精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高三下学期2月练习数学试题

延安中学高三数学练习试卷 2025.02 一．填空题 1. 已知向量，则的单位向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，可得出的单位向量为，求其坐标即可. 【详解】因为，则， 所以，的单位向量的坐标为. 故答案为：. 2. 方程的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的图象性质解方程即可. 【详解】由可得，解得， 因此，方程的解集为. 故答案为：. 3. 已知球的体积为，则球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 4. 若数列满足：，则的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过递推关系式可变形为，可得是一个常数列，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为. 故答案为：. 5. 从二项式的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式，确定系数为奇数的项数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 ， 展开式共项，其中有项的系数为奇数，故所求概率为. 故答案为：. 6. 平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 7. 已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 8. 已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可求，，再根据条件概率计算公式求解即可． 【详解】因为甲罐中有个红球、个黑球，所以， 因为，所以． 故答案为：． 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 10. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 11. 若不等式对任意恒成立，则实数m值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 12. 在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________ 【答案】4 【解析】 【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果. 【详解】由题，三角形的面积： 由余弦定理： 可得： 所以 所以的最大值为4 故答案为4 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题. 二．选择题 13. 复数z是纯虚数的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据纯虚数的定义以及各选项所给条件逐一分析判断. 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则 ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 14. 已知全集，集合，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的横坐标的取值范围、分式不等式和绝对值不等式可分别求出集合，再利用集合的交集运算进行验证即可. 【详解】解：集合M表示为椭圆上点的横坐标的取值范围， ，即且 ，解得：， 所以集合， 则或 ， 而，则有，解得； 所以集合, 所以. 故选：B. 15. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 16. 数列中，若，，给出下列两个命题： ①若数列为常数数列，则； ②若不是整数，任取中的项、、、构成数列，则数列是严格增数列，或者是严格减数列．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对①，由数列为常数数列，则，解方程可得的值；对②，由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论． 【详解】数列中，若，，， ①若数列为常数数列，则， 作出函数与函数的图象如下图所示： 解方程，结合图形可得或，故①不正确； ②若，任取中的项、、、构成数列， 由，可得，为奇函数， 当时，， 因为，则函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 又因为，故当时，，即， 即当时，则，，且， ，且，， 以此类推可知，数列为单调递增数列， 由于、、、，即数列为严格递增数列； 由于函数为奇函数，则当时，，即， 故当时，，，且， ，，且，， 以此类推可知，数列为单调递减数列， 由于、、、，即数列为严格递减数列； 若且时，则， 若，由上可知，数列从第二项开始单调递减， 由于、、、，即数列为严格递减数列； 若，由上可知，数列从第二项开始单调递增， 由于、、、，即数列为严格递增数列. 综上所述，若不是整数，任取中的项、、、构成数列， 则数列是严格增数列，或者是严格减数列，故②正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出、时，数列的单调性，然后对的取值进行分类讨论，分析即可. 三．解答题 17. 已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． （1）已知，求圆柱的侧面积； （2）若圆柱体积为，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，与母线所成的角等于，求出的长，结合圆柱的侧面积公式可求得； （2）取的中点，连接，分析可得，利用圆柱的体积可求得的值，再利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 连接，如图所示： 由题意可知，与母线所成的角等于， 因为底面，平面，则， 所以，，则， 所以，该圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，该圆柱的体积为，解得， 取的中点，连接， 由正六边形的几何性质可得，，， 所以，，故， ，，则， 所以，， ， 易知，因为为的中点，则， 且，， 设点到平面的距离为，则，解得. 18. 第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 （1）根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 【答案】（1），，、，有关 （2）分布列见解析，期望 【解析】 【分析】（1）根据列联表可得出、、、的值，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，人进球总次数的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由列联表中的数据可得，， ，， 所以，， 故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. 【小问2详解】 人进球总次数的所有可能取值为、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 数学期望． 19. 设x是实数，z是整数，若，则称z是“在数轴上与x距离最近的整数”． （1）若数列的通项公式是，求证：数轴上与距离最近的整数是n； （2）若数列满足：，当时，，若是在数轴上与距离最近的整数，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的性质和实数与最近整数的概念即可证明； （2）通过化简可先求出数列的通项公式，从而可得，再求出的前n项和即可. 【小问1详解】 距离最近的整数是n， 由，我们需要证明， 观察到，而，即， 这表明确实位于和之间， ， 由于，分子为n，分母为一个大于2n的正数， 因此，即证明了在数轴上与n的距离最近. 【小问2详解】 对于，有， 因为， ， 此时，，所以， 又，所以， 所以； 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解实数与整数之间的“最近”概念，以及如何利用代数技巧来简化复杂的表达式。在求解数列问题时，分解因子、重写表达式和寻找规律是常用策略。 20. 平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与有两个公共点、，动点满足，求点的轨迹方程； （3）若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（或）； （3），定值为 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由求出的取值范围，利用平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； （3）先证明出双曲线在点处的切线方程为，设点、，将切线方程与双曲线的渐近线方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为，解得，因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 设点、、， 联立可得，则， 解得或， 由韦达定理可得，， 则， 因为，即， 则，， 因此点的轨迹方程为（或） 【小问3详解】 设直线与的切点的为，其中， 先证明出双曲线在点处切线方程为， 联立得，整理可得，则， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 设点、，双曲线的渐近线方程可写为， 联立可得，由韦达定理可得， 易知双曲线的渐近线为，，易知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【答案】（1）单调增区间：；单调减区间： （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数求出函数的单调性即可； （2）对函数进行求导，由有最大值，知且在上单调递增，在上单调递减，从而可得．再利用导数求出的最大值，从而可求出a的值； （3）利用导数可证得，当时，，当时，，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标，从而得证. 【小问1详解】 ，则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； 【小问2详解】 函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． 【小问3详解】 证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的单调性，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延安中学高三数学练习试卷 2025.02 一．填空题 1. 已知向量，则的单位向量的坐标为___________． 2. 方程的解集为___________． 3. 已知球体积为，则球的表面积为___________． 4. 若数列满足：，则的通项公式为___________． 5. 从二项式的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为___________． 6. 平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 7. 已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数___________． 8. 已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则__________． 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 10. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________. 11. 若不等式对任意恒成立，则实数m的值为___________ 12. 在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________ 二．选择题 13. 复数z是纯虚数的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 14. 已知全集，集合，，则集合可表示为（ ） A B. C. D. 15. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（ ） A. B. C. D 16. 数列中，若，，给出下列两个命题： ①若数列常数数列，则； ②若不是整数，任取中的项、、、构成数列，则数列是严格增数列，或者是严格减数列．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三．解答题 17. 已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． （1）已知，求圆柱的侧面积； （2）若圆柱体积为，求点到平面距离． 18. 第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 （1）根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 19. 设x是实数，z是整数，若，则称z是“在数轴上与x距离最近的整数”． （1）若数列的通项公式是，求证：数轴上与距离最近的整数是n； （2）若数列满足：，当时，，若是在数轴上与距离最近的整数，求数列的前n项和． 20. 平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与有两个公共点、，动点满足，求点的轨迹方程； （3）若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 21. 已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$