专题26 平行四边形小结与练习-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题26 平行四边形小结与练习（解析版） 知识点一 平行四边形的性质 1．（2024春•滑县期末）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（　　） A．①：一组邻边互相垂直 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：有一个角是直角 【思路引领】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐一判断即可． 【完整解答】解：∵有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形， 故①正确； ∵矩形的对角线相等，无法说明是正方形， 故②错误； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故③正确； ∵有一个角是直角的菱形是正方形， 故④正确， 故选：B． 【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 2．（2023春•江汉区期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，则AE2+BE2的值是 　16　． 【思路引领】根据平行四边形的性质和角平分线定义证明AB＝CD＝4，∠AEB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DE＝AD＝2， 同理CE＝BC＝2， ∴AB＝CD＝4， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+ABC＝180°， ∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2＝16． 故答案为：16． 【总结提升】考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质．判断出直角三角形，将AE2+BE2转化为关于AB的式子来解答是解答本题的关键． 知识点二 平行四边形的判定与性质 3．（2023春•鄄城县期末）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE＝DF，AC交BD于点O，AD∥BC，AE∥FC． （1）求证：AC与BD互相平分； （2）若AE⊥AC，AE＝BE，BD＝16，EF＝10，求AC的长． 【思路引领】（1）由AD∥BC得到∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，再证BF＝DE，得到△ADE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是平行四边形，由此得证； （2）由AC与BD互相平分，得到OE与AE的长，结合AE⊥AC，即可算出AO，由此得到AC的长． 【完整解答】（1）证明：连接AB，CD， ∵BE＝DF， ∴BF＝DE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE∥FC， ∴∠AED＝∠CFB， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AD＝CB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分； （2）解：∵AC与BD互相平分， ∴， ∵BE＝DF， ∴， ∴AE＝BE＝3， ∵AE⊥AC， ∴根据勾股定理得：， ∴AC＝2AO＝8． 【总结提升】本题考查平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，勾股定理的运用，准确看图找到关联信息是解题的关键． 知识点三 菱形的性质 4．（2021•义安区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（　　） A．2 B．2 C． D． 【思路引领】过点A作AE⊥BC，求出AE，则可得结论． 【完整解答】解：过点A作AE⊥BC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝2，AE＝2． 即边AD与BC之间的距离为2． 故选：B． 【总结提升】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 5．（2024•雁塔区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝4，再由勾股定理可求AE的长、AB的长，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AC⊥BD，OA＝OC＝4， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∴AE5， ∴BE＝AE＝5， ∴OB＝BE+OE＝5+3＝8， ∴AB4， ∴CD＝4， ∵点F为CD的中点，∠COD＝90°， ∴OFCD＝2， 故选：B． 【总结提升】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF，则对角线BD的长为 　　.（结果保留根号） 【思路引领】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【完整解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°， 又∵∠MCE＝15°， ∴∠DCF＝55°， ∵DF⊥CM， ∴∠CDF＝35°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝35°， 在△CDH和△CDF中， ， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DF＝DH， ∴DB＝2， 故答案为2． 【总结提升】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC＝∠FDC是这个题最关键的一点． 7．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是 　　． 【思路引领】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PEPB，则MPPB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解． 【完整解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10， ∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵PE⊥BC， ∴PEPB， ∴MPPB＝PM+PE， ∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME， ∵AM＝3， ∴MC＝7， ∵sin∠ACB， ∴ME， ∴MPPB的最小值为， 故答案为． 【总结提升】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将MPPB转化为PM+PE是解题的关键． 知识点四 菱形的判定与性质 8．（2023•滨城区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF，求∠ACD的度数及BD的长． 【思路引领】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得∠BDC＝∠DBC，则BC＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得BO＝DO，∠DCA＝∠BCA∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，再证∠DCA＝∠DCM，然后由角平分线的性质得DO＝DF，即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∴BC＝CD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，∠DCA＝∠BCA∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∠DCE＝∠ABC＝70°， ∴∠DCA∠BCD＝55°， ∵∠ECM＝15°， ∴∠DCM＝∠DCE﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°， ∴∠DCA＝∠DCM， ∵DF⊥CM，BD⊥AC， ∴DO＝DF， ∴BD＝2DO＝2． 【总结提升】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 知识点五 矩形的性质 9．（2020•牡丹江）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长． 【思路引领】分矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，结合矩形的性质和中位线定理求解． 【完整解答】解：∵BC＝6，S△ABC＝6， ∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6＝2，而矩形BCDE的周长为18，BC＝6， ∴BE＝CD＝18÷2﹣6＝3， 当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时， 过A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于G，连接AD， ∵AB＝AC， ∴BF＝CF＝3， ∵∠GFC＝∠FCD＝∠CDG＝90°， ∴四边形CFGD是矩形， ∴DG＝CF＝3， ∵6×AF＝6， ∴AF＝2， ∴AG＝GF﹣AF＝3﹣2＝1， ∴AD， ∵M，N分别为AC和CD中点， ∴MNAD； 当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时， 过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD， 可知BG＝CG，AG＝2，GF＝3，F为ED中点， ∴AF＝5，DF＝3， ∴AD， ∵M，N分别为AC和CD中点， ∴MNAD， 综上：MN的长为或． 【总结提升】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是根据题意画出图形，分情况讨论． 知识点六 矩形的判定与性质 10．（2023春•桐城市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形． （2）连接OE，若BF＝16，DF＝8，求OE的长． 【思路引领】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）关键菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝13，求得∠AEB＝∠AEC＝90°，得到AC＝2OE＝10，根据勾股定理即可得到结论． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：在菱形ABCD中，BC＝CD， ∵BF＝16， ∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD， ∵在矩形AEFD中，∠F＝90°， ∵DF＝8， 在Rt△CFD中，CD， 解得：CD＝10． ∴CF＝6，CE＝DC﹣BE＝10﹣6＝4，AE＝8， AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝4， ∴OE＝2． 【总结提升】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 知识点七 正方形的性质 11．如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°α 【思路引领】根据正方形的性质先表示出∠PBC的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案． 【完整解答】解：∵四边形PBEF为正方形， ∴∠PBE＝90°， ∵∠CBE＝α， ∴∠PBC＝90°﹣α， ∵四边形APCD、PBEF是正方形， ∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB， 在△APF和△CPB中， ， ∴△APF≌△CPB（SAS）， ∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的． 12．（2022•南陵县模拟）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（　　） A． B．PC＝PD C．PE＝EC D．∠EAF+∠AFD＝90° 【思路引领】根据四边形ABCD是正方形，F是AB的中点，E为BC的中点，可得△DAF≌△ABE（SAS），即得∠ADF＝∠BAE，从而可得∠EAF+∠AFD＝90°，即得答案． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAF＝90°＝∠ABE，AD＝AB＝BC， ∵F是AB的中点，E为BC的中点， ∴AFABBC＝BE， 在△DAF和△ABE中， ， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， ∴∠ADF＝∠BAE， ∵∠ADF+∠AFD＝90°， ∴∠BAE+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°， ∴选项D成立， ∵F，E分别为正方形ABCD的边AB与BC的中点， ∴BE＝AFAB， ∵AE＞AB， ∴A错误， 连接CF， 由对称性可得△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠ADF＝∠BCF， ∴∠PDC＝∠FCD≠∠PCD， ∴PC≠PD， ∴B错误， 而C不能推理证得， 故选：D． 【总结提升】本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键证明△DAF≌△ABE（SAS），从而得到∠ADF＝∠BAE． 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路引领】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG； ②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG； ③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE； ④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【完整解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：A． 【总结提升】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 14．（2023春•肥城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【思路引领】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DGAB，根据三角形中位线定理得到MNFG，由勾股定理求出FG即可得到MN． 【完整解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中， ， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM＝MG，AE＝DGABCD， ∴CGCD， ∵点N为AF的中点， ∴MNFG， ∵F为BC的中点， ∴CFBC， ∴FG2， ∴MN＝1， 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM＝MG是解决问题的关键． 15．（2021秋•肥城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为多少？ 【思路引领】如图，取AD的中点O，连接BO，GO，首先利用全等三角形的性质证明∠AGD＝90°，求出G0＝1，BO，根据BG≥OB﹣OG，当O，G，B三点共线时BG取得最小值，可得结论． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DAE＝90°，AD＝AB， ∵AE＝BF， ∴△DEA≌△AFB（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DAF+∠BAF＝∠DAB＝90°， ∴∠ADE+∠DAF＝90° ∴∠DGA＝90° ∴点G在以AD为直径的圆上移动， 连接OB，OG，如图， ∴， 在Rt△AOB中，∠OAB＝90°， ∴， ∵BG≥OB﹣OG， ∴当O，G，B三点共线时BG取得最小值． ∴BC的最小值为：． 【总结提升】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，找到点G的运动轨迹是解题关键． 16．（2020•呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：AF﹣BF＝EF； （2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由． 【思路引领】（1）证明△ABF≌△DAE，从而得到AE＝BF，可得结果； （2）若要四边形BFDE是平行四边形，则DE＝BF，则∠BAF＝45°，再证明∠BAF≠45°即可． 【完整解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°， ∵DE⊥AG， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， 又∵BF∥DE， ∴∠BFA＝90°＝∠AED， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BF， ∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF； （2）不可能，理由是： 如图，若要四边形BFDE是平行四边形， 已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形， ∵DE＝AF， ∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°， 而点G不与B和C重合， ∴∠BAF≠45°，矛盾， ∴四边形BFDE不可能是平行四边形． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三角形全等的条件． 17．（2023春•香河县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直线AE的对点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF． （1）在图1中补全图形，∠AFD 　＝　∠BAP（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）猜想∠APB和∠DFP的数量关系，并证明． 【思路引领】（1）根据题意补全图形，由对称得AD＝AF，AE⊥DF，等边对等角可得∠ADF＝∠AFD，根据同角的余角相等可得∠ADF＝∠BAP，等量代换即可得出结论； （2）根据正方形的性质得AD＝AB，则AF＝AB，等边对等角可得∠ABF＝∠AFB，根据三角形的外角性质及角的和差可得∠DFP+∠AFD＝∠APB+∠BAP，由（1）知∠AFD＝∠BAP，则∠DFP＝∠APB，由AE⊥DF得∠DFP＝∠APB＝45°． 【完整解答】解：（1）补全图形如图1， 由对称得AD＝AF，AE⊥DF， ∴∠ADF＝∠AFD，∠DAP+∠ADF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠DAP+∠BAP＝90°， ∴∠ADF＝∠BAP， ∴∠AFD＝∠BAP， 故答案为：＝； （2）∠APB＝∠DFP＝45°． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB， ∵AD＝AF， ∴AF＝AB， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵∠AFB＝∠AFD+∠DFP，∠ABF＝∠BAF+∠APB， ∴∠DFP+∠AFD＝∠APB+∠BAP， 由（1）知∠AFD＝∠BAP， ∴∠DFP＝∠APB， ∵AE⊥DF， ∴∠DFP＝∠APB＝45°． 【总结提升】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．（杭州中考）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG． （1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 【思路引领】（1）结论：AG2＝GE2+GF2．只要证明GA＝GC，四边形EGFC是矩形，推出GE＝CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明； （2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题． 【完整解答】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2． 理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA＝GC， ∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF＝GE， 在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2， ∴AG2＝GF2+GE2． （2）过点A作AH⊥BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠GBF＝45°， ∵GF⊥BC， ∴∠BGF＝45°， ∵∠AGF＝105°， ∴∠AGB＝∠AGF﹣∠BGF＝105°﹣45°＝60°， 在Rt△ABH中，∵AB＝1， ∴AH＝BH， 在Rt△AGH中，∵AH，∠GAH＝30°， ∴HG＝ ， ∴BG＝BH+HG． 解法二：如图，过点B作BN⊥AG于N，在BN上截取BM，使得BM＝AM，设AN＝x． ∵∠AGF＝105°，∠GBF＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠BAM＝15°， ∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝30°， ∴AM＝BM＝2x，MNx， 在Rt△ABN中，则有1＝x2+（2xx）2， 解得x， ∴BN， ∴BG． 【总结提升】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．（2023春•漳州期末）如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是正方形ABCD边AB下方一点，连接AE，BE，OE，已知OA＝OE，且∠OAE＝75°． （1）试判断△OBE的形状，并说明理由； （2）如图2，连接DE，求证：． 【思路引领】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解∠AOE＝30°，再利用正方形的性质可得AO＝BO，∠BOE＝60°，进而可证明△OBE为等边三角形； （2）过A点作AF⊥AE交BE的延长线于点F，证明△AEF为等腰直角三角形可得EFAE，再证明△ADE≌△ABF，可得DE＝BF，进而可证明结论． 【完整解答】（1）解：△OBE为等边三角形． 理由：∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE＝75°， ∵∠OAE+∠OEA+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝30°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝60°， ∴△OBE为等边三角形； （2）证明：过A点作AF⊥AE交BE的延长线于点F， ∴∠EAF＝90°， ∵△OEB为等边三角形， ∴∠OEB＝60°， ∵∠OEA＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣∠OEB﹣∠OEA＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE＝AF，EFAE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵BF＝EF+BE， ∴AE+BE＝DE． 【总结提升】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键． 知识点八 正方形的判定与性质 20．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 【思路引领】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论； （2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 【总结提升】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． 21．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【思路引领】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可； （2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6． 【完整解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在∴△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB36是定值． 【总结提升】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 22．（2024秋•化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【思路引领】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形； ②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 【总结提升】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 平行四边形小结与练习（原卷版） 知识点一 平行四边形的性质 1．（2024•滑县期末）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（　　） A．①：一组邻边互相垂直 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：有一个角是直角 2．（2023春•江汉区期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，则AE2+BE2的值是 　 　． 知识点二 平行四边形的判定与性质 3．（2023春•鄄城县期末）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE＝DF，AC交BD于点O，AD∥BC，AE∥FC． （1）求证：AC与BD互相平分； （2）若AE⊥AC，AE＝BE，BD＝16，EF＝10，求AC的长． 知识点三 菱形的性质 4．（2021•义安区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（　　） A．2 B．2 C． D． 5．（2024•雁塔区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF，则对角线BD的长为 　 .（结果保留根号） 7．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是 　 ． 知识点四 菱形的性质和判定 8．（2023•滨城区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF，求∠ACD的度数及BD的长． 知识点五 矩形的性质 9．（2020•牡丹江）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长． 知识点六 矩形的判定与性质 10．（2023春•桐城市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形． （2）连接OE，若BF＝16，DF＝8，求OE的长． 知识点七 正方形的性质 11．如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°α 12．（2022•南陵县模拟）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（　　） A． B．PC＝PD C．PE＝EC D．∠EAF+∠AFD＝90° 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 15．（2021秋•肥城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为多少？ 16．（2020•呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：AF﹣BF＝EF； （2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由． 17．（2023春•香河县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直线AE的对点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF． （1）在图1中补全图形，∠AFD 　＝　∠BAP（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）猜想∠APB和∠DFP的数量关系，并证明． 18．（杭州中考）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG． （1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 19．（2023春•漳州期末）如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是正方形ABCD边AB下方一点，连接AE，BE，OE，已知OA＝OE，且∠OAE＝75°． （1）试判断△OBE的形状，并说明理由； （2）如图2，连接DE，求证：． 知识点八 正方形的判定与性质 20．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 21．（2024•汉川市模拟）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 22．（2024秋•化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$