6.3第二讲平面向量的坐标运算重难点题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

【题型梳理】 【知识点分析】 1.平面向量坐标表示的定义 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。 向量坐标与点坐标的关系 向量的起点为原点时：若向量的起点与坐标原点重合，终点的坐标为，则向量的坐标就是。 向量起点不为原点时：设，，则向量，即向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。 2.平面向量的坐标运算 加法：若，，则。 减法：若，，则。 数乘：若，为实数，则。 3.平面向量平行的坐标表示 设，，其中，则的充要条件是。 4.平面向量模长的坐标表示 若，则向量的模。 5.平面向量数量积的坐标表示 设，，则。同时，若为与的夹角，则。 6.投影向量的坐标表示 投影向量的定义回顾 设向量与，在上的投影向量是与共线的向量，其数量为（为与的夹角），投影向量为。 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 6.向量的定比分点 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 【题型一：向量线性运算的坐标表示】 平面向量的坐标运算 加法：若，，则。 减法：若，，则。 数乘：若，为实数，则 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，，对角线的交点为O，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【尝试用建系坐标运算】5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【尝试用建系坐标运算】6．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（ ） A． B． C．2 D． 【尝试用建系坐标运算】7．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（ ） A． B．1 C． D． 二、解答题 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【题型二：向量的定比分点】 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 1．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 四、解答题 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 6．（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【题型三：向量的数量积的坐标表示】 平面向量数量积的坐标表示 设，，则。同时，若为与的夹角，则。 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知向量，，，则（ ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知向量，，且，则（ ） A． B．5 C．2 D．10 3．（2025·海南·模拟预测）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（ ） A．4 B．或1 C． D．4或 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（ ） A．2 B． C． D．0 二、填空题 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知平面向量，，且，则 . 【题型四：向量的模长的坐标运算】 平面向量模长的坐标表示 若，则向量的模 1．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（ ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 二、填空题 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 . 三、解答题 6．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【题型五：投影向量的坐标表示】 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 1．（福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷）已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B．3 C．－ D．－3 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【题型六：向量夹角与平行垂直问题】 两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 1．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·贵州·开学考试）设，向量且，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【重点题型：利用建系解决平面向量的数量积（几何类）】 常见图形建立坐标系的方式及示例： 三角形 直角三角形 建系方式：以直角顶点为原点，两条直角边所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系。 示例：在中，，以为原点，$CA$所在直线为轴，$CB$所在直线为轴。若，，则，。 等腰三角形 建系方式：将底边中点作为原点，底边所在直线为轴，底边上的高所在直线为轴。 示例：对于等腰，，，底边上的高。以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$DA$所在直线为轴，则，，。 等边三角形 建系方式：以一边中点为原点，该边所在直线为轴，过中点且垂直于该边的直线为轴。 示例：设等边的边长为$2a$，以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$OA$所在直线为轴。则，，。 四边形 矩形 建系方式：以矩形的一个顶点为原点，相邻的两边所在直线分别为轴和轴。 示例：矩形$ABCD$中，以为原点，$AB$所在直线为轴，$AD$所在直线为轴。若，，则，，。 正方形 建系方式：与矩形类似，以正方形的一个顶点为原点，相邻两边为坐标轴。 示例：正方形$ABCD$边长为，以为原点，$AB$、$AD$所在直线分别为、轴，则，，。也可将正方形中心作为原点，使坐标轴与正方形的边平行或垂直，此时，，，。 平行四边形 建系方式：若平行四边形有一个内角为直角或有一边与坐标轴平行等特殊情况，可根据其特点建系。一般可选取一边所在直线为轴，过一个顶点且垂直于该边的直线为轴。 示例：平行四边形ABCD中，轴，以为原点，$AB$所在直线为轴，过作AB的垂线为轴。若，到CD的距离为，，则，。 菱形 建系方式：以菱形的对角线交点为原点，两条对角线所在直线分别为轴和轴。 示例：菱形ABCD中，对角线，，以AC、BD交点为原点，AC所在直线为轴，BD所在直线为轴，则，，，。 圆 建系方式：以圆心为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴建立直角坐标系。 示例：圆的半径为，以圆心为原点建系。圆上一点的坐标可表示为，其中为$OP$与轴正半轴的夹角。 梯形 建系方式：对于梯形ABCD，若，可将AB所在直线作为轴，过点作$AB$的垂线作为轴。若梯形为等腰梯形，也可将两底中点连线所在直线作为轴，底所在直线为轴。 示例：在梯形ABCD中，，，，，高为。以为原点，AB所在直线为轴，过作$AB$的垂线为轴，则，，，。 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 三、填空题 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是 ． 5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 四、解答题 6．（2025高一·全国·专题练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 一、单选题 1．（23-24高一下·天津和平·期末）已知向量，满足，，且，则（ ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25高一上·北京西城·期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知向量，下列选项正确的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 4．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ） A． B．方向上的单位向量为 C．向量在向量上的投影为 D．若，则 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，，且，若，则（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数在一个周期内的图象与轴、轴交于点、点，过点的直线相交于另外两点、．设为坐标原点，则在方向上的投影向量的模为（ ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 10．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 12．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 三、填空题 13．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 14．（2024·浙江嘉兴·二模）已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为 .（只需写出一个符合要求的答案） 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 $$【题型梳理】 【知识点分析】 1.平面向量坐标表示的定义 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。 向量坐标与点坐标的关系 向量的起点为原点时：若向量的起点与坐标原点重合，终点的坐标为，则向量的坐标就是。 向量起点不为原点时：设，，则向量，即向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。 2.平面向量的坐标运算 加法：若，，则。 减法：若，，则。 数乘：若，为实数，则。 3.平面向量平行的坐标表示 设，，其中，则的充要条件是。 4.平面向量模长的坐标表示 若，则向量的模。 5.平面向量数量积的坐标表示 设，，则。同时，若为与的夹角，则。 6.投影向量的坐标表示 投影向量的定义回顾 设向量与，在上的投影向量是与共线的向量，其数量为（为与的夹角），投影向量为。 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 6.向量的定比分点 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 【题型一：向量线性运算的坐标表示】 平面向量的坐标运算 加法：若，，则。 减法：若，，则。 数乘：若，为实数，则 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，，对角线的交点为O，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由求出. 【详解】． 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义求出的坐标可得答案. 【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到 ， 设，则， 解得，即. 故选：C. 【尝试用建系坐标运算】5．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 【尝试用建系坐标运算】6．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】 如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 【尝试用建系坐标运算】7．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 二、解答题 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）应用向量的坐标表示的线性运算即可； （2）根据向量的坐标运算结合已知计算即得. 【详解】（1）由已知得，，． ； （2）设为坐标原点． ，，， 又，， ，． 【题型二：向量的定比分点】 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 1．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 2．（22-23高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 二、多选题 3．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 四、解答题 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 6．（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 【题型三：向量的数量积的坐标表示】 平面向量数量积的坐标表示 设，，则。同时，若为与的夹角，则。 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知向量，，，则（ ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知向量，，且，则（ ） A． B．5 C．2 D．10 【答案】A 【分析】由向量的线性运算可得向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，可得答案. 【详解】，， . 故选：A. 3．（2025·海南·模拟预测）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标公式计算求出的值，代入坐标，即可求其模长. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则. 故选：B. 4．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（ ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 【详解】依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 二、填空题 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知平面向量，，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，进而求出即可求出. 【详解】由，得，解得， 而，，则，解得， 所以. 故答案为： 【题型四：向量的模长的坐标运算】 平面向量模长的坐标表示 若，则向量的模 1．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可. 【详解】由可得， 又可得， 在中，由勾股定理可得， 解得. 故选：C 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用模长公式，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，即， 解得 故选：A. 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 三、解答题 6．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，得，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出的值即可； （2）由题意解出，进而弦化切得出，再根据角的范围解出即可. 【详解】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 【题型五：投影向量的坐标表示】 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 1．（福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷）已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】在方向上的投影向量是， 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B．3 C．－ D．－3 【答案】D 【分析】代入投影向量公式计算即可. 【详解】因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为＝＝－3. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出向量的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可. 【详解】设向量是与同向的单位向量，则， 则向量在方向上的投影向量为. 故选：D 4．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 5．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用投影向量的意义求解即可. 【详解】由向量，，得， 由，得，解得，，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 二、多选题 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由数量积的坐标表示求得，再分类讨论，根据投影向量的概念求解． 【详解】由向量，，，得，所以，解得或. 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为； 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：BC 【题型六：向量夹角与平行垂直问题】 两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 1．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面向量的夹角公式的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则， 故选：C． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的公式求解即可，注意向量夹角的取值范围. 【详解】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 3．（24-25高三下·贵州·开学考试）设，向量且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 二、填空题 6．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量夹角的定义建立不等式，再排除向量平行的特殊情况，求解参数范围即可. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为钝角，所以，解得， 而此时与一定不平行，得到，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 【重点题型：利用建系解决平面向量的数量积（几何类）】 常见图形建立坐标系的方式及示例： 三角形 直角三角形 建系方式：以直角顶点为原点，两条直角边所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系。 示例：在中，，以为原点，$CA$所在直线为轴，$CB$所在直线为轴。若，，则，。 等腰三角形 建系方式：将底边中点作为原点，底边所在直线为轴，底边上的高所在直线为轴。 示例：对于等腰，，，底边上的高。以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$DA$所在直线为轴，则，，。 等边三角形 建系方式：以一边中点为原点，该边所在直线为轴，过中点且垂直于该边的直线为轴。 示例：设等边的边长为$2a$，以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$OA$所在直线为轴。则，，。 四边形 矩形 建系方式：以矩形的一个顶点为原点，相邻的两边所在直线分别为轴和轴。 示例：矩形$ABCD$中，以为原点，$AB$所在直线为轴，$AD$所在直线为轴。若，，则，，。 正方形 建系方式：与矩形类似，以正方形的一个顶点为原点，相邻两边为坐标轴。 示例：正方形$ABCD$边长为，以为原点，$AB$、$AD$所在直线分别为、轴，则，，。也可将正方形中心作为原点，使坐标轴与正方形的边平行或垂直，此时，，，。 平行四边形 建系方式：若平行四边形有一个内角为直角或有一边与坐标轴平行等特殊情况，可根据其特点建系。一般可选取一边所在直线为轴，过一个顶点且垂直于该边的直线为轴。 示例：平行四边形ABCD中，轴，以为原点，$AB$所在直线为轴，过作AB的垂线为轴。若，到CD的距离为，，则，。 菱形 建系方式：以菱形的对角线交点为原点，两条对角线所在直线分别为轴和轴。 示例：菱形ABCD中，对角线，，以AC、BD交点为原点，AC所在直线为轴，BD所在直线为轴，则，，，。 圆 建系方式：以圆心为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴建立直角坐标系。 示例：圆的半径为，以圆心为原点建系。圆上一点的坐标可表示为，其中为$OP$与轴正半轴的夹角。 梯形 建系方式：对于梯形ABCD，若，可将AB所在直线作为轴，过点作$AB$的垂线作为轴。若梯形为等腰梯形，也可将两底中点连线所在直线作为轴，底所在直线为轴。 示例：在梯形ABCD中，，，，，高为。以为原点，AB所在直线为轴，过作$AB$的垂线为轴，则，，，。 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值. 【详解】过点作，垂足为， 以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 其中， ， 当，即同向时，取最大值， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多选题 2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 4．（2025高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，由得到方程组，求出即可求得；设，则，令，则，移动直线，数形结合即可得答案. 【详解】正八边形的性质可知，以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴，轴建立如图1所示的平面直角坐标系． 正八边形内角和为，则， 所以，， ， 因为，即 所以 解得所以． 设，则，则， 令，则，移动直线， 当直线运动到过线段时，取最小值，将代入，得； 当直线运动到过线段时，取最大值，点坐标代入，得． 所以的取值范围为． 故答案为：，. 5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值. 【详解】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： ①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； ②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 四、解答题 6．（2025高一·全国·专题练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 一、单选题 1．（23-24高一下·天津和平·期末）已知向量，满足，，且，则（ ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25高一上·北京西城·期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知向量，下列选项正确的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 4．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ） A． B．方向上的单位向量为 C．向量在向量上的投影为 D．若，则 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，，且，若，则（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数在一个周期内的图象与轴、轴交于点、点，过点的直线相交于另外两点、．设为坐标原点，则在方向上的投影向量的模为（ ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 10．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 12．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 三、填空题 13．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 14．（2024·浙江嘉兴·二模）已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为 .（只需写出一个符合要求的答案） 四、解答题 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 《平面向量坐标运算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D C A B BC BCD 题号 11 12 答案 AD BCD 1．A 【分析】利用向量平行的坐标表示求出，，再利用模长公式求解即可． 【详解】因为，，， 所以，则，故， 所以，则． 故选：A. 2．B 【分析】根据条件，直接求出与共线的单位向量，即可求解. 【详解】设与向量共线的单位向量为， 则，解得，所以或， 故选：B. 3．D 【分析】运用向量平行垂直的坐标结论，结合模长公式计算判断即可. 【详解】对于A选项，若，已知， 有，即，所以，A选项错误. 对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，. ，则. 又因为，联立方程组，解得，B选项错误. 对于C选项，先求的坐标，. 则. 展开整理得. 其最小值为.所以的最小值为，C选项错误. 对于D选项，若与垂直，则，. 因，，则. 则，D选项正确. 故选：D. 4．C 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果. 【详解】根据向量数量积公式. 先求，. 再求.. 所以. 根据三角函数诱导公式，所以. 故选：C. 5．D 【分析】由条件根据向量线性运算坐标公式求，再由向量的模的坐标表示计算，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求方向上的单位向量，判断B，根据向量的投影的定义求向量在向量上的投影，判断C，根据向量垂直的坐标表示，判断D. 【详解】对于A：由可得，，所以，A错误； 对于B：因为，所以， 所以方向上的单位向量为，B错误； 对于C, 向量在向量上的投影为，C错误； 对于D：，所以，D正确. 故选：D. 6．C 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 7．A 【分析】根据数量积的坐标表示得到，再确定，由即可求出，从而得到的值，最后根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，所以且，所以， 又，且，所以， 所以，解得， 又，所以，则， 所以，则， 所以 . 故选：A 8．B 【分析】首先求出、的坐标，依题意可得点为线段的中点，从而得到，根据数量积的坐标表示求出，再根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量，即可得解. 【详解】因为，可得，即， 由图可知：点为减区间的对称中心， 令，，解得，， 取，则，即，可得，， 因为点为线段的中点，则， 所以，， 则在方向上的投影向量为， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 9．BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用向量投影的定义可判断B选项；可知，、方向相同，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算结合辅助角公式可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，可得， 故，A错； 对于B选项，因为，在上的投影为， 因为，则，即向量与的夹角为，B对； 对于C选项，若，则、方向相同， 所以，，解得， 故当时，，C对； 对于D选项，， 其中为锐角，且，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 11．AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 12．BCD 【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 13．且 【分析】由已知且与不平行，结合向量的坐标运算可得出的取值范围. 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 14．均可 【分析】设，，利用向量夹角公式，数量积的坐标运算可求得，得解. 【详解】设，，由题意可得， ，，即， ，解得. ，. 故答案为：，均可. $$