拓展5-5 一元函数的导数及其应用六个易错点-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版选择性必修第二册）

拓展5-5 一元函数的导数及其应用六个易错点 一、求导易出错 四、导数为0与极值并不等价 二、混淆“过”点和“在”点的切线 五、求单调区间时忽略定义域 三、混淆导函数正负与原函数增减 六、混淆已知单调区间与在区间上单调 一、求导易出错 易错分析：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方； ②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即． 例1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1-1．已知，则等于 .（用数字作答） 变式1-2．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．设，其在点处的切线方程为 ． 二、混淆“过”点和“在”点的切线 易错分析：在点处的切线代表为切点且在曲线上，而“过点的切线”仅能说明点在曲线的切线上 例2．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 变式2-1．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 变式2-3．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 三、混淆导函数正负与原函数增减 易错分析：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 例3．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）    A．   B．   C．   D．   变式3-1．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 变式3-3．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 四、导数为0与极值并不等价 易错分析：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 例4．已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 变式4-1．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 变式4-2．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 变式4-3．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 五、求单调区间时忽略定义域 易错分析：涉及函数的问题，需先看看定义域的范围，不然很容易出错 例5．求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 变式5-1．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 变式5-2．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 变式5-3．求函数的单调区间． 六、混淆已知单调区间与在区间上单调 易错分析：若已知单调增区间，则该区间为函数的全部增区间；若函数在区间上单调递增，则区间为函数增区间的一部分 例6．函数．若的单调递减区间为，求a的值． 变式6-1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 . 变式6-2．若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 2．（多选）下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 4．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数先减后增再减 B．函数先增后减 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 5．若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 8．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 9．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展5-5 一元函数的导数及其应用六个易错点 一、求导易出错 四、导数为0与极值并不等价 二、混淆“过”点和“在”点的切线 五、求单调区间时忽略定义域 三、混淆导函数正负与原函数增减 六、混淆已知单调区间与在区间上单调 一、求导易出错 易错分析：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方； ②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即． 例1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2）∵， ∴. （3）． （4）. 变式1-1．已知，则等于 .（用数字作答） 【答案】 【详解】，令得，解得. 故答案为： 变式1-2．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 变式1-3．设，其在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则. 故曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 二、混淆“过”点和“在”点的切线 易错分析：在点处的切线代表为切点且在曲线上，而“过点的切线”仅能说明点在曲线的切线上 例2．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 变式2-1．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 变式2-2．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】/ 【详解】由，得，则. 又，所以所求切线方程为. 又切线与轴、轴分别交于点，， 所以所求的三角形面积. 故答案为：. 变式2-3．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，所以， 所以切线方程为， 所以，即， 因为过点作该曲线的两条切线， 所以关于的方程有两个不同的解， 即关于的方程有两个不同的解，所以. 故选：D. 三、混淆导函数正负与原函数增减 易错分析：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 例3．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 变式3-1．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 变式3-2．函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 变式3-3．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 四、导数为0与极值并不等价 易错分析：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 例4．已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 变式4-1．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 变式4-2．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 变式4-3．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 五、求单调区间时忽略定义域 易错分析：涉及函数的问题，需先看看定义域的范围，不然很容易出错 例5．求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【详解】（1）． 令，解得， 因此函数的单调递增区间为． 令，解得或， 因此函数的单调递减区间为． （2）函数的定义域为． ． 因为，所以． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，解得．又， 所以函数的单调递减区间为． 变式5-1．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为. (2)单调递增区间为；单调递减区间为和. 【详解】（1）函数的定义域为. 因为，所以，令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 令，解得，又， 所以函数的单调递减区间为. （2）函数的定义域为. . 因为，所以. 令，解得，所以函数的单调递增区间为； 令，解得，又， 所以函数的单调递减区间为和. 变式5-2．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为． 【详解】（1）因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）因， 由可解得；由可解得或. 故函数的单调递增区间为：； 函数的单调递减区间为：和. 变式5-3．求函数的单调区间． 【答案】减区间为，增区间为 【详解】由函数，可得的定义域为，且， 令，可得，解得， 令，可得，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为． 六、混淆已知单调区间与在区间上单调 易错分析：若已知单调增区间，则该区间为函数的全部增区间；若函数在区间上单调递增，则区间为函数增区间的一部分 例6．函数．若的单调递减区间为，求a的值． 【答案】 【详解】因为函数，所以， 当时，在单调递增，不合题意； 当时，单调递增；单调递增； 单调递减； 又因为的单调递减区，所以，即得． 变式6-1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 依题意，，而当时，， 则，所以a的取值范围为. 故答案为： 变式6-2．若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得对恒成立， 即对恒成立． 因为y＝ax＋a＋1的图象为直线， 所以，解得． 故选：B. 变式6-3．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以对恒成立，所以对恒成立， 所以，所以实数a的取值范围是. 故选：B. 1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得. 2．（多选）下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 3．（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 4．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数先减后增再减 B．函数先增后减 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 【答案】AD 【详解】对于A、B选项，由题意可得，与对应的图象如下图所示，法一：直接观察的图象可以得出函数先减后增再减；法二：由图象可得，的正负变化，从左至右分别为负、正、负，从而可以判断原函数的单调性先减后增再减，所以A正确，B错误； 对于C、D选项，因为， 所以， 由图可得，在区间上，图象在图象上方，即， 所以，所以函数在区间上是增函数，因此C错误，D正确， 故选：AD. 5．若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值. 故选：B 7．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 8．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.      故答案为： 9．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 10．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 11．已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以. ，， 所以曲线在处的切线方程为， 即直线的方程为. （2）设过原点的直线与曲线切于点. 则的斜率， 所以，整理得，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$