专题03 实数重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 实数重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数与数轴 题型四 实数的性质 题型五 实数的混合运算 题型六 实数的大小比较 题型七 新定义下的实数运算 题型八 实数运算的实际应用 题型九 与实数运算相关的规律题 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点04实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案． 【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：； ③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在﹣3.14，，0，π，中，有理数有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可． 【详解】在﹣3.14，，0，π，中，有理数有﹣3.14，，0，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）给出下列实数：、、0、、、、（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分数的定义，实数，平方根，解题的关键是熟练掌握分数的定义和平方根． 根据分数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴，，，属于分数，共3个； 故选：A． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的分类，实数与数轴，有理数的加法与乘法运算，近似数的精确值的范围，绝对值的含义，本题根据定义与对应的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：实数包括无理数和有理数；故①符合题意； 数轴上的点与实数一一对应；故②不符合题意； 如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；故③符合题意； 近似数所表示的准确数x的范围是：；故④不符合题意； 绝对值等于本身的数是正数或0，故⑤不符合题意； 故选A 2．（2024七年级下·全国·专题练习）以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 【答案】；；，（每两个2之间依次增加一个1）；． 【分析】本题考查了实数，根据实数的分类，逐一判断即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， 正有理数集合：； 负有理数集合：； 正无理数集合：，（每两个2之间依次增加一个1），； 负无理数集合：． 【经典例题三 实数与数轴】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，先确定的取值范围，然后求出的取值范围，再对应数轴上的每一段范围即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②． 故选：C． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，有理数与无理数，根据无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，逐一进行判断即可． 【详解】解：任何无理数都是无限小数；故①说法正确； 实数与数轴上的点一一对应；故②说法错误； 在1和3之间的无理数有无数个，故③的说法错误； 是无理数，故④的说法错误； 故选A． 2．（24-25七年级下·湘潭·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出数轴如下： ∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等, ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示． 设点B所表示的数为m． (1)实数m的值为______； (2)求的值； (3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根为2 【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． （1）通过，在数轴上表示的数进行运算． （2）化简绝对值进行运算． （3）根据非负数的意义进行解答． 【详解】（1）解：点在点右侧2个单位处， 点所表示的数为：，即． 故答案为：． （2）解：，则，， ； 的值为2． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：，， ， 的立方根为2． 【经典例题四 实数的性质】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：的平方根是；故①错误； 表示6的算术平方根的相反数；故②正确； 是的平方根；故③正确； 与是同类二次根式；故④正确； 的绝对值是；故⑤正确； 故选C． 2．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了立方根，实数的性质以及运算法则，根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：立方根等于本身的数是，0，1，故①说法正确； 时，，此时没有平方根， 时，，此时有平方根，故②说法错误； ，，两个均是无理数，它们的和为0，是有理数，故③说法错误； 若，，即，，则，故④说法正确； 若，即，则，即，故⑤说法错误； 若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，故⑥说法错误； 故答案为：①④． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 【经典例题五 实数的混合运算】 【例5】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节，求出表示的数为，表示的数正好是1，即可得解． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节， 在数列中是第个，，故表示的数正好是第10轮的最后一个，为， 在数列中是第个，，故表示的数正好是1， ∴与表示的两个数的积是， 故选：B． 1．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2）；10 【分析】本题考查实数的运算和整式的化简求值，按照运算顺序计算并熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）先计算立方根和平方根，最后加减运算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式将整式展开，再合并同类项得化简结果，最后代值计算即得． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 【经典例题六 实数的大小比较】 【例6】（2024七年级下·湖南常德·模拟预测）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，选择一个合适的数代入是解题的关键，在所给的范围内选择一个具体的数代入后比较即可． 【详解】 可取，那么 最小，最大． 故选：A． 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）比较大小：① ；② （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，理解并掌握实数比较大小的方法是解题关键． ①由，易得，然后根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”即可获得答案；②首先由可知，进而可得，然后比较与大小即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：；． 3．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴， ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． （2）能 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【经典例题七 新定义下的实数运算】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，读懂题中新定义运算规则并熟练掌握实数运算法则是解题的关键．根据题中运算规则变形，再进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ，； （2），，且， ，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 【经典例题八 实数运算的实际应用】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 3．（24-25七年级下·湖南益阳·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用整式的乘法法则，当时，，， 可判断①错误；当时，，经过计算，可判断②错误；当为奇数时，令,则，，得，可判断③正确；当为偶数时，当时， ； 当时，； ,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的． 【详解】解：①当时，，， 故①错误； ②当时，， ，，，，， ， 故②错误； ③当为奇数时，令, 则 ， ， ， 故③正确； ④当为偶数时， 当时，， ； 当时，， ； , 依此类推， 故④正确； 故答案为：B． 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 【例9】（23-24七年级下·安徽六安·期中）观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】根据题意，第n个等式为 ＝ ∴＝＝ 故选择：C． 【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 3．（2024·湖南永州·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．绝对值等于它的相反数的数是负数 B．倒数是它本身的数互为相反数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．平方根为本身的数是0或1 【答案】B 【分析】此题考查绝对值的性质，倒数的定义，平方根的定义，根据定义依次判断即可． 【详解】解：A.绝对值等于它的相反数的数是非负数，故原说法不正确； B.倒数是它本身的数是1和，它们互为相反数，原说法正确； C.有理数可以用数轴上的点表示，实数与数轴上的点一一对应，原说法不正确； D.平方根为本身的数是0，原说法不正确； 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，根据数轴得到点M的可能取值，再结合点M更接近，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 因为和在到之间， 所以和可能是点M， 又因为点M更接近， 所以点M表示的数可能是， 故选：C． 3．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，数轴与实数，根据正方形面积为7，得到，点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称，可得点B表示的数为，点E表示的数为，再利用数轴上两点的距离公式即可求解． 【详解】解：正方形面积为7， ， 点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称， 点B表示的数为，点E表示的数为， B，E两点之间的距离是． 故选：A． 5．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】B 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：， ∴故选项A不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴有3个正整数n满足，故选项不正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 6．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）到数轴上表示的点的距离为2的点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当这个点在左边和右边两种情况，分别列式即可． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：； 当这个点在右边时，这个点对应的数为：． 综上所述，到数轴上表示的点的距离为2的点表示的数为或． 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 8．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 9．（23-24七年级下·北京西城·期中）甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得 分． 【答案】5 【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答； 通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分， 【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的． 而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数． 甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分． 故答案为：5． 10．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 11．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义． （1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：原式， ， 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴． (1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=） (2)举一反三：比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了实数大小比较，关键是熟练掌握作差法． （1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②； （2）根据作差法即可比较大小． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则； ③若，则． 故答案为：①，②； （2）解： ， ， ， ， ． 13．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【答案】(1)的长在2和3之间 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 14．（2024七年级下·湖南株洲·专题练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)有 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算，理解新定义，是解题的关键． （1）根据封闭性的定义进行求解即可； （2）根据，其中a，b为有理数，得出，，求出，，代入求出结果即可； （3）将等式整理得：，由有理数的四则运算封闭性得出结果即可． 【详解】（1）解：因为任意两个实数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是实数，所以实数具有封闭性． （2）解：∵，其中a，b为有理数， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解：已知等式整理得：， ∴由有理数的四则运算封闭性可得： ， ∴． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数与数轴 题型四 实数的性质 题型五 实数的混合运算 题型六 实数的大小比较 题型七 新定义下的实数运算 题型八 实数运算的实际应用 题型九 与实数运算相关的规律题 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点04实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在﹣3.14，，0，π，中，有理数有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）给出下列实数：、、0、、、、（每相邻两个1之间依次多一个0），其中分数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024七年级下·全国·专题练习）以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 【经典例题三 实数与数轴】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·湘潭·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示． 设点B所表示的数为m． (1)实数m的值为______； (2)求的值； (3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【经典例题四 实数的性质】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【经典例题五 实数的混合运算】 【例5】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 1．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： ． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【经典例题六 实数的大小比较】 【例6】（2024七年级下·湖南常德·模拟预测）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）比较大小：① ；② （填“”，“”，“”号）． 3．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【经典例题七 新定义下的实数运算】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【经典例题八 实数运算的实际应用】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    3．（24-25七年级下·湖南益阳·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 【例9】（23-24七年级下·安徽六安·期中）观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 3．（2024·湖南永州·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．绝对值等于它的相反数的数是负数 B．倒数是它本身的数互为相反数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．平方根为本身的数是0或1 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3大 C．只有2个正整数满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 6．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）到数轴上表示的点的距离为2的点表示的数为 ． 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 9．（23-24七年级下·北京西城·期中）甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得 分． 10．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 11．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）计算 (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴． (1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=） (2)举一反三：比较与的大小． 13．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 14．（2024七年级下·湖南株洲·专题练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$