大题突破6：统计分析大题6考点综合训练-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破6：统计分析大题6考点综合训练 考点1 相关系数的计算及应用 1．（2025高二·陕西咸阳月考）某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，． (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求抽取的样本的相关系数（精确到0.01），并用相关系数说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性． 附：相关系数． 2．（2025高三·陕西汉中·期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数． 3．（2025·全国·模拟预测）新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖． (1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人． ①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数． ②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由． (2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表． 第天 用时 ①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度； ②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因． 参考数据和公式：，相关系数． 4．（2025高三·陕西·期中）人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 并计算得. (1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率； (2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）. 参考公式：相关系数. 5．（2024·广西柳州·模拟预测）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 6．（2024·河南新乡·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 7．（2024高三·全国月考）当大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定限度时会影响人的身体健康．为了了解汽车的流量与空气中的浓度之间的关系，某科研小组在某城市的一个交通点建立监测站，连续记录了十天的汽车流量（单位：千辆）和相应每天该地空气中的平均浓度（单位：），得到如下数据表： 汽车流量 1.36 1.63 1.26 1.86 0.95 1.18 1.50 1.05 1.46 1.75 浓度 96 110 72 135 35 43 115 34 110 120 求与的相关系数，并判断与之间的相关程度（精确到0.01）； 参考公式：，． 参考数据：． 8．（2024·河北邯郸·模拟预测）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 考点2 线性回归分析 9．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示： 种植面积/公顷 1 2 3 4 5 产量/吨 20 38 64 78 100 (1)求关于的线性回归方程； (2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 10．（2025高三·贵州黔东南月考）2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值. 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：； 参考数据： 11．（2024高三·全国月考）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； (2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少． 参考公式：相关系数 r＝＝，回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝＝，a＝y－bx． 12．（广东省江门市2025届高三学期高考模拟考试数学试题）东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 (1)建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； (2)东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 13．（2025高二·全国月考）随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 14．（2025高三·安徽月考）某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 考点3 非线性回归分析 15．（2025高三·山东月考）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． (1)根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； (3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 16．（2025高三·重庆月考）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 (1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） (2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 17．（2025高三·浙江宁波·期末）某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 净利润（万元） 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述与关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出关于的回归方程； (3)已知该企业的产品合格率为，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？ 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 其中. 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为， ，. 18．（2024·全国·模拟预测）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 企业总数量（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 (1)根据表中数据判断，与（其中为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果，求关于的回归方程．（结果精确到小数点后第三位） (3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 附：线性回归方程中，． 参考数据： 19．（2025高三·辽宁沈阳月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 20．（2025高二·辽宁·期末）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 考点4 回归分析与其他知识综合 21．（2025高三·山西·期末）随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 22．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 23．（2024·四川宜宾·模拟预测）某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 单价（千元） 4 5 6 7 8 销量（百件） 67 64 61 58 50 (1)若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程； (2)用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率. 参考数据： 参考公式：线性回归方程中的估计值分别为 24．（2024·青海·模拟预测）某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12月份的订单量数据． 月份 6 7 8 9 10 11 12 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 订单量y（万件） 4.7 5.3 5.6 5.9 6.1 6.4 6.6 (1)试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强；，则认为y与t的线性相关性较弱）； (2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量； (3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望． 附参考公式：，，． 参考数据：，，． 25．（2024·重庆·模拟预测）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 6 产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80 (1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望， 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为． 26．（2025高二·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 27．（2025高二·全国月考）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本(单位：万元)和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差 0.2 0.6 1.8 －3 －1 －4.6 －1 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 考点5 独立性检验的实际应用 28．（2024·河南·模拟预测）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 29．（2024·陕西西安·模拟预测）某工厂用A，B两台机器生产同一种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产的产品质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如表： 一级品 二级品 合计 A机器 70 30 100 B机器 80 20 100 合计 150 50 200 (1)若用A，B两台机器各生产该产品5万件，用频率估计概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少万件？ (2)能否有90%的把握认为A机器生产的产品质量与B机器生产的产品质量有差异？ 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 30．（2024·陕西渭南·模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图.    (1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表） (2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这100名参赛大学生的情况统计如下. 亚运达人 非亚运达人 总计 男生 15 30 45 女生 5 50 55 判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 附：（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 31．（2025高二·江苏常州·期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的． 每日平均运动1万步或以上 每日平均运动低于1万步 总计 40岁以上（含40岁） 80 40岁以下 总计 200 (1)将题中表格补充完整（填写在答题卡上）； (2)判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 32．（2025届山东省聊城市高模拟预测拟预测数学试题）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 考点6 独立性检验与其他知识综合 33．（2025高三·河北保定月考）某体育研究所为了解居民对2024年巴黎奥运会的关注程度，现随机抽取了200名居民，统计了他们观看奥运会的累计时长（单位：小时）如下表： 累计时长 男性居民 5 15 30 20 15 10 5 女性居民 10 30 25 15 10 7 3 合计 15 45 55 35 25 17 8 (1)将观看奥运会的累计时长为20小时及20小时以上的称为“较为关注奥运赛事”，其余的称为“不太关注奥运赛事”，请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与关注赛事程度有关联； 性别 关注赛事程度 合计 不太关注奥运赛事 较为关注奥运赛事 男性居民 女性居民 合计 (2)将观看奥运会的累计时长为60小时及60小时以上的称为“奥运迷”，为进一步了解他们的体育爱好，从样本中的8名“奥运迷”中，随机抽取4人进行调研，记抽出的4人中女性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 34．（2025高三·陕西咸阳月考）某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 (1)是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ (2)采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 35．（2025高三·河南驻马店月考）据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ (2)在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 36．（2024·广西南宁·模拟预测）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ (2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 37．（2024·安徽芜湖·模拟预测）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：，，， (1)建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）； (2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 38．（2024·河南·模拟预测）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； (2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； (3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破6：统计分析大题6考点综合训练 考点1 相关系数的计算及应用 1．（2025高二·陕西咸阳月考）某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，． (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求抽取的样本的相关系数（精确到0.01），并用相关系数说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性． 附：相关系数． 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】（1）首先求每块地区野生动物的数量，再估计其总量； （2）根据相关系数的公式，再结合参考数据，即可求解. 【解析】（1）样区野生动物平均数为，地块数为300， 所以该地区这种野生动物数量的估计值为． （2）相关系数为． 由于0.94接近1， 所以各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性． 2．（2025高三·陕西汉中·期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数． 【答案】(1)平均每个零件的横截面积为，一个零件的耗材量 (2) (3) 【分析】（1）计算出样本中10个零件的横截面积的平均值和耗材量的平均值，得到答案； （2）代入相关系数公式计算出答案. （3）根据零件的耗材量和其横截面积近似成正比得到方程，求出答案. 【解析】（1）样本中10个这种零件的横截面积的平均值， 样本中10个这种零件的耗材量的平均值， 由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为， 平均一个零件的耗材量为． （2） ， 这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为. （3）设这种零件的总耗材量的估计值为， 又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比， ，解得， 故这种零件的总耗材量的估计值为． 3．（2025·全国·模拟预测）新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖． (1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人． ①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数． ②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由． (2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表． 第天 用时 ①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度； ②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因． 参考数据和公式：，相关系数． 【答案】(1)①；②方案二更合理，理由见解析 (2)①，两变量线性相关性很强；②负相关，理由见解析 【分析】（1）①利用分层抽样的概念直接计算，②根据随机抽样的特性直接判断； （2）根据相关系数的公式可得，进而可以判断相关性的强弱及相关性. 【解析】（1）①高一学生每天的检测人数为人， ②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强，潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作； （2）①， ， ， ，， 故， ，两变量线性相关性很强， ②由可知变量和负相关． 可能的原因：随着核酸检测工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短． 4．（2025高三·陕西·期中）人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 并计算得. (1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率； (2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为 (2)该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63 【分析】（1）由已知数据确定老龄化率不低于的城市个数后用频率估计概率； （2）根据所给公式计算相关系数可得． 【解析】（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个， 故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为. （2）， 则 . 故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63. 5．（2024·广西柳州·模拟预测）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数； （2）根据题意得，由递推关系可得等比数列，利用等比数列的前项和公式计算即可； （3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值. 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）依题意得，，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 所以，又， 则. （3）当为偶数时，，单调递减，最大值为，， 当为奇数时，，单调递增，最小值为，， 所以数列的最大值为，最小值为． 6．（2024·河南新乡·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 (2)可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量，理由见解析 【分析】（1）根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由线性回归方程的意义，即可判断. 【解析】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系， 由题意知， 相关系数． 故可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量． 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的． 7．（2024高三·全国月考）当大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定限度时会影响人的身体健康．为了了解汽车的流量与空气中的浓度之间的关系，某科研小组在某城市的一个交通点建立监测站，连续记录了十天的汽车流量（单位：千辆）和相应每天该地空气中的平均浓度（单位：），得到如下数据表： 汽车流量 1.36 1.63 1.26 1.86 0.95 1.18 1.50 1.05 1.46 1.75 浓度 96 110 72 135 35 43 115 34 110 120 求与的相关系数，并判断与之间的相关程度（精确到0.01）； 参考公式：，． 参考数据：． 【答案】，与线性相关程度很强 【分析】利用相关系数的定义求出，即可求解 【解析】依题意，， 所以 ， 因为且接近，所以与线性相关程度很强. 8．（2024·河北邯郸·模拟预测）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2.8千人． 【分析】（1）求出，代入求出相关系数即可； （2）根据公式求出，再求出，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可. 【解析】（1）由题意知，， ， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人． 考点2 线性回归分析 9．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示： 种植面积/公顷 1 2 3 4 5 产量/吨 20 38 64 78 100 (1)求关于的线性回归方程； (2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题中数据和公式分析求解即可； （2）根据（1）的结果整理可得，结合二次函数分析求解. 【解析】（1）由题意可得：， ， ， 则， 所以关于的线性回归方程为. （2）由题意可知：单位面积的苹果利润为， 因为， 可知当，即时，单位面积的苹果利润取到最大值181千元/公顷， 所以小王应该种植10公顷的苹果. 10．（2025高三·贵州黔东南月考）2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值. 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：； 参考数据： 【答案】(1)说明见解析 (2)，175.64万元 【分析】（1）首先算出，进一步分别算出，由此即可求得相关系数，进一步即可说明； （2）依次求出的值即可得回归方程，进一步代入即可预测. 【解析】（1）由题设， 则，，， 所以，两个变量有强相关性， 故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系. （2）由（1），，， 所以， 当，则万元. 11．（2024高三·全国月考）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； (2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少． 参考公式：相关系数 r＝＝，回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝＝，a＝y－bx． 【答案】(1)答案见解析 (2)约为990千克 【解析】 解：(1) x＝＝5，y＝＝5. ＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14， ＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20， ＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10， 所以＝＝＞0.75， 则可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2) 由(1)得＝＝0.7， 则＝5－0.7×5＝1.5，所以＝0.7x＋1.5. 当x＝12时，＝0.7×12＋1.5＝9.9， 所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为990千克． 12．（广东省江门市2025届高三学期高考模拟考试数学试题）东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 (1)建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； (2)东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 【答案】(1)回归方程为，人数约为千人 (2) 【分析】（1）将相关数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可预测出第天入园参观人数； （2）记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园，计算出、的值，利用条件概率公式可求得 【解析】（1）由最小二乘法公式可得， 则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，， 因此，预测第天入园参观人数约为千人. （2）记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园， 则， 如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为， ， 由条件概率公式可得. 因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为. 13．（2025高二·全国月考）随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 【答案】(1) (2) (3)14.4千亿元 【分析】（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程； （2）通过，代入，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程； （3）利用回归方程代入求值． 【解析】（1）设关于的线性回归方程为， 经计算得：，， ， ， ∴，， ∴； （2）将，代入得：， 即； （3）时，（千亿元）， 预测到年年底，该银行储蓄存款额可达千亿元． 14．（2025高三·安徽月考）某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【解析】（1）由表可知：                             所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可知： =                ， 所以 （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 考点3 非线性回归分析 15．（2025高三·山东月考）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． (1)根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； (3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【答案】(1)选择更合适． (2)，12.68万人 (3)分布列见解析，2 【分析】（1）观察散点图结合增长速度情况即可求解； （2）两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程； （3）的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望. 【解析】（1）根据散点图可知，选择更合适． （2）因为，所以两边同时取常用对数，得． 设，则，先求关于的线性回归方程． 因为， ， ， 所以． 把代入上式，得， 故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人． （3）这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以的所有可能取值为1，2，3． ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 16．（2025高三·重庆月考）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 (1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） (2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 【答案】(1)， (2)②的拟合效果好，预测销售量是千件 【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案. （2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测. 【解析】（1）， 所以， 所以. 由，两边取以为底的对数得，即， ， 所以，所以. （2）， 对于，；对于，， 所以②的拟合效果好，当时，预测值千件. 17．（2025高三·浙江宁波·期末）某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 净利润（万元） 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述与关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出关于的回归方程； (3)已知该企业的产品合格率为，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？ 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 其中. 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为， ，. 【答案】(1) (2) (3)8件或9件 【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解， （2）利用最小二乘法即可求解方程， （3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值. 【解析】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择 （2）两边取对数，得， 设，，建立关于的回归方程， 则， ， 所以关于的回归方程为，所以. （3）设抽到的产品中有件合格品，则， 所以， ，即， ， 解得， 所以最有可能是8件或9件. 18．（2024·全国·模拟预测）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 企业总数量（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 (1)根据表中数据判断，与（其中为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果，求关于的回归方程．（结果精确到小数点后第三位） (3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 附：线性回归方程中，． 参考数据： 【答案】(1)回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量 (2) (3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大． 【分析】（1）根据数据的增长速度逐渐加快得到答案. （2）变换得到，得到，根据公式计算得到答案. （3）考虑：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙三种比赛情况，分别计算概率，再比较大小得到答案. 【解析】（1）根据题表中数据可知区块链企业数量增加的速度逐渐变快， 所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量． （2）对两边取自然对数，得，令，得， ， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为， 则关于的回归方程为． （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙． 由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为， 则甲公司获胜的概率分别是： ， ， ． 因为， 所以甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大． 19．（2025高三·辽宁沈阳月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)模型①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可. （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【解析】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为． 20．（2025高二·辽宁·期末）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)适宜作为与之间的回归方程模型， (2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【解析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 考点4 回归分析与其他知识综合 21．（2025高三·山西·期末）随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设，可得，结合参考数据及公式求，由此可得结论； （2）由条件确定的可能取值，判断服从二项分布，再求其取各值的概率，由此可得分布列，再利用二项分布期望公式求期望. 【解析】（1）两边同时取自然对数得. 设，所以， 因为，，， 所以. 把代入，得， 可得，. 所以， 即关于的回归方程为. （2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 22．（2025高二·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【答案】(1)，21条 (2) (3)方式一 【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘估计法求和，即可求解回归方程，再根据方程转化为不等式，即可求解； （2）根据古典概型概率公式，结合组合公式，即可求解； （3）分别求两个方式的分布，以及期望，比较大小，即可判断. 【解析】（1）设， 则，，∴ 令，，∴至少应开放21条滑道 （2）设事件“小红排队时间总和恰为120分钟” 则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则 ， （3）方式①：中奖次数， 方式二：设中奖次数为 ， ， ，所以选方式一 23．（2024·四川宜宾·模拟预测）某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 单价（千元） 4 5 6 7 8 销量（百件） 67 64 61 58 50 (1)若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程； (2)用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率. 参考数据： 参考公式：线性回归方程中的估计值分别为 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照所给的参考公式，计算可得到线性回归方程； （2）先求出5个销售数据中精准销售的个数，再根据古典概型的概率公式计算. 【解析】（1）由题意，，，， 结合参数数据得，， 所以线性回归方程为. （2）当时，，，则，所以为一个精准销售， 当时，，，则，所以为一个精准销售， 当时，，，则，所以为一个精准销售， 当时，，，则，所以不是一个精准销售， 当时，，，则，所以不是一个精准销售. 记三个精准销售为，两个非精准销售为， 则从5个销售数据中任选2个，对应的基本事件有： ，，，，，，，，，， 其中满足要求的共有9个， 所以“精准销售”至少有1个的概率为. 24．（2024·青海·模拟预测）某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12月份的订单量数据． 月份 6 7 8 9 10 11 12 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 订单量y（万件） 4.7 5.3 5.6 5.9 6.1 6.4 6.6 (1)试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强；，则认为y与t的线性相关性较弱）； (2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量； (3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望． 附参考公式：，，． 参考数据：，，． 【答案】(1)订单量y与t的线性相关性较强； (2)，万件； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据相关系数的公式及表格代入数据计算即可判定； （2）根据最小二乘法计算即可得回归方程，代入即可预测估计； （3）根据二项分布的分布列与期望公式计算即可. 【解析】（1）由表格可知， ， 所以， 即订单量y与t的线性相关性较强； （2）结合数据及（1）可知：， 则， 所以y关于t的线性回归方程为：， 显然，即预测该公司2024年3月份接到的订单数量为万件； （3）易知， ，, ，, ，， 分别列表如下： X 0 1 2 3 4 5 则. 25．（2024·重庆·模拟预测）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 6 产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80 (1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望， 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解； （2）分析可知，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求 【解析】（1）令 ，， 则， ， 所以， 所以 （2）由题意得， ， ， ， ， 分布列为： 1 2 3 4 数学期望 26．（2025高二·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 【答案】(1)约为人 (2)回归方程为；约为个. 【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为； （2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果. 【解析】（1）解：由题意可知，，，则，， 所以， ， 所以，估计该地参与社区养老的老人人数为. （2）解：由表格中的数据可得， 所以，， 由已知条件可得， 所以，， 所以，， 又因为， 显然，解得，则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，. 估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个. 27．（2025高二·全国月考）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本(单位：万元)和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差 0.2 0.6 1.8 －3 －1 －4.6 －1 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 【答案】(1)，； (2)，拟合程度更好. 【分析】（1）根据线性回归方程横过定点()可求m，由求得； （2）根据的计算公式计算的值，再与比较大小即可得解. 【解析】（1）∵，， ∴. 则，解得； 8月份对应的残差值. （2）， 则， ∴线性回归模型拟合程度更好. 考点5 独立性检验的实际应用 28．（2024·河南·模拟预测）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)有差异 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意可得列联表，计算，并与临界值对比分析. 【解析】（1）由题意可得：，解得． （2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异． 由已知得，如下列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异． 29．（2024·陕西西安·模拟预测）某工厂用A，B两台机器生产同一种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产的产品质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如表： 一级品 二级品 合计 A机器 70 30 100 B机器 80 20 100 合计 150 50 200 (1)若用A，B两台机器各生产该产品5万件，用频率估计概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少万件？ (2)能否有90%的把握认为A机器生产的产品质量与B机器生产的产品质量有差异？ 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 【答案】(1) (2)没有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异. 【分析】（1）根据频率的概念结合条件即得； （2）由题可得，然后根据临界值结合条件即得. 【解析】（1）根据题表中数据知， 机器生产的产品中一级品的频率是， 机器生产的产品中一级品的频率是； 用频率估计概率，估算此次生产的一级品的数量有万件. 答：估算此次生产的一级品的数量有万件。 （2）根据题表中数据可得， 因为， 所以没有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异. 30．（2024·陕西渭南·模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图.    (1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表） (2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这100名参赛大学生的情况统计如下. 亚运达人 非亚运达人 总计 男生 15 30 45 女生 5 50 55 判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 附：（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)平均数，中位数 (2)有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关 【解析】（1）平均数， 由，， 故中位数位于，设中位数为，则有，解得, 即平均数，中位数； （2）， 故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 31．（2025高二·江苏常州·期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的． 每日平均运动1万步或以上 每日平均运动低于1万步 总计 40岁以上（含40岁） 80 40岁以下 总计 200 (1)将题中表格补充完整（填写在答题卡上）； (2)判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有 【分析】（1）根据题意完成列联表即可； （2）根据列联表求出，即可进行独立性检验. 【解析】（1）由已知，40岁以上（含40岁）的人数为，40岁以下的人数为100．每日平均运动低于1万步的人数为．由此得如下列联表： 每日平均运动1万步或以上 每日平均运动低于1万步 总计 40岁以上（含40岁） 80 20 100 40岁以下 40 60 100 总计 120 80 200 （2）， 所以有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 32．（2025届山东省聊城市高模拟预测拟预测数学试题）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 【答案】(1)，样本容量为 (2) (3)列联表见解析，无 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得的值，将第一组的容量除以第一组的频率可得出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数； （3）根据题意完善列联系表，结合临界值表可得出结论. 【解析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得， 样本容量为. （2）所有参赛学生的平均成绩为. （3）由题意可知，获奖人数为人， 由题意可得如下列联表 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 所以，， 所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异. 考点6 独立性检验与其他知识综合 33．（2025高三·河北保定月考）某体育研究所为了解居民对2024年巴黎奥运会的关注程度，现随机抽取了200名居民，统计了他们观看奥运会的累计时长（单位：小时）如下表： 累计时长 男性居民 5 15 30 20 15 10 5 女性居民 10 30 25 15 10 7 3 合计 15 45 55 35 25 17 8 (1)将观看奥运会的累计时长为20小时及20小时以上的称为“较为关注奥运赛事”，其余的称为“不太关注奥运赛事”，请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与关注赛事程度有关联； 性别 关注赛事程度 合计 不太关注奥运赛事 较为关注奥运赛事 男性居民 女性居民 合计 (2)将观看奥运会的累计时长为60小时及60小时以上的称为“奥运迷”，为进一步了解他们的体育爱好，从样本中的8名“奥运迷”中，随机抽取4人进行调研，记抽出的4人中女性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，不能认为性别与关注赛事程度有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用已知条件，完成2×2列联表，计算与比较即可判断； （2）判断X的可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可. 【解析】（1）列联表为 性别 关注赛事程度 合计 不太关注奥运赛事 较为关注奥运赛事 男性居民 20 80 100 女性居民 40 60 100 合计 60 140 200 零假设为：性别与关注赛事程度无关联，， 根据小概率值的独立性检验，推断成立，故不能认为性别与关注赛事程度有关联. （2）X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 . 34．（2025高三·陕西咸阳月考）某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 (1)是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ (2)采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 【答案】(1)有把握 (2)分布列见解析， (3)13 【分析】（1）根据列联表计算，由独立性检验即可判断； （2）由分层抽样计算抽取的6人中，男性4人，女性2人，根据超几何分布可求得的分布列，可求； （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【解析】（1）零假设为：参加本次活动的市民与其性别无关，根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 所以有的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”. （2）因为青年组中男性市民与女性市民之比为，所以采用分层抽样的方法抽取的6人中，男性市民有4人，女性市民有2人，则的所有可能取值为，依题意知服从超几何分布，且， 则， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （3）设1名女性市民参加活动可获得的分数为，1名男性市民参加活动可获得的分数为，则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9，则，所以， ，所以． 设有名女性市民参加活动，则有名男性市民参加活动， 则， 由（2）可知，，所以， 即随机选取的2人的得分之和的期望为13分． 35．（2025高三·河南驻马店月考）据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ (2)在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）提出零假设并计算，查表比较即可得出结论； （2）求出X的所有取值并求得对应概率，即可得出分布列，继而求出期望值. 【解析】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关， 由列联表中数据得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关； （2）由数据表中可得，这9人中，配有某护眼仪的有4人，没配有某护眼仪的有5人， X的取值分别为0，1，2，3， 可得，， ，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望为． 36．（2024·广西南宁·模拟预测）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ (2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析；与性别有关. (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可； （2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可. 【解析】（1）依题意，列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢篮球与性别有关. （2）依题意，的可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. 37．（2024·安徽芜湖·模拟预测）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：，，， (1)建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）； (2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1) (2)列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可求出，，从而可求解. （2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关. 【解析】（1）由题意得， 则， 所以. （2）设零假设为：是否报废与是否保养无关， 由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台， 补充列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关， 此推断的错误概率不大于0.01. 38．（2024·河南·模拟预测）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； (2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； (3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析 (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）设出事件，结合全概率公式得到答案. 【解析】（1）列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 故， 故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2， 其中包含两种情况，即和，故， 包含三种情况，，和，故， 包含1种情况，即，故， 故的分布列如下： 0 1 2 则数学期望为； （3）记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件， 则，，， 小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，， 故， 故小李晚餐选择低卡甜品的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$