专题03：圆锥曲线的最值与范围问题讲义-2025届高三数学二轮复习压轴题突破（上海专用）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题03 圆锥曲线的最值与范围问题 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. （3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）利用数形结合分析解答. 题型1：长度或距离的最值与范围 与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】(2025届长宁区一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求出椭圆方程，即可求解离心率； （2）根据的面积为3，可得边上的高为，过做的平行线，可得直线的解析式，联立方程组即可求解； （3）分或垂直于轴和和不垂直于轴两种情况，设直线的解析式为，点，，联立方程组由韦达定理和弦长公式可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，，，由已知可得， 因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以椭圆方程为， 所以； 【小问2详解】 ①，直线的解析式为， 因为的面积为3，所以边上的高为， 过做的平行线，则直线的解析式为， 联立方程组， 解得：或， 所以点的坐标为或； 【小问3详解】 ①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 【例2】（2023建平中学开学考试）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 【分析】（1）设抛物线的方程为，由题意可得求得抛物线方程； （2），设，求出直线、的方程，求出点坐标和点坐标，由可得答案： （3）根据已知条件求出、圆心坐标、直线方程，且与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，圆心到直线的距离为，半径，得到，令，代入利用单调性可得答案． 【解析】（1）设抛物线的方程为， 由题意可得，所以，所以抛物线方程. （2）由（1），因为，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立上述两直线方程，得点坐标， 又因为点为线段的中点，所以点坐标， 因为，所以直线轴： （3）因为点，所以，则，圆心， 直线的斜率为，直线方程为， ，得，，， 圆心到直线的距离为，半径， ，令， 在时单调递减，． 题型2：斜率的最值与范围 与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点。是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解。 【例3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直 线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝． (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． 解析　(1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2． 设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)． 由已知，有＋＝，解得k＝． (2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)， 两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c． 因为点M在第一象限，可得M的坐标为． 由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1． (3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0． 设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－． ①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈． ②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0，因此m＜0，于是m＝－，得m∈． 综上，直线OP的斜率的取值范围是∪． 【例4】已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1，0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤，求k的取值范围． [规范解答]　(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线， 所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2， 所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆， 所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1． (2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1． 联立⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 则Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2>0⇒k≠0，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＋kt＋t2 ＝－＋k2＋1＝， 所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，所以－≤k≤－或≤k≤． 故k的取值范围是∪． 【例5】（2024闵行中学月考）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）根据离心率可求，从而可得椭圆方程. （2）设，则可以用的坐标表示，再根据可求，从而可求的坐标，故可求直线的方程. （3）结合（2）可得，利用在椭圆上可化简前者，利用其纵坐标的范围可求最大值. (1) 因为椭圆的离心率为，故即， 故，所以椭圆的方程为：. (2) 设，因为直线交y轴正半轴于点A，则，， 又，故， ，故， 因为，故，所以，所以， 故即. (3) 由（2）可得，而， 故， 因为，故，故的最大值为. 【例6】（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据已知条件，分别求出a、b、c的值即可. （2）根据两个斜率的关系式求得，由两点间距离公式求得、即可. （3）联立直线与椭圆方程解得、，代入直线AB的斜率公式再应用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由，且， 可得，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，则，， 可得，解得， 又，，所以. （3）设，，直线，的方程分别为，， 由（2）知，所以，又m，均大于0，可知， 由可得， 所以，即，同理可得， 直线AB的斜率为 （当且仅当时取等号）. 当时，，此时在椭圆C上， 所以，又，可得， 所以直线AB的斜率的最小值为，且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为. 题型3：参数的最值与范围 该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例7】（2025届闵行区一模）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． （1）若，求的值； （2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； （3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两曲线的方程，求出点的坐标，根据以及两点间的距离公式可求得的值； （2）分析可知，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，则，当且仅当、、三点共线时，取最小值，设点，利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值； （3）设点、，则点、，求、关于的等式，结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：联立，可得，即点， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：由可得， 所以，函数的反函数为， 即， 所以，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上， 所以，，则， 当且仅当、、三点共线时，取最小值， 当时，曲线的方程为， 设点，则， 即，即当时，即当时，取最小值. 【小问3详解】 解：设点、，则点、， 其中，， ，其中， 当时，即当时，取最大值，即， 此时，， 因为函数在上单调递增，此时，， 函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 当时，取最大值，即， 所以，，所以，. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 【例8】（2024七宝中学期末）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围； （3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值． 【反馈检测1答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）或;（Ⅲ）详见解析 【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题意得： 所以 又因为点在椭圆上，所以，可解得 所以椭圆标准方程为． （Ⅲ）由题意：设点，，, 因为不在坐标轴上，所以 直线的方程为 化简得： ④ 同理可得直线的方程为 ⑤ 【例9】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围， 再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围； （3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围. 【解析】（1）因为，所以； 又点在图像上即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得 设直线，设、， 由得， 解得或① ∵点在以线段为直径的圆的外部，则， 又② 解得或     由①②得 （3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知， 记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：. 令，解得，所以点S坐标为；同理点T为. 所以，，. 由，，可得：，， 所以， 由（2）得，， 所以    ， 因为，所以，， 故的范围是. 【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案. 【例10】（奉贤2023一模20）已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1），所以椭圆标准方程为 4分 （2），设 则 或 （舍）或，得 5分 （3）设直线的方程为，则 1分 设直线的方程为，则 1分 2分 2分 1分 设， 则在上严格减 1分 1分 【例11】（2024届上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 题型4：坐标或截距最值与范围 【例12】（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得 ，，设， 则； （2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得 ，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即 （3） 假设存在点满足， 设，， 则，易知， 化简得，即， 当时，，当且仅当时取到等号，故； 当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故； 故。 【例13】（2023延安中学模拟）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为， 而的一条渐近线方程为，故即的方程为：. （2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点， 则，， 而，所以， 所以，故的面积为，所以，因为，故. （3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内， 故为钝角，所以即， 故即. 由可得，所以， 又，故，故且. 又可化简为， 该不等式对任意的且恒成立.故且. 题型5：向量数量积的最值与范围 【例14】已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程； (2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围． [规范解答]　(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心为H(－1，0)，半径为4． 连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|， 所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4． 根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以a2＝4，c2＝1，b2＝3，所求曲线C的方程为＋＝1． (2)由直线EF与直线PQ垂直，可得·＝·＝0， 于是·＝(－)·(－)＝·＋·． ①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零， 此时可不妨取P，Q，E(2，0)，F(－2，0)， 所以·＝·＝－3－＝－． ②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得·＝－． ③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为 y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，＝(xP－1，yP)，＝(xQ－1，yQ)， 则直线EF的方程为y＝－(x－1)． 将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 所以xP＋xQ＝，xP·xQ＝． 于是·＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1] ＝(1＋k2)＝－． 将上面的k换成－，可得·＝－， 所以·＝·＋·＝－9(1＋k2)． 令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得， ·＝－9t＝－＝－． 由t>1，得0<<1，所以－<·≤－． 综合①②③可知，·的取值范围为． 【例15】已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(，－2)． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围． [规范解答]　(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以－＝－2，即p＝4， 所以抛物线C2的方程为x2＝8y． 椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)，所以c＝2． 2a＝＋＝4， 解得a＝2，则b＝2，所以椭圆C1的方程为＋＝1． (2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)， 抛物线方程可化为y＝x2，求导得y′＝x，所以AP的方程为y－y1＝x1(x－x1)， 将P(t，－2)代入，得－2－y1＝x1t－2y1，即y1＝tx1＋2． 同理，BP的方程为y2＝tx2＋2，所以直线AB的方程为y＝tx＋2． 由消去y，整理得(t2＋32)x2＋16tx－64＝0， 则Δ＝256t2＋256(t2＋32)＞0，且x3＋x4＝，x3x4＝． 所以·＝x3x4＋y3y4＝(1＋)x3x4＋(x3＋x4)＋4＝＝－8． 因为0＜≤10，所以·的取值范围是(－8，2]． 【例16】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． [规范解答]　(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝， 由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1． 故椭圆C的方程为＋＝1． (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0． 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－． 从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＝－20＋，所以－20＜·＋· ≤－． 当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20． 综上，·＋·的取值范围为． 题型6：面积有关的最值与范围 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 【例17】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． [规范解答]　(1)∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率e＝＝． 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1， ∴椭圆方程为＋y2＝1． (2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2． 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·＝＝k2， 则－＋m2＝0，由m≠0得k2＝，解得k＝±． 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2， 显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)． 设原点O到直线的距离为d，则 S△OMN＝|MN|d＝··|x1－x2|·＝|m|＝． 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)． 【例18】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程; （2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值. 【分析】（1）根据题意，由离心率，且点在椭圆上，列出方程，计算的值，则椭圆方程可求； （2）应用点差法求直线的斜率，进而设直线并与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值. 【解析】（1）离心率，将代入椭圆方程，可得，又 ， ∴联立上述方程，可得：， ， ∴椭圆方程为； （2）设可得：， 相减可得：， 由题意，，即， ∴直线的斜率， 故可设直线为，代入椭圆方程可得：， 由，解得， ∴， ， 又到的距离为， ∴面积为， 当且仅当，即时，取得最大值. 【例19】已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以为半焦距）， 因为直线与圆相切，所以， 又因为，所以，， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）因为为线段的中点，所以， 当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性， 不妨设所在直线方程为，得， 则，，所以， 当直线的斜率存在时，设直线，，，，， 由消去，得， 所以△，即， 所以，， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 所以， 所以， 化简得，经检验满足△成立， 所以线段的中点，， 当时，，此时， 当时，射线所在直线方程为， 由，消去，得，， 所以， 所以， 所以，． 综上，的取值范围为，． 【例20】已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）根据题意得，所以，又因为，解得，， 所以的方程为； （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，点与重合，不满足，故斜率不为0； ②当直线斜率不为0时，设，代入得， 整理得， 设，，，则，， 所以， ， 所以，， 因为，所以，， 又因为在曲线上，代入得， 整理得， 因为点到直线的距离， 设四边形面积为，的面积为， 则， 所以， 将代入得， 因为，所以当时取最小值为4，所以 故四边形的取值范围为，． 【例21】（2022·上海宝山·一模）如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点. (1)求△的面积； (2)若，点，重合，求点的坐标； (3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为. 【分析】（1）由题可得，利用面积公式即求； （2）由题可得直线方程，联立椭圆方程利用韦达定理即得； （3）由，得，利用韦达定理及三角形面积公式及条件可得，又利用条件可求，再利用基本不等式即得. (1)∵， ∴， ∴△的面积. (2)∵，又，点A，重合， ∴，直线方程为， 由，得， 则， ∴，， ∴点的坐标为. (3)由，得， 设， ∴，即， ， 又，，恰好构成等比数列， ∴，即， ∴，又， ∴，可得，， ∵点O到直线AB的距离为， ∴， 又， ∴ ， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴的最大值为. 【例22】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、． (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析，， (3) 【分析】（1）根据题意得椭圆过点、离心率和计算可得答案； （2）分直线、斜率均存在且不为0、直线、斜率一个不存在一个为0时，设，，，，联立直线和椭圆方程利用韦达定理和中点坐标公式可得点坐标，再分、求直线方程可得直线过定点； （3）分直线或斜率一个不存在一个为0、直线、斜率均存在且不为0时，利用弦长公式可得，可得，再利用基本不等式求解即可. 【解析】（1）由题意得椭圆过点， ， 解得，，， ； （2）当直线、斜率均存在且不为0时， 设，， 则，，， 由，， 得，， ， 由，， 得，， 可得， ① 当时， 直线的斜率为， 直线的方程为， 化简得，过定点， ② 当时， 直线的方程为，过点， 当直线、斜率一个不存在一个为0时，、的中点坐标分别为、时．直线的方程为，过点， 综上，直线恒过定点； （3）当直线或斜率一个不存在一个为0时，， 当直线、斜率均存在时且不为0时， 由（2）得 ， ， ， 当且仅当即时等号成立， 综上，四边形面积的最小值为. 【点睛】思路点睛：第二问中，设直线方程为， ， 利用韦达定理求出中点坐标公式，再求直线方程然后求定点，第三问中求出， 求出面积表达式，然后利用基本不等式求最值.解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式等知识点的合理运用，考查了学生的计算能力. 【例23】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 【解答】解：（1）直线经过点， 令，则，即， 因为，所以点在左支， 所以； （2）点、、、满足，， 所以四边形为平行四边形，因为双曲线， 由，得， 所以，， 所以， ， 的中点，即中点与中点相同， 所以，所以； （3）设，，，，，， ，所以，所以， 所以， 令，， 因为在单调递减，在单调递增，所以在时取得最小值为12， 所以，． 【例24】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，从而得到抛物线：. （2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解. （3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可. 【解析】（1）因为抛物线：，焦点， 所以，解得，所以抛物线：. （2）设直线的方程为， 与抛物线联立得：， 由韦达定理得，， 所以， 所以 （3）设，，，， 因为， 所以直线：，即。 同理：直线：。 联立，解得。 设直线的方程为：，，， 联立。 因为，解得，，， 因为， 所以 ，化简得：。 所以。 因为， ， 所以 【例25】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意得，再根据抛物线的焦点得，进而得答案； （2）（i）设，结合导数求得直线l方程.设，，，进而联立方程组结合韦达定理得，，故直线的方程为，最后与联立可得点在定直线上； （ii）结合（i），，，，进而，，再令，结合二次函数的最值求解即可. （1） 解：由题意知：，解得. 因为抛物线的焦点为， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2） 解：（i）证明：设，由，可得， 所以直线l的斜率为m，其直线方程为，即. 设，，，联立方程组 消去y并整理可得， 故由其判别式，可得， 故， 代入，可得. 因为，所以直线的方程为. 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上. （ii）由（i）知直线的方程为， 令得，所以， 又，，， 所以，， 所以， 令，则. 因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足， 所以点的坐标为，在椭圆的内部， 因此的最大值为，此时点的坐标为. 【例26】（2024虹口区一模）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； （3）过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 【答案】（1）；或 （2）证明过程见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可； （2）求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值； （3）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值 【小问1详解】 因为点在抛物线：上，点F为的焦点，且， 所以点到抛物线准线的距离，得， 则抛物线的方程为， 代入，得， 所以，所以或； 【小问2详解】 抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，所以设直线方程为，点、， 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得， ，由韦达定理得，. 由抛物线的定义可知，，，. ，即为定值； 【小问3详解】 ，， 所以切线的方程为，即， 同理可得，切线的方程为， 联立两切线方程，解得，即点， 所以点到直线的距离为． 设， ， 令，则，， 所以在上是增函数， 当时，即当时，，即与的面积之和的最小值为 【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错. 【例27】（2024浦东新区一模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【小问1详解】 由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. 【小问2详解】 显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. 小问3详解】 延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 【例28】（2022上海·格致中学高三期中）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，． 【分析】（1）根据双曲线与椭圆的关系，求得，可得结果． （2）假设点，直接表示斜率，然后根据双曲线方程化简即可． （3）设直线方程并与椭圆联立，结合韦达定理，然后根据，求得，最后计算即可． 【解析】（1）有由题可知：，由的周长为，∴，即，∴，∴椭圆的方程为． （2）设，由，∴， ∴，又，则，∴． （3）依题可知：直线的斜率存在，设方程为，， ∴， ∴，， 由， 设，由， ∴，∴． 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问，第一，假设直线方程；第二，联立椭圆方程并使用韦达定理；第三，根据条件求得；第四，计算． 【例29】（2022上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上． （1）求椭圆M的方程； （2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程； （3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据椭圆离心率、点的坐标求得，从而求得椭圆的方程． （2）利用弦长公式列方程，结合根与系数关系求得直线的斜率，进而求得直线的方程． （3）根据的斜率是否存在进行分类讨论，结合判别式、点到直线距离公式求得，求得矩形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围． 【解析】（1）由已知可得：，解得，，，∴椭圆的方程为． （2）∵，，∴直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得： ，∴，， ∴， 化简可得：，∴，则直线l的方程为：． （3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为， 当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为， 联立方程消去y整理可得：， ∴，解得， ∴，同理可得， ∴矩形ABCD的面积， 令，∴，又，∴，则， 当，即时，取得最大值为，∴，∴， 综上，矩形ABCD的面积的取值范围为． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 E O x y A F P Q A O x y B E P F Q O x y P M M M O x y N M O x y P F H y O x F $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题03 圆锥曲线的最值与范围问题 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. （3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）利用数形结合分析解答. 题型1：长度或距离的最值与范围 与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】(2025届长宁区一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【例2】（2023建平中学开学考试）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 题型2：斜率的最值与范围 与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点。是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解。 【例3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝． (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． 【例4】已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1，0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤，求k的取值范围． 【例5】（2024闵行中学月考）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【例6】（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 题型3：参数的最值与范围 该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例7】（2025届闵行区一模）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． （1）若，求的值； （2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； （3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 【例8】（2024七宝中学期末）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围； （3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值． 【例9】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 【例10】（奉贤2023一模20）已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【例11】（2024届上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 题型4：坐标或截距最值与范围 【例12】（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【例13】（2023延安中学模拟）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 题型5：向量数量积的最值与范围 【例14】已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程； (2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围． 【例15】已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(，－2)． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围． 【例16】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． 题型6：面积有关的最值与范围 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 【例17】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 【例18】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程; （2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值. 【例19】已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【例20】已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围． 【例21】（2022·上海宝山·一模）如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点. (1)求△的面积； (2)若，点，重合，求点的坐标； (3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值. 【例22】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、． (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最小值． 【例23】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 【例24】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【例25】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 【例26】（2024虹口区一模）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； （3）过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 【例27】（2024浦东新区一模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【例28】（2022上海·格致中学高三期中）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【例29】（2022上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上． （1）求椭圆M的方程； （2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程； （3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 E O x y A F P Q A O x y B E P F Q O x y P M M M O x y N M O x y P F H y O x F $$