大题突破5：二项分布、超几何分布、正态分布大题6考点综合训练-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破5：二项分布、超几何分布、正态分布大题6考点综合训练 考点1 两点分布 1．（2024·全国·模拟预测）中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球． (1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第次传球后排球传到丙手中的概率； (3)若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，得到，求出，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率； （2）求出之间的关系式，联立后得到，，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，求出； （3）在（2）的基础上求出，求出，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为， 则． 第2次传球到乙手中的概率， 所以第3次传球是由乙传给甲的概率为． （2）根据已知条件可得，当时， 联立则有， 所以是首项为，公比为的等比数列，故． 因为，所以， 代入①②式得， 将⑤代入⑥得，， 则， 其中， 故， ， ， ……， ， 由累加法可得， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故第次传球后排球传到丙手中的概率为． （3）随机变量服从两点分布，设第i次未传到乙手中的概率为， 则排球第i次传到乙手中的概率为， 则． 由（2）知 ， 其中， 所以． 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 2．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果， 水果越采摘越多. 奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果 个放入种植园. (1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果， 小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且 . 试比较: 小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小; (2)证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等； (3)若初始有个橙子和个苹果，证明: 第次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望是 . (附:若随机变量服从两点分布，且 ，) 【答案】(1)都是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用全概率公式计算两人第 2 次采到橙子的概率，比较即可； （2）证明第次采摘采摘到橙子的概率与第次采摘采摘到橙子的概率相等即可； （3）利用结合公式计算即可证明. 【详解】（1）记第次采摘到橙子的概率是，则第 次采摘到苹果的概率是， 对于小明， ，由全概率公式可得: 同理，对于小王： 故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘到橙子的概率大小相等均为. （2）设第次采摘时有个橙子和个苹果， 则 ；， 由全概率公式可得: 所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等. （3）设第次采摘到橙子的个数为， 则，所以服从两点分布. 记第次采摘后，累计采摘到的橙子个数是， 则 ，所以 . 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是利用全概率公式，由计算，得到每一次采摘到橙子的概率所满足的规律. 3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数； (2)群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率. (3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望. 【答案】(1)平均值9.05，众数2.5 (2)； (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取； （2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得； （3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列的前项和，计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得,红包金额的平均值为: ； 众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5； （2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立， 由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为； （3）由题意，，， 由，又， ∴是以为首项，为公比的等比数列，∴. ∴ 设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数， 故服从两点分布：，.， ∴. 由已知，则 【点睛】关键点点睛：解决此类题目的关键在于弄清随机变量的特征、要求，判断其属于哪种分布，才能运用公式推导计算；其次，对于常见的递推公式，如，要掌握构造等比数列的方法过程，才能运用相关通项公式和求和公式解决问题. 4．（23-24高三上·云南·阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 【答案】(1) (2)10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少，理由见解析 【分析】（1）由对立事件概率的求法结合题给数据即可求解. （2）设5个人一组和10个人一组，每组需要化验的次数分别为随机变量，由题中数据可知它们服从两点分布，可求得各自的期望，进而求解. 【详解】（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为． 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为， 所以，一组混合血样呈阳性的概率为． （2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05， 则X的分布列为 1 6 所以，， 总的化验次数为； 设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y的分布列为 1 11 所以，总的化验次数为， 所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． 考点2 二项分布 5．（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 6．（2025高三·全国·专题练习）2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 【答案】(1)27 (2)甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛，理由见解析 【分析】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为，根据题意列出方程求解即可求解； （2）求出甲的参赛方案，对所有方案依次分析即可. 【详解】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为， 则，解得， 即全校获得参加决赛资格学生的总人数为27； （2）由题意，甲的参赛方案有三种： 方案1：选择3道航空类试题， 方案2：选择2道航空类试题和1道航天类试题， 方案3：选择1道航空类试题和2道航天类试题， 对于方案1：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为， 且，所以， 对于方案2：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，30，40， 则， ， ， ， ，所以， 对于方案3：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，50，60， 则， ， ， ， ， ，所以． 因为， 所以甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛． 7．（2025高三·全国·专题练习）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动． (1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率； (2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望； (3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)． 【分析】（1）机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，分类讨论可求得机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率． （2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，利用二项分布的概率公式可求得分布列，进而求得数学期望； （3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，则某次跳动后距离起点处个单位为事件，分类讨论求得的概率，利用对立事件的概率关系求得的概率. 【详解】（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件， 则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后． ①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为，（点拨：该情况下，机器狗经过3次跳动后，距离起点处为3个单位，机器狗需连续向起点处跳动3次）； ②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，（提示：表示从6次跳动中选择3次向前跳，则剩下的3次向后跳，减去的2表示减去①包含的2种情况）； 所以． （2）由题意知的所有可能取值为1，3，5， 当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，， 所以， 所以的分布列为 1 3 5 所以． （3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件， 则某次跳动后距离起点处个单位为事件， 则事件包含以下情况： ①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为． ②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率． 所以， 所以，（技巧：事件比较复杂，包含情况较多，考虑利用正难则反思想求解） 即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为． 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用全概率公式计算求解即可； （2）先根据对立事件求概率，再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可. 【详解】（1）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”，， 表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”，， 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则. 由已知， 所求的概率为. （2）依题意有：随机变量的可能取值为， 由（1）知一次抽检后，设备需要调整的概率为， 依题意知，则， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以：. 9．（2025高三下·全国·专题练习）中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题可得方案一5项功能获胜3项，由独立重复试验的概率计算公式求解即可； （2）由题意确定，即可求解； 【详解】（1）设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项， 所以． 即所求的概率为． （2）由题意可知；；； ；；． 则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 考点3 超几何分布 11．（山东省济宁市2025届高考模拟考试（一模）数学试题）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)89 (2)分布列见详解； 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据频率和为1求解即可； 根据各段人数可得的可能取值为0，1，2，再求解分布列求解即可. 【详解】（1）由，解得． （2）分数在，的人数分别是（人），（人）， 所以的可能取值为0，1，2，其服从参数为，，的超几何分布． 则，， ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 15．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）根据条件概率公式，先求，，进而可得； （2）根据超几何分布求其分布列和期望即可. 【详解】（1）依题意，   所以. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3， 所以， ，， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 16．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）根据样本极差，数量直接计算即可； （2）根据方差公式计算； （3）运用超几何分布求概率，得到分布列. 【详解】（1）因为样本极差为，. （2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为， 所以方差. （3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为. 则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7， 的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8， 故， ， ， 故的分布列为 0 1 2 17．（24-25高三上·青海·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 【答案】(1)，全校学生运动时长超过分钟的人数约为 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，结合频率分布直方图可求得全校学生中运动时长超过分钟的人数； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）计算出运动时长超过分钟的人数以及运动时间不超过分钟的人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则． 全校学生运动时长超过分钟的人数约为． （2）由图可知，运动时长超过分钟的人数为， 运动时长不超过分钟的人数为， 由题意可知的可能取值为、、， 则，，， 所以的分布列为 所以． （3）运动时长超过分钟的人数为， 运动时长不超过分钟的人数为， 所以从样本中任意选取名学生， 恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 考点4 二项分布与超几何分布综合 18．（23-24高二下·北京·期中）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲正确作答2个题目的概率； (2)求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，直接写出：两位选手中______（甲或乙）晋级的可能性更大． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2.1 (3)甲 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设选手乙正确作答的题目个数为，则，根据二项分布的概率公式得到分布列，求出数学期望； （3）设选手甲正确作答的题目个数为，求出，再结合（2）得到，即可判断； 【详解】（1）设事件为“选手甲正确作答2个题目”，则． 所以选手甲正确作答2个题目的概率． （2）设选手乙正确作答的题目个数为，则， 故；； ；； 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望． （3）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3． 所以，． 所以． 因为， 所以．所以可以认为选手甲晋级的可能性更大． 19．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 20．（23-24高三上·山西·阶段练习）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列； （2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解. 【详解】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4． 有，，， 故小张猜中谜语道数的分布列为 2 3 4 设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4， 有， ， ， ， ． 故小王猜中谜语道数的分布列为 0 1 2 3 4 （2）由（1）可知， 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得． 21．（2023高三·全国·专题练习）袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求： (1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差. 【答案】(1)分布列答案见解析， (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为.又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则. ；；； . 因此，的分布列为 0 1 2 3 . （2）不放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，且有： ；；. 因此，的分布列为 0 1 2 . 22．（22-23高二下·全国·课后作业）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 【答案】(1)12（件） (2)分布列见解析， (3)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列. 【详解】（1）质量超过克的产品的频率为， 质量超过克的产品数量为. （2）质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，服从超几何分布，的取值为，，. ，， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. （3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为. 从流水线上任取件产品互不影响， 该问题可看二项分布，质量超过克的件数可能的取值为，，，且. ，，，. ， ， . 的分布列为 23．（21-22高二下·江苏苏州·期中）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率； (2)求乙答对的题目数的分布列； (3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) X 2 3 4 P (3)甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数. 【分析】（1）根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率. （2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列. （3）由（2）计算出乙平均答对题目数的期望值.利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值.由此得到两人平均答对的题目数的大小. 【详解】（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是， ∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率 . （2）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4， ， ， ， X的分布列为： X 2 3 4 P （3）∵乙平均答对的题目数， 甲答对题目， 甲平均答对的题目数. ∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数. 【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查利用超几何分布概率计算公式计算分布列，考查期望值的计算，属于中档题. 考点5 正态分布 24．（辽宁省名校联盟2024-2025学年高二下学期3月份联合考试数学试题）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)80，0.8185 (2)①，② 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 （2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， 25．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 26．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)100 (2)0.2 (3)分布列见解析，1.6 【分析】（1）根据平均数的概念计算求解； （2）利用正态分布的对称性求解； （3）先找出一个人获赠库车小白杏个数的情况，，，，再求出两个人获赠情况的分布列. 【详解】（1）. （2）因为，所以， 所以. （3）设1人获赠库车小白杏的个数为，则，，. 依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.34 0.12 0.09 所以. 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 28．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 29．（24-25高三上·山西·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表： 燃气使用量(单位：) 频数 6 14 18 30 16 12 4 (1)若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数） 附：若X服从正态分布，则，，. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)159个 【分析】（1）先利用分层抽样的概念求出在和这两组的家庭中随机抽取的家庭个数，进而得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可； （2）根据频数分布表求出平均值，再根据正态分布的性质求解即可. 【详解】（1）燃气使用量在的家庭个数为：（个）， 在的家庭个数为：（个）， 则的所有可能取值有0，1，2， ，，， 则的分布列为 0 1 2 所以. （2）由题意知这100个样本家庭的平均值， 所以， 又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个. 考点6 二项分布与正态分布综合 30．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1) (2)（i）22.75万；；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）先求出旅游支出不低于10000元的有33人，再结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； （2）（i）根据题目数据求得，根据正态分布的特殊区间求得概率，即可求解； （ii）根据题意求出的所有可能取值，结合二项分布概率公式求得分布列和数学期望. 【详解】（1）样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人， 所以两人旅游支出均不低于10000元的概率为； （2）（i）， 所以服从正态分布， ， 万， 估计郑州市有22.75万市民2023年旅游费用支出在15000元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为. ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 31．（2024·宁夏银川·三模）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2）① 根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解； ②根据题意可得所有可能取值为，结合二项分布求概率和均值即可求解． 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元， ， 所以，，服从正态分布， ， ， 估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上； ②由①知，，则， 的所有可能取值为， ，， ，； 所以随机变量的分布列为： 均值为. 32．（22-23高二下·浙江宁波·期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． (1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值． 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)； (2)① ；②分布列见解析；期望为 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由频率分布直方图性质可得： 所以，， 由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为 （2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 33．（24-25高二下·福建南平·期末）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值； (2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率； (3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望. 附；若，则，， 【答案】(1)12（件），501.75 (2)0.97725 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；（2）根据正态分布的对称性即可求解；（3）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ∵质量超过505克的产品的频率为， ∴质量超过505克的产品数量为（件） 样本平均值 或者样本平均值 或者样本平均值 （2）由题意可得， 则， 则该批产品质量指标值的概率： 或者 （3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品， 该产品的质量超过505克的概率为 所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布. 故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且 ∴， ∴， ， ， ∴的分布列为 0 1 2 的均值为 或者 34．（24-25高三上·全国·阶段练习）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97． (1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差； (2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人． ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）； ②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，） 【答案】(1)中位数为，方差为； (2)①4；②分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据中位数的定义求中位数，应用方差公式求成绩的方差. （2）①应用正态分布特殊区间的概率求法求成绩在的概率，再求实验班学生30人中成绩在中的人数；②由题设知且服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求期望. 【详解】（1）这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97， 所以中位数为，平均数为， 所以方差. （2）①由（1）知：，， ， 该班学生成绩在的人数为. ②随机变量，显然X服从二项分布，其分布列为，其中， X 0 1 2 3 4 P 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破5：二项分布、超几何分布、正态分布大题6考点综合训练 考点1 两点分布 1．（2024·全国·模拟预测）中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球． (1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第次传球后排球传到丙手中的概率； (3)若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求． 2．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果， 水果越采摘越多. 奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果 个放入种植园. (1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果， 小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且 . 试比较: 小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小; (2)证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等； (3)若初始有个橙子和个苹果，证明: 第次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望是 . (附:若随机变量服从两点分布，且 ，) 3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数； (2)群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率. (3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望. 4．（23-24高三上·云南·阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（） (1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； (2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？ 考点2 二项分布 5．（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 6．（2025高三·全国·专题练习）2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 7．（2025高三·全国·专题练习）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动． (1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率； (2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望； (3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率． 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望. 9．（2025高三下·全国·专题练习）中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 考点3 超几何分布 11．（山东省济宁市2025届高考模拟考试（一模）数学试题）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 15．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 16．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 17．（24-25高三上·青海·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 考点4 二项分布与超几何分布综合 18．（23-24高二下·北京·期中）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲正确作答2个题目的概率； (2)求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，直接写出：两位选手中______（甲或乙）晋级的可能性更大． 19．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 20．（23-24高三上·山西·阶段练习）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 21．（2023高三·全国·专题练习）袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求： (1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差. 22．（22-23高二下·全国·课后作业）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 23．（21-22高二下·江苏苏州·期中）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率； (2)求乙答对的题目数的分布列； (3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由. 考点5 正态分布 24．（辽宁省名校联盟2024-2025学年高二下学期3月份联合考试数学试题）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 25．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 26．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 28．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 29．（24-25高三上·山西·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表： 燃气使用量(单位：) 频数 6 14 18 30 16 12 4 (1)若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数） 附：若X服从正态分布，则，，. 考点6 二项分布与正态分布综合 30．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 31．（2024·宁夏银川·三模）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 32．（22-23高二下·浙江宁波·期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． (1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值． 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． 33．（24-25高二下·福建南平·期末）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值； (2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率； (3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望. 附；若，则，， 34．（24-25高三上·全国·阶段练习）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97． (1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差； (2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人． ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）； ②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$