2024-2025学年度苏科版八年级数学下册第一次月考试卷 考试范围： 数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形；2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

2024-2025学年度苏科版八年级数学下册第一次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形； 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）为了解某地区七年级10000名学生的体重情况，现从中抽测了500名学生的体重，就这个问题来说，下面的说法中正确的是（    ） A．10000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．500名学生是所抽取的一个样本 D．样本容量是500 【答案】D 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义逐项分析即可． 【详解】解：总体为“某地区七年级10000名学生的体重情况”，因此A不正确，不符合题意； 个体为“每个学生的体重情况”，因此 B不正确，不符合题意； 500名学生中，每个学生的体重是所抽取的一个样本，因此C不正确，不符合题意； 样本容量为“从总体中抽取个体的数量”，是500，因此D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量的意义，准确理解和掌握各个统计量的意义是关键，注意表述正确具体． 2．（本题3分）下列调查方式合适的是（    ）． A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对载人航天飞船“神舟”五号零部件的检查，采用抽样调查的方式 【答案】C 【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】解：选项A中，了解炮弹的杀伤力，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误； 选项B中，了解全国中学生的睡眠状况，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误； 选项C中，了解人们保护水资源的意识，普查耗时长，故应当采用抽样调查，故本选项正确； 选项D中，对载人航天器“神舟五号”零部件的检查，由于零部件数量有限，每一个零部件都关系到飞行安全，故应当采用全面调查，故本选项错误； 故选C. 【点睛】本题主要考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查是解题的关键. 3．（本题3分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（ ） A．相等 B．垂直 C．相等并且平行 D．相等并且平行或相等并且在同一直线上 【答案】D 【分析】关于中心对称的两个图形，对应线段相等，平行或在同一直线上，根据性质即可得出答案． 【详解】解：根据中心对称图形的性质可得：对应线段相等并且平行或相等并且在同一直线上， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的性质，属于基础题型．明确中心对称图形的性质是解决这个问题的关键． 4．（本题3分）如图，在中，，，平分交于点，则的长为（ ） A．3 B．4 C．7 D．11 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，可得，从而，再根据角平分线的定义，可得，可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴ ， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质定理，等腰三角形的判定定理是解题的关键． 5．（本题3分）如图，矩形的对角线交于点，，，则边长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，先根据矩形的性质得出，结合，证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 6．（本题3分）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A．20 B．12 C．14 D．13 【答案】C 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 7．（本题3分）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接求得旋转角为，进而画出点，根据坐标系即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，， ∴ ∴， 根据题意，画出绕点，逆时针旋转的点 根据坐标系可得， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，勾股定理的逆定理求角度，画旋转图形，熟练掌握旋转的性质，求得旋转角是解题的关键． 8．（本题3分）2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，利用中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 9．（本题3分）为了解某校七年级620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生参加课外劳动的时间进行分析，在此次调查中，下列说法：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体；②每个学生是个体；③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本；④样本容量是200名．其中正确的有（    ） A．①④ B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查统计知识的总体，样本，个体，普查与抽查等相关知识点．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体，①正确； ②七年级620名学生中的每个学生参加课外劳动的时间是个体，故②错误； ③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本，③正确； ④样本容量是100名，故④错误． 故正确的有：①③， 故选：B． 10．（本题3分）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得垂直平分，故结论①正确；过点作于，由“”证明，可得，，故结论②正确；过点作于，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，即可求得，故结论③正确；延长至，使，连接，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，由线段的和差关系即可证明结论④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形沿翻折， ∴垂直平分，故结论①正确； ∴， 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； 如图，过点作于， ∵将正方形沿翻折， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； 如图，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 评卷人 得分 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：4． 12．（本题2分）把图中的风车图案，绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图形重合，旋转角至少 度    【答案】90 【分析】根据旋转的性质结合图形可得答案． 【详解】由图形及题意可得： 风车的中心角为： 风车图案绕着中心O旋转的整数倍得到的图形与原来的图形重合 旋转角的最小值为． 故答案为90． 【点睛】本题主要考查旋转对称图形及旋转角的概念，熟记相关知识点是解题的关键． 13．（本题2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交CD于点E．连接BE，若AE＝AB，则∠AEB的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 14．（本题2分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是 ． 【答案】20． 【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求DO+OC的值，再由AC＝2OC，BD＝2DO，即可求出AC与BD的和． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝6， ∵△OCD的周长为16， ∴OD+OC＝16﹣6＝10， ∵BD＝2DO，AC＝2OC， ∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝20， 故答案为20． 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 15．（本题2分）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是 ．    【答案】①③④ 【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上，从而问题得解． 【详解】解：动点P从点B出发，沿的路径匀速运动， ∴图2为等腰梯形， ，故①正确； ， 在矩形中，， ，故②错误； 点P运动的路程为x，当时， ， 时，点P运动到点D处，故③正确； ， 在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于， 结合图1可知，当时，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键． 16．（本题2分）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 17．（本题2分）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值． 【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE， ∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC， ∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形， ∴AE∥BG，CG=DE， ∴AE⊥CC′， 由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE， 又∵CG=DE， ∴EC+GC=C′E+ED， 当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小， 此时，在Rt△C′D′E中， C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=， 即EC+GC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解． 18．（本题2分）四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究： （1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为 ； （2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）当点E落在BC上时，由勾股定理知CE=，代入计算即可； （2）如图，由旋转知，EF=AD=8， 的面积=×EF×EF边上的高，故找面积最值就转化成找EF边上高的最值．当点E落在BD上时，EF边上高的最小值为EO，此时s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，EF边上高的最大值为OE'，此时s最大，分别算出最大值和最小值即可． 【详解】（1）， 当点E落在BC上时， CE=； 故答案为：． （2）当点E落在BD上时，s最小，此时， ， ∴； 当点D落在BD的反向延长线上时，s最大， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解． 评卷人 得分 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据中心对称定义作图即可； （2）作AB的垂直平分线即可； 【详解】（1）解：如图，△A'B'C 为所作； （2）解：如图，点 O 或 O′为所作． 【点睛】本题考查了复杂-作图，掌握中心对称和垂直平分线的定义和画法是解题关键 20．（本题6分）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析． 【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的性质． 21．（本题6分）如图，在平行四边形中，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，证明，，进而证明，根据即可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是综合利用平行四边形的性质和三角形全等来解决线段相等的证明． 22．（本题6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析． 【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【点睛】本题考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 23．（本题6分）如图，正方形中，点M在边上运动，点E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)将绕点E逆时针旋转，使点B的对应点落在上，连接．当点M在边上运动时（点M不与B，C重合），判断的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）如图所示，延长交于F，先证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：如图所示，延长交于F， ∵，， ∴，， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质是解题关键． 24．（本题8分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)求AG+AE的值； (3)若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点E到DF的距离为 【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC，即可解决问题； （3）作EH⊥DF于H．想办法求出EH，即可得出点E到DF的距离． 【详解】（1）解：（1）作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD，EN⊥AB， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE， ∴AG＝CE， ∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4． （3）作EH⊥DF于H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，， ∵F是AB中点， ∴， ∴DF＝=， ∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD， ∴DH＝HF， ∴EH＝DF＝， 即点E到DF的距离为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（本题8分）如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，且．连接、和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是菱形，求该菱形的边长； （3）在（2）的基础上，点P是对角线上的一个动点，请在图中用直尺在上作出点P，使得的值最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）见解析；（2）菱形的边长为5；（3）作图见解析，的最小值为 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AD∥CB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）设AE=x，表示出BE，再根据菱形的四条边都相等可得AE=EC，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）连接PF交AC于点P，连接PE，此时PB+PE的值最小，最小值为线段BF的长，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形． （2）解：设菱形的边长为x， ∵四边形为菱形，，， ∴，， 在中，， 即， 解得：， ∴菱形的边长为5． （3）∵四边形为菱形 ∴E、F关于直线对称 连接，交直线于点P，点P即为所求， 在中，； 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，解直角三角形，难点在于（3）确定出点P的位置并作辅助线构造出直角三角形． 26．（本题8分）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版八年级数学下册第一次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形； 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）为了解某地区七年级10000名学生的体重情况，现从中抽测了500名学生的体重，就这个问题来说，下面的说法中正确的是（    ） A．10000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．500名学生是所抽取的一个样本 D．样本容量是500 2．（本题3分）下列调查方式合适的是（    ）． A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对载人航天飞船“神舟”五号零部件的检查，采用抽样调查的方式 3．（本题3分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（ ） A．相等 B．垂直 C．相等并且平行 D．相等并且平行或相等并且在同一直线上 4．（本题3分）如图，在中，，，平分交于点，则的长为（ ） A．3 B．4 C．7 D．11 5．（本题3分）如图，矩形的对角线交于点，，，则边长为（    ） A． B． C． D．1 6．（本题3分）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A．20 B．12 C．14 D．13 7．（本题3分）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 8．（本题3分）2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）为了解某校七年级620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生参加课外劳动的时间进行分析，在此次调查中，下列说法：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体；②每个学生是个体；③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本；④样本容量是200名．其中正确的有（    ） A．①④ B．①③ C．③④ D．②④ 10．（本题3分）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 评卷人 得分 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 12．（本题2分）把图中的风车图案，绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图形重合，旋转角至少 度    13．（本题2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交CD于点E．连接BE，若AE＝AB，则∠AEB的度数为 ． 14．（本题2分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是 ． 15．（本题2分）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是 ．    16．（本题2分）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 17．（本题2分）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ． 18．（本题2分）四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究： （1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为 ； （2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为 ． 评卷人 得分 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 20．（本题6分）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 21．（本题6分）如图，在平行四边形中，点在上，且．求证：． 22．（本题6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 23．（本题6分）如图，正方形中，点M在边上运动，点E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)将绕点E逆时针旋转，使点B的对应点落在上，连接．当点M在边上运动时（点M不与B，C重合），判断的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 24．（本题8分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)求AG+AE的值； (3)若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离． 25．（本题8分）如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，且．连接、和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是菱形，求该菱形的边长； （3）在（2）的基础上，点P是对角线上的一个动点，请在图中用直尺在上作出点P，使得的值最小，并求出这个最小值． 26．（本题8分）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$