精品解析：山东省临沂市郯城县2024-2025学年七年级上学期期末试卷数学试题

2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 七年级数学2025.1 本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 2024年10月30日；神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射13受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 3. 根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是关键．利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【详解】解：解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意； B、若，则，正确，故此选项不符合题意； C、若，则，正确，故此选项不符合题意； D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 下面的式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母部分不变．根据合并同类项：系数相加字母部分不变，可得答案． 【详解】解：A．与不能合并计算，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得圆柱侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的侧面展开是长方形，根据“两点之间，线段最短”可知，展开后与的金属丝应是两条线段，且有公共点； 故选：A 6. 下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③把精确到约等于；④与一样大；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，以及绝对值的性质，度分秒的换算、近似数的求解，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据乘方定义可判定①；根据相反数性质可计算得，从而可判定②；由近似数的精确度可求得近似数从而可判定③；根据度、分、秒之间的换算即可判定④；根据绝对值的非负性可得式子的最小值是6，从而可判定⑤． 【详解】解：的底数是2，故①错误； 若有理数a，b互为相反数，那么，故②正确； 把精确到约等于，故③正确； ，故④错误； 式子的最小值是6，故⑤错误， 则其中正确的个数2个， 故选：A． 7. 如图，将长方形沿折叠，得到如图所示图形，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理的应用，能正确根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．根据长方形的性质得出，根据折叠性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， 折叠和重合， ， ， ， ， 故选：C． 8. 已知一件商品按成本价提高后标价，再打八折销售．小华在购买本商品时，打折后又使用支付宝红包抵扣了元，最终付款元．请问商家售出这件商品的盈利情况是（ ） A. 盈利 B. 亏损 C. 不赢不亏 D. 盈亏不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，设该商品进价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程进而可得出结论． 【详解】解：设该商品的进价为元， 根据题意得， 解得： ∵ ∴商家售出这件商品的盈利情况是亏损， 故选：B． 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元一次方程，设木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出一元一次方程即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：设木长尺， 根据题意可列方程为， 故选：D． 10. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（ ） A. 245 B. 246 C. 254 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析归纳总结出规律是解题关键． 通过分析归纳总结出规律：第n个图形小正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：第①个图形小正方形的个数为， 第②个图形小正方形的个数为， 第③个图形小正方形的个数为， … 第n个图形小正方形的个数为， 第㊿个图形小正方形的个数为． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的余角等于，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据互余，即两角的和为90°，由此即可得出∠α的度数． 【详解】解：∵∠α的余角等于58°26′， ∴∠α＝90°﹣58°26′＝31°34′． 故答案为：31°34′． 【点睛】本题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90度是关键． 12. 若，则代数式的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知是方程的解，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入，然后解关于的方程即可． 【详解】把代入，得 解得：． 故答案：． 14. 在一条笔直的大道上有、、三个小区，学校在小区的正中间（即点为中点）．已知小区、相距，小区、相距，则小区A到学校的距离为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差倍分，分类讨论是关键．分为点在线段延长线上时、点在线段上时两种情况讨论，求解即可． 【详解】解：①点在线段延长线上时， 由条件可知，， 为中点， ， ； ②点在线段上时， 由条件可知，， 为中点， ， ； 综上所述，小区A到学校的距离为或 故答案为：或． 15. 琪琪和丽丽在布置“2025・庆元旦，迎新年”为主题的黑板报时，需要画一条直线，于是两人将线绳涂上彩色粉笔末，随后她们各执一端，并从中间将绳子拉起后松手，以此便画出一条直线．这是因为_____． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．直接利用直线的性质分析得出答案． 【详解】解：两人将线绳涂上彩色粉笔末，随后她们各执一端，并从中间将绳子拉起后松手，以此便画出一条直线．这是因为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 16. 如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转1周，当时，快艇旋转了______个时间单位． 【答案】34或50##50或34 【解析】 【分析】本题考查了方向角，一元一次方程的应用，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发， ∴． 设当时，快艇旋转了x个时间单位， 当转到右边时， ， 解得， 当转到左边时， ， ． 故答案为：34或50． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算乘除，再计算加减即可； （2）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【小问1详解】 解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值及绝对值的非负性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， 由可得 ， ，， 当，时， 原式． 20. 如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． （1）请用圆规在图中确定点的位置； （2）比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）= （3）15 【解析】 【分析】此题考查线段作图，线段的定义，线段的和差关系， （1）根据线段定义作图即可； （2）利用，等式两边都加上，即可得到； （3）设，则，根据求出x，即可求出长． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，以长为半径画弧，交线段的延长线于点 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则 因为 所以 解得 所以， ． 21. 如图，、分别是和的平分线．若，． （1）求出的度数； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、几何图中角度的计算． （1）由角平分线的定义可得，再由计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，，再求出，即可得解． 【小问1详解】 解：因为平分，， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 因为平分，， 所以， 因为平分， 所以 所以 所以． 22. 在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． （3）经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】（1）5550 （2）， （3）当时，方案一和方案二花费一样；当时，方案一省钱；当时，方案二省钱 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据方案二的购买方式列式计算即可得解； （2）根据方案一、方案二的购买方式列出代数式即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：（元）； 小问2详解】 解：由题意可得：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； 【小问3详解】 解：当时，解得，故当时，方案一和方案二花费一样， 当时，且，解得，方案二省钱， 当时，且，解得，方案一省钱． 23. 【问题情境】数学探究课上，老师让同学们进行如下实验： 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列操作： （1）在木杆中间处栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （5）在木杆左端继续加挂重物，并重复以上操作和记录． 如图探究1，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左边挂重物处到支点的距离为． 【探究记录1】 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点的距离（） 重物质量（） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 ① 5 30 平衡 ② 6 5 30 平衡 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录：① ，② ； 【解决问题】 （2）小明把等量的小物体换成了每个重量为的小物体再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为30厘米．左端悬挂4个小重物移动至左右平衡，求此时支点左端重物到支点的距离． 【问题深探】 如图探究2，聪明的小慧提出新的想法，她认为：当左右物体的重量不同时，可以通过移动支点的位置，也能使左右达到平衡．下面是小慧的实验记录． 【探究记录2】 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点的距离（） 重物质量（） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 20 5 40 平衡 15 24 10 36 平衡 20 20 10 40 平衡 【解决问题】 （3）根据小慧的探究解决问题：若木杆的总长为，左边物重，右边物重，如何确定支点使左右平衡？（提示：求左右物体分别到支点的距离） 【答案】（1）①7.5；②25；（2）此时支点左端重物到支点的距离是；（3）支点应该在距离左端物体，距离右端物体处 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得：，，计算即可得解； （2）设此时支点左端重物到支点的距离为，根据题意列出方程，解方程即可得解； （3）设左端物体到支点的距离为，则右端物体到支点的距离为，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：，， 故，； （2）设此时支点左端重物到支点的距离为 解得 答：此时支点左端重物到支点的距离是 （3）设左端物体到支点的距离为，则右端物体到支点的距离为， 解得 答：支点应该在距离左端物体，距离右端物体处． 24. 【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）①设旋转时间为秒，则，，当与相遇时，，再求解即可；②设运动时间为秒，，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）①， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，， 解得：； ②如图， 因为， ， 所以； （3）设绕点逆时针旋转， 时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， . 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 七年级数学2025.1 本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2024年10月30日；神舟十九号载人飞船取得圆满成功，3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站，与神舟十八号3名航天员顺利会师．载人航天飞船的发射13受到我国超过120000000人的关注，120000000这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下面的式子成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得圆柱侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③把精确到约等于；④与一样大；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如图，将长方形沿折叠，得到如图所示图形，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一件商品按成本价提高后标价，再打八折销售．小华在购买本商品时，打折后又使用支付宝红包抵扣了元，最终付款元．请问商家售出这件商品的盈利情况是（ ） A. 盈利 B. 亏损 C. 不赢不亏 D. 盈亏不确定 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（ ） A. 245 B. 246 C. 254 D. 255 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的余角等于，则________． 12. 若，则代数式的值为_____． 13. 已知是方程的解，则的值是_____． 14. 在一条笔直的大道上有、、三个小区，学校在小区的正中间（即点为中点）．已知小区、相距，小区、相距，则小区A到学校的距离为_____． 15. 琪琪和丽丽在布置“2025・庆元旦，迎新年”为主题的黑板报时，需要画一条直线，于是两人将线绳涂上彩色粉笔末，随后她们各执一端，并从中间将绳子拉起后松手，以此便画出一条直线．这是因为_____． 16. 如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转1周，当时，快艇旋转了______个时间单位． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． （1）请用圆规在图中确定点的位置； （2）比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； （3）若，，求的长． 21. 如图，、分别是和的平分线．若，． （1）求出的度数； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 22. 在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． （3）经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 23. 【问题情境】数学探究课上，老师让同学们进行如下实验： 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列操作： （1）在木杆中间处栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （5）在木杆左端继续加挂重物，并重复以上操作和记录． 如图探究1，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左边挂重物处到支点的距离为． 【探究记录1】 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点的距离（） 重物质量（） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 ① 5 30 平衡 ② 6 5 30 平衡 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录：① ，② ； 【解决问题】 （2）小明把等量小物体换成了每个重量为的小物体再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为30厘米．左端悬挂4个小重物移动至左右平衡，求此时支点左端重物到支点的距离． 问题深探】 如图探究2，聪明的小慧提出新的想法，她认为：当左右物体的重量不同时，可以通过移动支点的位置，也能使左右达到平衡．下面是小慧的实验记录． 【探究记录2】 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点的距离（） 重物质量（） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 20 5 40 平衡 15 24 10 36 平衡 20 20 10 40 平衡 解决问题】 （3）根据小慧的探究解决问题：若木杆的总长为，左边物重，右边物重，如何确定支点使左右平衡？（提示：求左右物体分别到支点的距离） 24. 【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$