正方体中，因为，，则四边形为平行四边形， 所以，而，所以和所成的角是，所以C正确； 对D，在正方体中，因为，，则四边形为平行四边形，则， 所以和所成的角等于与所成的角， 设正方体棱长为，则，则 为等边三角形，所以与所成的角为， 所以和所成的角是，所以D不正确. 故选：AC. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A．， B．，，且 C．， ， D．，， 【答案】AB 【分析】对于A，根据直线与直线的位置关系判断；对于B，根据直线与平面的位置关系判断；对于C，根据面面平行的位置关系判断；对于D，根据面面平行的性质定理判断. 【详解】对于A，因为，则可以平行或相交，故A错误； 对于B，因为，则或，或，故B错误； 对于C，因为，则由面面平行的位置关系得，故C正确； 对于D，因为，则由面面平行的性质定理得，故D正确. 故选：AB. 三、填空题 7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】作辅助线，证明、，将问题转化为求的余弦值；再求出的三条边长，利用余弦定理即可得出答案. 【详解】设正方体边长为1， 取的中点，连接、， 因为点、分别为、的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以， 连接、，交点记为点，连接， 因为点、分别为、的中点， 所以 所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角， 即为或其补角， 在中，， ， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，一块正三棱柱体形木料的上底面有一点P，经过点P在上底面上画一条直线与垂直，写出作该直线的方法： . 【答案】在平面中，画出经过点P与垂直的直线 【分析】设所作直线为，则由题意分析可得平面，从而可得，可得只需在平面中，画出经过点P与垂直的直线即可. 【详解】 设经过点P在上底面所画与垂直的直线为l，由是正三棱柱， 则平面，平面，则有，又， ，是平面内的相交直线，所以平面，平面，则， 所以在平面中，画出经过点P与垂直的直线即可. 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏南通·期中）在三棱锥中，两两垂直，则P在平面内的射影O是的什么心？并证明你的结论． 【答案】点O是垂心，证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定与性质结合垂心的定义推理即可. 【详解】如图，连接，并延长交于点D，连接，并延长交于点 因为，，，平面， 所以平面 又平面，所以 因为平面，平面，所以 又，平面所以平面， 因为平面，所以，即 同理，，，根据三角形垂心定义可知O是的垂心． 10．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证 （2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，    （2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角， 又，，所以，， ， 由，所以， 故 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2）是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，证明平面，再逐项分析判断即得. 【详解】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误； 显然，B错误； 若，而，平面， 则平面，又平面，于是， 在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则             ②若，，则 ③若，，则             ④若，，则 其中正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可． 【详解】对于①，且成立，可能平行，异面或者相交，①错误； 对于②，由且，得，又，则，②正确； 对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 而，于是，，③正确； 对于④，若，，可能平行，也可能相交，④错误. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据面面垂直及线面垂直判断B，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定判断C，由面面平行的判定判断D. 【详解】若，则满足，推不出，故A错误； 若，可能，推不出，故B错误； 由 ，必有，所以由可得，由可得， 又，所以，故C正确； 若不相交时，满足，不能推出，故D错误. 故选：C 4．（23-24高一下·天津北辰·期中）如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用异面直线的判定即可判断①；利用面面平行的性质可判断②；利用锥体的体积公式可判断③⑤；计算出、的面积，可判断④. 【详解】对①，连接，交于点，因为， 则四点共面，又因为，则平面与平面交于点， 显然平面，且未经过点，则直线与异面，故①正确； 命题①正确； 对②，因为平面平面，平面，则平面，命题②正确； 设，则为的中点，且，即点到平面的距离为， 因为平面，平面，则， 又因为且，故四边形为矩形， 故， 因此，，是定值，命题③正确； 连接、，取的中点，连接，易知是边长为的等边三角形， 所以，，且， 所以，，所以④错误； 因为平面，所以，点、到平面的距离相等，    因为，所以⑤正确； 综上，正确命题的序号为①②③⑤，有个． 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（    ） A．侧棱的长是 B．侧面是直角梯形 C．该棱台的全面积是 D．三棱锥的体积是定值 【答案】ABD 【分析】利用四棱台的结构特征，结合线面垂直的判定、性质逐项推理计算得解. 【详解】四棱台中，平面，平面，则， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，而，平面， 于是平面，又平面，因此，又， 从而侧面是直角梯形，B正确； 对于C，由选项B，同理得四边形是直角梯形，， 棱台的全面积 ，C错误； 对于D，由选项B知，为定值，由，平面， 平面，则平面，于是点与点到平面的距离相等， 在四棱台中，点到平面的距离是定值，因此三棱锥的体积是定值，D正确. 故选：ABD 6．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知直线，，和平面，，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 【答案】ACD 【分析】根据线面平行、面面垂直、线面垂直的判定判断A、B、C三个选项，D选项中的不满足面面平行的条件，故两平面相交或平行. 【详解】A选项，根据线面平行的判定，若，，，则，故A错误； B选项，根据面面垂直的判定，若，，则，故B正确； C选项，根据线面垂直的判定，若，，，，，则，故C错误； D选项，若，，，，则平面与相交或平行，故D错误； 故答案为：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 【答案】 【分析】证明平面，进而可得平面平面，即可根据，在平面的射影，与共线，利用锐角三角函数求解. 【详解】设，显然是的中点， 因为平面，到的距离为4， 所以到的距离分别为2，而到的距离为2， 因此，即，设平面， 所以，因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因此有平面，而， 所以平面平面，平面平面，， 所以，在平面的射影，与共线， 显然，如图所示： 由，， 由（负值舍去）， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据，即，设平面，根据线线垂直证明平面，因此有平面，即可得平面平面，利用投影共线，即可根据锐角三角函数求解. 8．（22-23高一下·浙江·期中）在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则 . 【答案】 【分析】取等边的中心为，根据球的截面的性质，求得，再由体积法，求得内切球的半径为，在上取一点，过点作平面，使得，得到点即为三棱锥的内切球的球心，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，取等边的中心为， 因为的边长为，可得，则， 连接，根据球的性质，可得平面， 又由平面，且，所以， 由， 连接，因为为中点，且， 所以，且，所以， 所以棱锥的表面积为，体积为 设内切球的半径为，可得，解得， 即到平面和平面的距离为， 因为的中点，且，所以， 又因为平面且，平面，所以， 因为且平面，所以平面， 在上取一点，使得，过点作，可得平面， 在直角中，可得，即点到平面的距离为， 过点作平面，使得，则点即为三棱锥的内切球的球心， 过点作，可得， ， 在直角中，可得， 故答案为：.    【点睛】方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·期中）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且．    (1)求证：平面； (2)若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合题意可得平面，平面，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）    连接，与交于点， 分别是的中点，所以点是的中点， 即是三角形的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）四边形是菱形，所以， 又，，平面， 所以平面， ， 由侧面是矩形可得， 又，，平面， 所以平面，即平面， 所以.    10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 11．（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. (1)求证：； (2)当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，据此即可证明； （2）①过点作于，连，，令，在中利用勾股定理求出，据此即可求出点到平面的距离； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，据此即可求解. 【详解】（1）连接，， ，为的中点，， ，为的中点，， 平面， 又平面，； （2）①过点作于，连，， 平面平面，， 平面，令， ， ，， 则，，， 平面，， 在中，由，得，， ，故点到平面的距离为； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， ，， 是的中位线，， ，， ，， ，， ，所以平面为平面与平面的公共垂面， 故，在中，，， 可求得，又，， 则. 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于令，在中利用勾股定理求出. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 空间直线、平面的垂直 目录 题型归纳 1 题型01 求异面直线所成的角 3 题型02 判断线面是否垂直 4 题型03 证明线面垂直 6 题型04 线面垂直证明线线平行 7 题型05 线面垂直证明线线垂直 8 题型06 线面垂直证明面面平行 9 题型07 判断面面是否垂直 10 题型08 证明面面垂直 11 题型09 面面垂直证线面垂直 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 17 知识点01直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 知识点02直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 知识点03平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点04平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点05三种垂直关系的转化 题型01求异面直线所成的角 【例1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【变式3】（22-23高一下·浙江·期中）如图，为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 题型02 判断线面是否垂直 【例2】（22-23高一下·福建三明·期中）已知l，m是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则， D．若，则 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（    ） A．224 B．448 C．147 D． 【变式2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的是（    ） A．平面 B． C．与所成角为45° D．平面 【变式3】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点． (1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由； (2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值． 题型03 证明线面垂直 【例3】（22-23高一下·山西大同·期中）在菱形中，已知，将沿对角线折起，形成三棱锥，则三棱锥的表面积最大时，该三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，，则四棱锥的体积是（    ）    A．3 B．6 C．9 D．18 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 . 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 题型04 线面垂直证明线线平行 【例4】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式1】（22-23高一下·山东枣庄·期中）三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【变式2】（23-24高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 【变式3】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·期中）设、、是空间不同的直线或平面，对下面四种情形：①、、是直线；②、是直线，是平面；③是直线，、是平而；④、是直线，是平面；使“且”为真命题的是 . 题型05 线面垂直证明线线垂直 【例5】（23-24高一下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·吉林长春·期中）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，．若，，，则点是的 心． 【变式3】（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 题型06 线面垂直证明面面平行 【例6】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式1】（21-22高一下·江西上饶·期末）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【变式2】（22-23高一下·江西南昌·期末）若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（    ） A．， B． C． D． 【变式3】（20-21高一下·云南昆明·期中）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，.那么 D．如果，，，，那么 题型07 判断面面是否垂直 【例7】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（20-21高一下·广东深圳·期中）过平面外的两点作与平面垂直的平面可以作 个. 【变式3】（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 题型08 证明面面垂直 【例8】（23-24高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）已知，是两个不同的平面，是内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一下·广东东莞·期中）如图，在正方体中，求证： (1)平面平面． (2)平面平面． 题型09 面面垂直证线面垂直 【例9】（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为 ． 【变式3】（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·北京·期中）已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 2．（21-22高一下·山东青岛·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（    ） A．若，，，则 B．若，，且，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（21-22高一下·福建三明·期中）已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，下列结论正确的有（    ） A．和所成的角是 B．AC和所成的角是 C．和所成的角是 D．和所成的角是 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A．， B．，，且 C．， ， D．，， 三、填空题 7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，一块正三棱柱体形木料的上底面有一点P，经过点P在上底面上画一条直线与垂直，写出作该直线的方法： . 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏南通·期中）在三棱锥中，两两垂直，则P在平面内的射影O是的什么心？并证明你的结论． 10．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则             ②若，，则 ③若，，则             ④若，，则 其中正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 4．（23-24高一下·天津北辰·期中）如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 5．（23-24高一下·吉林长春·期中）四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（    ） A．侧棱的长是 B．侧面是直角梯形 C．该棱台的全面积是 D．三棱锥的体积是定值 6．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知直线，，和平面，，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 三、填空题 7．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 8．（22-23高一下·浙江·期中）在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则 . 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·期中）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且．    (1)求证：平面； (2)若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积． 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 11．（23-24高一下·浙江温州·期中）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. (1)求证：； (2)当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$