精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高三下学期期初检测数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解集合中的一元二次方程，得到集合，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】解方程，得，所以或， 所以，则. 故选：B. 2. 复数z满足，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由题意可得，则． 故选：A. 3. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心C到直线l的距离， 所以. 故选：C 4. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 5. 在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用线面平行的判定定理和性质定理来判断“”与“平面”之间的条件关系. 【详解】由，平面，平面BEF，得平面． 由平面，平面PCD，平面平面，得． 故“”是“平面”的充要条件． 故选：A 6. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期性，利用赋值，可得答案. 【详解】因为，且函数为奇函数， 所以， 所以，所以的周期， 所以． 因为，所以，所以， 则． 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到， 显然不是奇函数，故A错误． 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误． 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误． 由，得，则， 即在上的值域为，故D正确． 故选：D 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质判断焦点位置，再结合椭圆离心率公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】因为，则恒成立， 所以由C的离心率为，得，解得或． 故选：BD 10. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点分布结合期望和方差公式求出、的值，并结合期望和方差的性质判断即可. 【详解】由题意可得，则， 故， ，． 故选：ACD. 11. 如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（ ） A. B. C. 第j个四棱柱的体积为 D. 前j个四棱柱的体积之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知是等差数列，可判断A，B选项；C选项利用四棱柱的体积公式即可求出；D选项利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由题意可得是首项为，公差为的等差数列， 所以，故A错误； 又，故B正确； 对于C选项，第个四棱柱的体积为 ，故C正确； 对于D选项，由第个四棱柱的体积为可知，四棱柱的体积是首项为，公差为的等差数列， 所以前j个四棱柱的体积之和为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由题意分析出所求的量与数列之间的关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】运用双曲线定义解题即可. 【详解】若点P在双曲线C的左支上，则，与矛盾，则点P在双曲线C的右支上. 由双曲线的定义可得，则． 故答案为：8. 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 14. 设一个四位数的个位数、十位数、百位数、千位数分别为a，b，c，d，当时，称这个四位数为“和对称四位数”，且为这个“和对称四位数”的对称和，例如8440是一个“和对称四位数”，其对称和为8，则对称和不大于4的“和对称四位数”的个数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】四位数的个位、十位、百位、千位分别为 ，满足 。根据  的取值（1, 2, 3, 4）分别计算. 【详解】设 . 当  时：  的可能值为 1（对应 ），共 1 种组合.  的解有 2 种：. 四位数的个数：; 当  时：  的可能值为 1, 2（对应 ），共 2 种组合。.  的解有 3 种：. 四位数的个数：; 当  时：  的可能值为 1, 2, 3（对应 ），共 3 种组合.  的解有 4 种：. 四位数的个数：; 当  时：  的可能值为 1, 2, 3, 4（对应 ），共 4 种组合.  的解有 5 种：. 四位数的个数：. 将以上结果相加，总数为 . 因此，对称和不大于 4 的“和对称四位数”共有 40 个. 故答案为：40 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，由三角函数的诱导公式与和角公式，结合三角形的几何性质，可得答案； （2）由三角函数的差角公式与辅助角公式，整理可得正弦型函数，根据正弦函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，即． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以，所以， 则． 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，则， 即的取值范围是． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 【答案】（1） （2） 令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得． 【小问2详解】 略． 17. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． （1）证明：平面平面ABCD． （2）求五面体ABCDEF的体积． （3）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理与矩形可得线线垂直，利用线面垂直的判定与面面垂直的判定，可得答案； （2）将图形分割为三棱柱与四棱锥，利用三棱柱与四棱锥的体积公式，可得答案； （3）由题意建立坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：取棱CD的中点G，连接EG， 易证四边形CFEG为平行四边形，则， 因为，所以，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以． 因为AD，平面ADE，且，所以平面ADE． 因为平面ABCD，所以平面平面ABCD． 【小问2详解】 取棱AD的中点O，连接OE． 因为，所以，． 因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD． 取棱AB的中点H，连接GF，GH，HF， 则． 【小问3详解】 取棱BC的中点M，连接OM，易证OA，OM，OE两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，则，． 设平面BCF的法向量为，则 令，得． 平面ADE的一个法向量为． 设平面ADE与平面BCF所成的角为，则． 18. 已知抛物线W：的焦点为F，直线：与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求． （3）已知点，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）直线AB恒过定点． 【解析】 【分析】（1）通过联立直线与抛物线方程，利用判别式为求出的值，进而得到抛物线方程； （2）先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的焦点弦长公式求出； （3）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据直线分别和以为圆心的动圆相切，同构得到a，b是一元二次方程的两个实数根，借助韦达定理求出， 即可. 【小问1详解】 联立整理得． 因为与W相切，所以，解得或（舍去）， 故W的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知． 因为，所以的方程为． 设，． 联立整理得，则，， ． 【小问3详解】 设，，则直线l的方程为，① 直线AP的方程为，直线BP的方程为． 设动圆F的半径为r，．因为直线AP和圆F相切，所以， 整理得， 同理可得， 所以a，b是一元二次方程的两个实数根， 则，，代入①式整理得． 由，得，此时，故直线AB恒过定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程和交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到一元二次方程、注意根的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的式子； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知数列的通项公式为，集合，从U中随机取三个元素组成集合E，记，． （1）若，求； （2）求的概率； （3）若，且F中元素的最大值为m，记，，试讨论的概率．（结果用m表示） 【答案】（1）84 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据题目中的规定，代入直接求解； (2)根据题意求得从U中随机取三个元素组成集合E的个数，分类讨论符合条件的集合E的个数，即可求得所求概率； (3)分别对当或和时讨论的情况，计算求得概率的表达式. 【小问1详解】 【小问2详解】 不妨设， 若，则． 若，则． 若，则集合E的组成有种情况， 若，则集合E的组成有种情况． 故的概率为． 【小问3详解】 设E中元素的最大值为． 当或时，恒成立的概率为1． 当时，分析如下： 当时，． 当，即时，，，所以， 所以要使得，则需． 满足的集合E有个，则满足的集合E有个， 所以的概率为； 综上，当或2时，的概率为1； 当时，的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 32 3. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 4. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 5. 在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（ ） A. B. C. 第j个四棱柱的体积为 D. 前j个四棱柱的体积之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则______． 13. 已知，则______． 14. 设一个四位数的个位数、十位数、百位数、千位数分别为a，b，c，d，当时，称这个四位数为“和对称四位数”，且为这个“和对称四位数”的对称和，例如8440是一个“和对称四位数”，其对称和为8，则对称和不大于4的“和对称四位数”的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； （2）讨论的零点个数． 17. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． （1）证明：平面平面ABCD． （2）求五面体ABCDEF的体积． （3）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 18. 已知抛物线W：的焦点为F，直线：与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求． （3）已知点，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知数列的通项公式为，集合，从U中随机取三个元素组成集合E，记，． （1）若，求； （2）求的概率； （3）若，且F中元素的最大值为m，记，，试讨论的概率．（结果用m表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $