专题01 平方根重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题01 平方根重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 平方根概念理解 题型二 无理数 题型三 求近似数的精确度 题型四 求一个数的平方根 题型五 求一个数的算术平方根 题型六 无理数的大小估算 题型七 估计算术平方根的取值范围 题型八 求一个数的近似数 题型九 求代数式的平方根 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 题型十二 算术平方根的实际应用 题型十三 平方根的应用 题型十四 平方根的新定义运算 知识点01平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点03平方根的性质 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个数的算术平方根为2m＋5，平方根为±（m－2），则这个数为 ． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 【经典例题二 无理数】 【例2】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）在下列五个数中：①；②；③；④；⑤，介于及之间的无理数有 ．（填序号） 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【经典例题三 求近似数的精确度】 【例3】（2024七年级下·湖南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 3．（2024七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【经典例题四 求一个数的平方根】 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 2．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【经典例题五 求一个数的算术平方根】 【例5】（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器计算：观察所得结果，总结规律．应用得到的规律计算的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【经典例题六 无理数的大小估算】 【例6】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）对正整数x依次进行如下计算后得到y，称为对x进行了1次S运算，若将得到的值y作为x代入后再次进行S运算，称为对x进行了2次S运算，以此类推．例如，对14进行了一次S运算后，得到的数值为3，对14进行了2次S运算后，得到的值为1，已知如果对正整数x进行了一次S运算后，得到，那么经过推理可得x的值可以为1，2，3. 如果对正整数x进行了2次S运算后，得到，那么你认为满足条件的x的个数为（   ）    A．3 B．15 C．33 D．255 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【经典例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期中）【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【经典例题八 求一个数的近似数】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图所示的是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（   ） 姓名嘉淇    得分？填空题（共5个小题、答对一个小题得20分） ①的绝对值是1 ②比较大小： ③将0.0954精确到百分位的近似数是0.1． ④的系数是 ⑤若与是同类项，则的值为5 A．40分 B．80分 C．60分 D．100分 2．（23-24七年级下·山东聊城·期中）中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）学校一花坛为长方形，它的长为，宽为，图中扇形的半径都为，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草． (1)用含有的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积（结果保留）； (2)若，，求种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值（取，结果精确到十分位）． 【经典例题九 求代数式的平方根】 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【经典例题十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【经典例题十一 与算术平方根有关的规律探索题】 【例11】（23-24七年级下·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【经典例题十二 算术平方根的实际应用】 【例12】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【经典例题十三 平方根的应用】 【例13】（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 1．（23-24七年级下·北京海淀·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【经典例题十四 平方根的新定义运算】 【例14】（23-24七年级下·江西景德镇·期中）定义运算：，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则或．④若，则．其中一定正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 3．（23-24七年级下·全国·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列各数中，无理数是（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（23-24七年级下·湖南株洲·开学考试）如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·北京·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）在，，和这四个数中，位于2和4之间的数是 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 10．（2024·湖南岳阳·三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 15．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 平方根概念理解 题型二 无理数 题型三 求近似数的精确度 题型四 求一个数的平方根 题型五 求一个数的算术平方根 题型六 无理数的大小估算 题型七 估计算术平方根的取值范围 题型八 求一个数的近似数 题型九 求代数式的平方根 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 题型十二 算术平方根的实际应用 题型十三 平方根的应用 题型十四 平方根的新定义运算 知识点01平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点03平方根的性质 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个数的算术平方根为2m＋5，平方根为±（m－2），则这个数为 ． 【答案】9 【解析】略 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 【答案】7 【分析】根据平方根，算术平方根的定义，列式确定a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平方根即，称x是a的平方根，算术平方根即正的平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【经典例题二 无理数】 【例2】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键； 注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式． 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）在下列五个数中：①；②；③；④；⑤，介于及之间的无理数有 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了无理数的定义、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据无理数的定义和无理数估算方法，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，且是无理数； ∵， ∴不是无理数； ∵是及的平均数， ∴介于及之间，且为无理数； ∵， ∴不是无理数； ∵， ∴不是无理数． 综上所述，介于及之间的无理数有，． 故答案为：①③． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义； （1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 【经典例题三 求近似数的精确度】 【例3】（2024七年级下·湖南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、精确到千分位，故选项不符合题意； B、万精确到千位，故选项不符合题意； C、精确到十位，故选项不符合题意； D、精确到千位，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 3．（2024七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 【经典例题四 求一个数的平方根】 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查探索规律，平方差公式、多项式乘以多项式，分类讨论等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．本题题目所给规律，得出，进而推出或，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， 则， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故③错误； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①②④． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键： （1）利用夹逼法进行估算即可； （2）利用夹逼法进行估算求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为； 故答案为：4，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题五 求一个数的算术平方根】 【例5】（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【详解】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键，先利用平方差公式计算，再根据算术平方根定义计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器计算：观察所得结果，总结规律．应用得到的规律计算的值为 ． 【答案】 【分析】题主要考查了求一个数的算术平方根，直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案． 【详解】解：∵； ； ； ； 由上可得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【答案】【阅读理解】：4，6；【解决问题】：1或2或3；【扩展探究】①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算，涉及开方运算中的算术平方根，读懂题意，掌握新定义的根整数运算是解决问题的关键． 【阅读理解】由根整数的定义，结合及即可得到答案； 【解决问题】由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； 【扩展探究】①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案；②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； 【解决问题】解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； 【扩展探究】解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 【经典例题六 无理数的大小估算】 【例6】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用得到，从而可对进行估算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）对正整数x依次进行如下计算后得到y，称为对x进行了1次S运算，若将得到的值y作为x代入后再次进行S运算，称为对x进行了2次S运算，以此类推．例如，对14进行了一次S运算后，得到的数值为3，对14进行了2次S运算后，得到的值为1，已知如果对正整数x进行了一次S运算后，得到，那么经过推理可得x的值可以为1，2，3. 如果对正整数x进行了2次S运算后，得到，那么你认为满足条件的x的个数为（   ）    A．3 B．15 C．33 D．255 【答案】B 【分析】本题主要考查新定义问题、算术平方根、估算无理数大小，根据新定义内容得到x的范围，从而得出x的值，具体：当时，进行3次S运算后得到的，但是不符合条件“不超过2次S运算”；当时，进行2次S运算后得到的可得x的范围，从而得到满足条件的x的个数． 【详解】解：例子中“对正整数x进行了一次S运算后，得到”，理由： ∵， ∴当时，对正整数x进行了1次S运算后，得到； ∵， .当时，对正整数x进行了1次S运算后，得到； ∵， ∴当时，对正整数x进行了1次S运算后，得到； 综上所述，x的值为1或2或3； 同理可得： ∵，，， ∴当时，对正整数x进行了3次S运算后，得到，不符合“不超过2次S运算”； ∵，，…当时，对正整数x进行了2次S运算后，得到， 综上所述，若对正整数x进行了“不超过2次S运算”后，得到，则，且x为正整数，所有满足条件的x的个数为15． 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算是关键．． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据非负数的性质求出x和y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”为； 故答案为：； （2）解：   ， ， 的“共同体区间”为 的“共同体区间”为． 【经典例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在6和7之间． 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期中）【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【答案】(1)， (2)无理 (3) (4)见解析，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义、无理数的估算及算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． （1）用大正方形面积减去四个三角形面积可得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义可得正方形的边长； （2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数， （3）利用“夹逼法”估算的取值范围，进而得出，再求的平方根即可求解； （4）利用网格画出正方形，同（1）的方法求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，设大正方形为， ∴． ∵， ∴正方形的面积是17，边长是． 故答案为：， ． （2）∵是无理数， ∴正方形的边长是无理数， 故答案为：无理． （3）∵， ∴，则 ∴，的平方根是 的平方根是 故答案为：． （4）如图所示正方形即为所求， ∵小正方形的面积=， ∴小正方形的边长为． 【经典例题八 求一个数的近似数】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数“近似数是与实际接近的数．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义求解即可得． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确的到的是， 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图所示的是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（   ） 姓名嘉淇    得分？填空题（共5个小题、答对一个小题得20分） ①的绝对值是1 ②比较大小： ③将0.0954精确到百分位的近似数是0.1． ④的系数是 ⑤若与是同类项，则的值为5 A．40分 B．80分 C．60分 D．100分 【答案】C 【分析】分别根据有理数的绝对值、大小比较、近似数，单项式的系数、同类项的定义逐个判定即可解答． 【详解】解：①的绝对值是1，故①正确； ②，故②正确； ③0.0954精确到百分位的近似数是0.10，故③错误； ④的系数是，故④错误； ⑤若与是同类项，则，，则，故⑤正确． ∴嘉淇同学答对了3题，她的得分应是（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的绝对值，大小比较，近似数，单项式的系数，同类项，有理数乘法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期中）中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法和求近似数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数即可得到答案． 【详解】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）学校一花坛为长方形，它的长为，宽为，图中扇形的半径都为，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草． (1)用含有的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积（结果保留）； (2)若，，求种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值（取，结果精确到十分位）． 【答案】(1)种植四季青草部分（阴影部分）的面积为 (2)种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值为 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，按四舍五入的方法求解一个数的近似值，掌握“列代数式及求解代数式的值”是解本题的关键，注意结果要求精确到十分位． （1）由阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可． （2）把，，代入（1）中的代数式进行计算求值后四舍五入即可． 【详解】（1）解：∵阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积， ∴， ∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积为． （2）解：当，时， ∴， ∴， ∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值为． 【经典例题九 求代数式的平方根】 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 ． 【答案】6 【分析】先求出小正方形面积＝大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝36， 又∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 【经典例题十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据一个整数a的两个平方根是和，得到，求得，结合，计算的立方根即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个整数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 【经典例题十一 与算术平方根有关的规律探索题】 【例11】（23-24七年级下·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 【经典例题十二 算术平方根的实际应用】 【例12】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，根据算术平方根性质求出，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， 同理，得， ∵，即， ∴正方形的边长，即． ∴正方形的边长可能是． 故选：B． 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【详解】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【答案】 是 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题十三 平方根的应用】 【例13】（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 1．（23-24七年级下·北京海淀·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】B 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：， ∴故选项A不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴有3个正整数n满足，故选项不正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 【经典例题十四 平方根的新定义运算】 【例14】（23-24七年级下·江西景德镇·期中）定义运算：，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则或．④若，则．其中一定正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据新定义代入计算；②分别计算和，进行判断；③根据新定义列出方程，解方程，进行判断；④代入计算，判断是否正确． 【详解】解：①，所以此选项正确； ②，，所以此选项不正确； ③∵ 即 即， ∴， 解得：或，所以此选项正确； ④，则或，所以此选项不正确； 其中正确结论的个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义实数运算，根据平方根解方程，有理数的混合运算，整式的乘法混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 【答案】 【分析】根据新定义得出a，b的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵min{，a}=，min{，b}=b， ∴＜a，b＜， 又∵a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=4， 则a+b=9的平方根为：±3． 故答案为±3． 【点睛】此题主要考查了平方根和实数运算，正确得出a，b的值是解题关键． 3．（23-24七年级下·全国·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 即， 所以，所以． 因为，所以的“青一区间”为． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列各数中，无理数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义、算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、0是有理数，则此项不符合题意； B、是有理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项符合题意； D、，是有理数，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③0.1是0.01的算术平方根，故③错误； ④的平方根是，故④错误； ⑤81的算术平方根是9，故⑤错误． 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖南株洲·开学考试）如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据题意得，，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴大正方形与小正方形的边长之比， 故选：B． 6．（23-24七年级下·北京·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据， ，可得，再由a是整数，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴，且a是整数， ∴， 故答案为：3． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）在，，和这四个数中，位于2和4之间的数是 ． 【答案】， 【分析】本题考查无理数的估计，解题的关键在于掌握无理数的估算方法．利用无理数的估算方法估算出，，的取值范围，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 位于2和4之间的数是，， 故答案为：，． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握算术平方根的运算法则是解题的关键． 根据题意代入数字运算寻找规律即可解答． 【详解】根据题意得：，，，，，， ∴每次进行一次循环， ∵， ∴第步后，显示的结果是； 故答案为：． 10．（2024·湖南岳阳·三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： 因为，所以的算术平方根为， 所以的算术平方根为． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【答案】(1) (2)，的平方根是 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解； （2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ； （2）， 的平方根是， ，的平方根是． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3． （2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下： 面积为13.8的正方形的边长是，且， 设，其中， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． 15．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $$