专题训练03：圆锥曲线的最值与范围问题-2025届高三数学二轮复习压轴题突破（上海专用）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练03 圆锥曲线的最值与范围问题 题型1：长度或距离的最值与范围 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝． (1)求椭圆C的方程； (2)若λ∈[,2]，求弦长|AB|的取值范围． 2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值． 题型2：斜率的最值与范围 3．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围． 4.【黄浦2023一模20】已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过点，斜率分别为、，与椭圆交于点、，与椭圆交于点、，点、分别在第一、四象限且轴. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与轴交于点，求证：； （3）求直线的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线的方程. 5（2020奉贤区二模）直线上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍． （1）求点P的坐标； （2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程； （3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由． 6. （2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 题型3：参数的最值与范围 7.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围． 8.已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围． 9．（2021·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且. (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)当四边形的面积时，求的值. 10．（2021秋·上海浦东新·高三阶段练习）设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域； (3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 11．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 题型4：坐标或截距最值与范围 12.如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1． (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围． 题型5：向量数量积的最值与范围 13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范 围． 题型6：面积有关的最值与范围 14．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 16.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、 ．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 17．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 A O x y B F1 C D F2 M O x y R P Q O x y M N F1 F2 M O x y B M A $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练03 圆锥曲线的最值与范围问题 题型1：长度或距离的最值与范围 [例2]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝． (1)求椭圆C的方程； (2)若λ∈[,2]，求弦长|AB|的取值范围． [规范解答]　(1)由已知e＝，得＝，又当直线垂直于x轴时，|AB|＝， 所以椭圆过点，代入椭圆方程得＋＝1， ∵a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点， λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合题意．∴直线的斜率不能为0． 设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 由根与系数的关系可得， 将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ， ∴－λ－＋2＝－，又知λ∈，∴－λ－＋2∈，∴－≤－≤0，解得m2∈． |AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82， ∵m2∈，∴∈，∴|AB|∈． 2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值． 【规范解答】　(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，又因为e＝＝＝，所以a＝， 所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1． (2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k(x＋1)， 代入椭圆方程＋＝1，并化简得x2＋6k2x＋3k2－6＝0． Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， |BD|＝·|x1－x2|＝＝， 由题意知AC的斜率为－，所以|AC|＝＝． |AC|＋|BD|＝4＝≥ ＝＝． 当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，故|AC|＋|BD|的最小值为． ②当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|＋|BD|＝>． 综上，|AC|＋|BD|的最小值为． 【题后悟通】　题目中未直接告诉我们不等关系，则选择将|AC|＋|BD|表示为关于k的函数，再行处理，注意到3k2＋2＋2k2＋3＝5(k2＋1)，所以可以考虑基本不等式，但一定要注意等号是否能够成立.当然这里也可以利用换元法．令k2＋1＝t (t≥1)，将原式转化为来处理，但稍微比较复杂一些． 题型2：斜率的最值与范围 3．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）由题设条件知，，， 解得：，． 故椭圆的方程为． （2）易证四边形为正方形，点的坐标， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为． 如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为， 由，得，① 由，解得．② 因为，是方程①的两根，所以，于是 ，． 因为，所以点不可能在轴的右边， 又直线，的方程分别为，， 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为． 即，亦即． 解得，此时②也成立， 故直线斜率的取值范围． 4.【黄浦2023一模20】已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过点，斜率分别为、，与椭圆交于点、，与椭圆交于点、，点、分别在第一、四象限且轴. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与轴交于点，求证：； （3）求直线的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线的方程. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）， 【解析】（1）设椭圆的焦距为， 则由且 ……………2 分 可得， 所以椭圆的方程为. ……………4 分 （第20题图） （2）设， 则 ……………6 分 可得 ，解得……………8 分 又所以……………10 分 (另法：根据 三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明) （3）设，直线的方程分别为 由（2）知 ，又均大于0，可知 ……………11 分 由可得，所以，即 同理可得 ………13 分 直线的斜率为 (当且仅当时取等号). …………16 分 当时，，此时 在椭圆上， 所以 又，可得 ，所以直线的斜率的最小值为 且当直线的斜率取最小值时的直线的方程为. ……………18 分 5（2020奉贤区二模）直线上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍． （1）求点P的坐标； （2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程； （3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设动点P（x，y），由两点的距离公式，结合条件可得P的坐标； （2）求得F的坐标，结合P满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程； （3）设直线l的方程为y＝kx+m，联立双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件，解不等式可得所求范围． 【解答】解：（1）设动点P（x，y），则，解得P（，）； （2）设F（c，0），由，可得（c﹣，﹣）•（8，0）＝8（c﹣）＝0，解得c＝， F（，0），，解得a2＝b2＝3，则双曲线的方程为﹣＝1； （3）设直线l的方程为y＝kx+m，联立双曲线的方程x2﹣y2＝3， 可得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，（k≠±1），△＝4k2m2﹣4（1﹣k2）（﹣m2﹣3）＞0，即3+m2﹣3k2＞0（*）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P0（x0，y0），则，可得P0（，）， 易得Q（0，﹣1），设过Q垂直于l的直线l1为y＝﹣x﹣1， 则l1过P0，即＝﹣•﹣1，可得m＝代入（*）可得（）2+3（1﹣k2）＞0，解得|k|＞或|k|＜1， 则k的范围是． 【点评】本题考查直线和双曲线的综合，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查运算能力，属于中档题． 6. （2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】20. 解析 22. 【解析】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. 【小问2详解】 由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得近似值为0.54. 【小问3详解】 由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 题型3：参数的最值与范围 7.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围． [规范解答]　(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)． (2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0， ∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴＜k＜2． 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①，x1x2＝，② ∵＝λ，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)，③ 联立①②③，可得＝．∵＜k＜2，∴＝∈(4，)，∴4＜＜， ∴＜λ＜3，且λ≠1，∵λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1，3)． 8.已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围． 【解析】解：（1）依题意：椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．所以，，则，所以， 所以椭圆方程为． （2）由题意直线斜率不为0，设直线， 得．由△得， 设，，，， 由韦达定理， 因为，所以 因为点在椭圆上得， 直线与圆没有公共点，则，所以， ，令，，可知在上，是减函数，，， 即：，， ． 9．（2021·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且. (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)当四边形的面积时，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件列等式，可求得曲线的方程； （2）设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出点的坐标，进一步可求得点的坐标，再将点的坐标代入曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （3）求得点、，将点的坐标代入曲线的方程，可得，求出、两点到直线的距离以及，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，结合已知条件可求得的值. (1)解：由题意可得，化简可得， 因此，曲线的方程为. (2)解：设点、，联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 则，， 所以点的坐标为， 因为，可得点， 将点的坐标代入曲线的方程得，解得， 因此，直线的方程为. (3)解：由（2）可得，则点， 则点， 因为点在曲线上，则，可得，因为，则， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， ， 所以，， 因为，解得. 10．（2021秋·上海浦东新·高三阶段练习）设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域； (3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，值域为 (3)存在，的取值范围为 【分析】（1）由抛物线通径的长，可求的值，得抛物线方程； （2）用点和方向向量表示出直线，与抛物线联立方程组，由结合韦达定理求解. （3）设出直线方程代入抛物线方程，因为为钝角，所以，结合韦达定理列出不等式，由不等式恒成立，由此可得m的取值范围． 【解析】（1）抛物线的焦点为，不妨设点在x轴上方， 由题意可得，得，所以抛物线的方程为； （2）直线方程为，由，得， △恒成立. 设，则，由（1）知，，所以， ， 所以. ，， 所以的值域为. （3）设所作直线的方向向量为，则直线方程为 由，得， 设，则，. 又，则， 因为为钝角，所以，所以， 即， 所以，该不等式对任意实数恒成立， 因此，所以. 又点与焦点不重合，有，因此，当时满足条件，即的取值范围为. 11．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 题型4：坐标或截距最值与范围 12.如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1． (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围． [规范解答]　(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离， 由抛物线的定义得＝1，即p＝2． (2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1． 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由，消去x得y2－4sy－4＝0， 故y1y2＝－4，所以B． 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－． 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N． 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，于是m＝＝2＋． 所以m<0或m>2．经检验，m<0或m>2满足题意． 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 题型5：向量数量积的最值与范围 13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范 围． 8．解析　(1)由题意，得解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0)． ①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N， ∴＝，＝，故·＝． ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．① ＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)， 则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2， 结合①可得·＝＋＋1＋k2＝＝－， 由k2≥0可得·∈．综上可知，·的取值范围是． 题型6：面积有关的最值与范围 14．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【解析】解：（1）由题意可知，，，所以，， 所以， 所以椭圆的标准方程为：； （2）方法一：设点，，，， 由，消去，整理得：， 则△，所以，所以， 所以，， 所以， 到直线的距离为， 所以， 设，则， 所以， 令，， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当，即时，取得最大值，即取得最大值， 所以最大值为， 所以面积的最大值． 方法二：同方法一，， 由， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以面积的最大值． 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【解析】解：（1）由题意可知，抛物线的焦点为， 因为抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距， 又椭圆有一点满足， 所以椭圆的离心率，所以，， 则求得椭圆的方程是． （2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件； 当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点， 直线轴，，四边形的面积； 当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，． 则弦长 ， 设，，，，联立直线与抛物线， 消去可得，则， 由抛物线的定义，弦长， 由于，则四边形的面积， 令，则， 即，令，则， 可知时，，则单调递增，则（3）， 综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8． 16.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、 ．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意知，则，又，， 可得，所以椭圆的方程为． （Ⅱ）由（I）知椭圆的方程为． （i）设，由题意知， 因为，又，即， 所以，即． （ii）设，将代入椭圆的方程， 可得， 由，可得 ， 则有， 所以． 因为直线与轴交点的坐标为， 所以的面积 令，将代入椭圆的方程， 可得 ， 由，可得 ， 由①②可知 ，因此， 故 ， 当且仅当时，即时取得最大值， 由（i）知，面积为， 所以面积的最大值为． 17．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，从而得到抛物线：. （2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解. （3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可. 【解析】（1）因为抛物线：，焦点， 所以，解得，所以抛物线：. （2）设直线的方程为， 与抛物线联立得：， 由韦达定理得，， 所以， 所以 （3）设，，，， 因为， 所以直线：，即。 同理：直线：。 联立，解得。 设直线的方程为：，，， 联立。 因为，解得，，， 因为， 所以 ，化简得：。 所以。 因为， ， 所以 18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意得，再根据抛物线的焦点得，进而得答案； （2）（i）设，结合导数求得直线l方程.设，，，进而联立方程组结合韦达定理得，，故直线的方程为，最后与联立可得点在定直线上； （ii）结合（i），，，，进而，，再令，结合二次函数的最值求解即可. （1） 解：由题意知：，解得. 因为抛物线的焦点为， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2） 解：（i）证明：设，由，可得， 所以直线l的斜率为m，其直线方程为，即. 设，，，联立方程组 消去y并整理可得， 故由其判别式，可得， 故， 代入，可得. 因为，所以直线的方程为. 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上. （ii）由（i）知直线的方程为， 令得，所以， 又，，， 所以，， 所以， 令，则. 因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足， 所以点的坐标为，在椭圆的内部， 因此的最大值为，此时点的坐标为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 A O x y B F1 C D F2 M O x y R P Q M O x y B M A O x y M N F1 F2 $$