精品解析：四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

合江县2024年秋期末义务教育阶段八年级学生素质监测 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 4. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 7. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 8. 下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴的对称点的坐标是___． 14. 分解因式：=____. 15. 已知：，则______． 16. 如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： ． 18. 计算：． 19. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 21. 先化简，再求值：，其中． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 23. 合江特产之一真龙柚，因其果肉晶莹剔透，脆甜多汁，深受人们喜爱．某水果店第一次用2000元从基地购进一批真龙柚，很快售完，又花3200元第二次购进．已知第二次购进的数量是第一次的2倍，因量大从优，所以每个真龙柚第二次购进的价格比第一次便宜了2元． （1）求该店两次购进真龙柚各多少个？ （2）因为市场行情好，第二次购进真龙柚后仍按第一次的售价销售，若水果店两次购进的真龙柚销售完后的总利润为2000元，则每个真龙柚的售价是多少元？ 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 25. 如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并证明你的判断； （3）如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2024年秋期末义务教育阶段八年级学生素质监测 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 4. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵，不是同类项，无法计算， 故A合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：C． 5. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，，然后利用解题即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 7. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作，垂足为F，由角平分线的性质可得，然后根据以及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：如图：过D作，垂足为F， ∵是的角平分线，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故选C． 8. 下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 9. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键； 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）一一判断，即可求解； 【详解】解：A、，该选项正确； B、，该选项不正确； C、，该选项不属于因式分解，故选项错误； D、，该选项不属于因式分解，故选项错误； 故选：A 10. 如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和公式等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得、，再结合可得是等边三角形，则；然后根据三角形内角和公式可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ①根据题目信息，结合尺规作角平分线的知识即可判断①的正误； ②由三角形内角和定理和角平分线的知识可得，再等角对等边的知识可得到，结合线段垂直平分线的判定即可判断②的正误； ③由，结合直角三角形两锐角互余可得到的度数； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半以及三角形的面积公式求出和的面积，计算两个面积的比值即可判断④的正误，进而完成本题的解答． 【详解】解：①根据尺规作角平分线的知识可知是的平分线，故①正确； ②在中，，， ， 是的平分线， ． ， ， 点D在的垂直平分线上，故②正确； ③． ，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 12. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律∶(1)关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解∶点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 14. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 15. 已知：，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方可得，然后根据同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：64． 16. 如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由“”可证，可得，，由，可得当点，点，点，点A共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，，， ， ， 同理可得：， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值，即最小值为的长度， 有最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明，是本题的关键． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根以及实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据完全平方公式、平方差公式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 19. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 【答案】 证明：∵， ， 又，， ∴在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．先根据，利用两直线平行，同位角相等，可得，再结合，，利用可证，从而有． 【详解】略 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】（1） 如图，为所作； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知：，，； 【小问3详解】 解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形的面积及求三角形面积，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求出的面积，再由中线平分三角形面积即可求解； （2）根据是的高以及三角形的面积公式可得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵是的中线， ∴． 【小问2详解】 ∵是的高， ∴， ∴． 23. 合江特产之一真龙柚，因其果肉晶莹剔透，脆甜多汁，深受人们喜爱．某水果店第一次用2000元从基地购进一批真龙柚，很快售完，又花3200元第二次购进．已知第二次购进的数量是第一次的2倍，因量大从优，所以每个真龙柚第二次购进的价格比第一次便宜了2元． （1）求该店两次购进真龙柚各多少个？ （2）因为市场行情好，第二次购进真龙柚后仍按第一次的售价销售，若水果店两次购进的真龙柚销售完后的总利润为2000元，则每个真龙柚的售价是多少元？ 【答案】（1）第一次、第二次购进真龙柚的个数分别为200个和400个． （2）每个真龙柚的售价是12元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程成为解题的关键． （1）设第一次购进真龙柚的个数为x，则第一次购进真龙柚的个数为y，然后根据题意列分式方程计算即可； （2）先分别求出两次购进真龙柚的进价，设真龙柚的售价为z，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进真龙柚的个数为x，则第一次购进真龙柚的个数为y， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． ∴． 答：第一次、第二次购进真龙柚的个数分别为200个和400个． 【小问2详解】 解：第一次购进真龙柚的进价为元，第一次购进真龙柚的进价为元， 设真龙柚的售价为z， 由题意可得：， 解得：． 答：每个真龙柚的售价是12元． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】（1）25 （2） （3）4 （4）3 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵代数式是完全平方式， ， ， ， 故答案为：25． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解： ， ， ， 的最小值为4． 【小问4详解】 解： ， ， ， ， 的最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． 25. 如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并证明你的判断； （3）如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】（1） 证明：，是等边三角形， ，，． 在和中， ， ， ； （2） ，理由如下： ， ． 又， ． ． （3） 仍有成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据证明即可得证； （2）由全等三角形的性质结合题意可得，即可得证； （3）仿照（1）、（2）的证明方法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $