6.3.1平面向量的基本定理重难点题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

【6.3.1平面向量的基本定理】 【题型一：基底的概念】 平面向量基底的概念 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 对平面向量基底的理解 基底的不唯一性：平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选择不是唯一的。例如，在平面直角坐标系中，通常选取与轴、轴正方向同向的两个单位向量，作为基底，但也可以选择其他不共线的向量对作为基底，如与也可以作为一组基底。 基底的确定性：一旦选定了一组基底，，那么平面内的任意向量都可以用这组基底唯一地表示出来。也就是说，对于给定的向量，若，则，是唯一确定的。例如，已知，为基底，若，那么这里的和是唯一确定的，不会存在其他一组数，使得成立（除非且）。 基底向量的性质：作为基底的两个向量，必须是不共线的。因为如果两个向量共线，那么它们只能表示与其共线的向量，无法表示平面内的所有向量。例如，若与共线，设（为实数），那么对于不与共线的向量，就无法用，线性表示出来。 几何意义：从几何角度看，基底向量可以理解为平面内的一组“基本方向”。以这两个基底向量为边可以构成一个平行四边形，而平面内的任意向量都可以通过这个平行四边形的边和对角线来表示。 代数意义：平面向量基底为向量的运算和研究提供了一种代数化的方法。通过将向量用基底表示，可以将向量的问题转化为实数的运算问题。比如，已知，，那么，等运算都可以通过基底的系数进行，使得向量的运算更加规范和便于操作。 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 二、多选题 3．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A． B． C． D． 多选题4．（2023高一·全国·专题练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 多选题5．（21-22高一下·吉林长春·期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 多选题6．（23-24高一下·湖北·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【题型二：用基底表示已知向量】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 二、解答题 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 5．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 6．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【题型三：利用“爪型结构”的共线定理求最值】 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 爪形结构的应用 证明三点共线：若能证明存在实数，使得成立，则可判定，，三点共线。 向量的线性表示：已知，，三点共线及相关向量关系，可利用爪形结构将用和表示出来，进而进行向量的运算和求解。例如，在中，是BC上一点，且，则。 解决几何问题：在平面几何中，对于涉及线段比例、点的位置关系等问题，可通过建立爪形结构，利用向量的运算和性质来求解。如求三角形的重心、内心、外心等特殊点的向量表示时，爪形结构往往能发挥重要作用。 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．3 二、填空题 3．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 4．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 三、解答题 5．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系； (2)求的最小值 6．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【题型四：利用平面向量基本定理求参数】 求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数值 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 2．（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁·开学考试）如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 6．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A．0 B． C． D．1 2．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（ ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（ ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 二、多选题 7．（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 三、填空题 8．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）在中，设，E为BC中点，与交于点，则 .若，则的值为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 10．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 11．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 2024-2025高一数学重难点题型归纳【人教A版2019必修第二册】 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【6.3.1平面向量的基本定理】 【题型一：基底的概念】 平面向量基底的概念 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 对平面向量基底的理解 基底的不唯一性：平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选择不是唯一的。例如，在平面直角坐标系中，通常选取与轴、轴正方向同向的两个单位向量，作为基底，但也可以选择其他不共线的向量对作为基底，如与也可以作为一组基底。 基底的确定性：一旦选定了一组基底，，那么平面内的任意向量都可以用这组基底唯一地表示出来。也就是说，对于给定的向量，若，则，是唯一确定的。例如，已知，为基底，若，那么这里的和是唯一确定的，不会存在其他一组数，使得成立（除非且）。 基底向量的性质：作为基底的两个向量，必须是不共线的。因为如果两个向量共线，那么它们只能表示与其共线的向量，无法表示平面内的所有向量。例如，若与共线，设（为实数），那么对于不与共线的向量，就无法用，线性表示出来。 几何意义：从几何角度看，基底向量可以理解为平面内的一组“基本方向”。以这两个基底向量为边可以构成一个平行四边形，而平面内的任意向量都可以通过这个平行四边形的边和对角线来表示。 代数意义：平面向量基底为向量的运算和研究提供了一种代数化的方法。通过将向量用基底表示，可以将向量的问题转化为实数的运算问题。比如，已知，，那么，等运算都可以通过基底的系数进行，使得向量的运算更加规范和便于操作。 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【分析】根据基底的概念和平面向量共线的充要条件可判断选项A；根据平面向量基本定理即可逐一进行判断选项B、C、D.. 【详解】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使的实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过判断向量是否共线即可得解. 【详解】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 多选题4．（2023高一·全国·专题练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案. 【详解】根据平面向量基本定理可知正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误， 若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误． 故选：． 多选题5．（21-22高一下·吉林长春·期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 【答案】ABD 【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D. 【详解】对A，给定向量，总存在向量，使， 即，显然存在，所以A正确. 对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得： 总存在实数和，使，故B正确． 对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使， 当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确. 对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立. 故选：ABD 多选题6．（23-24高一下·湖北·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故A正确； 对于B选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D选项， 若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底，故D错误. 故选：ABC. 【题型二：用基底表示已知向量】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可. 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 二、解答题 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【答案】；； 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可． 【详解】解：在中，已知是的中点，是的重心． 又向量，向量． 则； ； ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 【答案】，， 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以，， 所以 ； ； ． 5．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可. （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明. 【详解】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 6．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算和相等向量的充要条件，求出和即可. 【详解】（1）因为在中，点为的中点， 所以； 所以， 则 （2）因为， 又， 所以， 即，解得： 【题型三：利用“爪型结构”的共线定理求最值】 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 爪形结构的应用 证明三点共线：若能证明存在实数，使得成立，则可判定，，三点共线。 向量的线性表示：已知，，三点共线及相关向量关系，可利用爪形结构将用和表示出来，进而进行向量的运算和求解。例如，在中，是BC上一点，且，则。 解决几何问题：在平面几何中，对于涉及线段比例、点的位置关系等问题，可通过建立爪形结构，利用向量的运算和性质来求解。如求三角形的重心、内心、外心等特殊点的向量表示时，爪形结构往往能发挥重要作用。 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 2．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 二、填空题 3．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 4．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理得到，然后由三点共线得到系数和为1，解出，用基本不等式求解最小值. 【详解】如图所示： 因为，所以 又，所以 ，所以 , 三点共线，，化简得； ，当且仅当，，取等； 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系； (2)求的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可； （2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可. 【详解】（1），又， ， ， 又三点共线，. （2）因为，，， 当且仅当取等， 所以的最小值为. 6．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【题型四：利用平面向量基本定理求参数】 求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数值 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 4．（2022·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁·开学考试）如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【答案】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 6．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 【答案】 9 【分析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，故． 因为三点共线，所以． 因为，所以，所以． 因为三点共线，所以设，所以， 则解得，则． 故答案为：；9. 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A．0 B． C． D．1 2．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（ ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（ ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 二、多选题 7．（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 三、填空题 8．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）在中，设，E为BC中点，与交于点，则 .若，则的值为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 10．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 11．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D D A B BCD 1．C 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示，即可求出，从而可求出结果. 【详解】 因为D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点， 所以， 所以， 因为不共线，所以， 所以. 故选：C. 2．C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3．D 【分析】根据已知条件，结合向量的基本定理，可得，,即可由平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】，则， 设，则，， 则， 故，解得，， 故, ，，， 则 ． 故选：D． 4．D 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 5．A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 6．B 【分析】对于A，利用三角形重心性质易得，计算即可判断；对于B，将转化后利用向量数量积计算即得；对于C，先算出边上的高线长，再利用三角函数和勾股定理求得长，即可判断；对于D，先通过等面积求得三角形的内切圆半径，即得长，即可判断. 【详解】 对于A，如图，P为△ABC的重心时，延长交于点. 必有,即，故有，即A正确； 对于B，如图，连接,则, 在中，，故, 于是， 因，则,即，故，故B错误； 对于C，如图，延长交于点,不妨设 在中，,故中， ①， 又,解得，故， 在中， ② ，联立①和②，解得， 故,即，则，C正确； 对于D，如图，设的内切圆半径为， 则由解得，即, 故，即，则，D正确. 故选：B. 7．BCD 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A,B,C,设，将，代入， 得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线， 所以，得， 即．所以A错，B，C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， ， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：BCD． 8． / / 【分析】将分别用表示，再用数量积公式即可求得；根据，可得，设，可得，由此建立关于t，λ的方程组，解出即可. 【详解】如图： ， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，解得. 故答案为：，. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 10．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【详解】（1） 因为， 所以， 所以，即. （2）设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．(1) (2)时，的最小值. 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以， 所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. （2）由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$