9.2向量运算练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

9.2向量运算 练习 一、单选题 1．在直角坐标系xOy中的三点，，，若向量与在向量方向上的投影相等，则m与n的关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零向量，满足，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知为的外心，,，若，且，则 A． B． C． D． 5．已知单位向量，满足等式，，则与的夹角为 A．120° B．90° C．60° D．30° 6．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量与为单位向量，满足，则向量与的夹角为（  ） A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（    ） A．与的夹角为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 10．下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，且，则四边形为菱形 C．若，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为正方形 11．已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为 C． D．的最大值为2 12．若向量，，满足，，，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知单位向量和的夹角为 ，， ，则 . 14．已知向量与的夹角为，，，则 ． 15．设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为， 则的最大值等于 ． 16．在梯形ABCD中，，E是BC的中点，若，，且，则 ． 四、解答题 17．在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为和，，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值. 18．如图,在△ABC中,E为边AC的中点,试问在边AC上是否存在一点D,使得?若存在,说明点D的位置;若不存在,请说明理由. 19．已知、是两个单位向量，且． （1）与能否垂直？请说明理由； （2）若与夹角为60°，求k的值． 20．已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 21．已知D为△ABC的边BC的中点，E为AD上一点，且，若，试用表示． 22．已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求； (3)与的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】,,, 向量在向量方向上的投影为， 向量在向量方向上的投影为， 由题意可得，即. 故选：A. 2．C 【分析】将两边平方，根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】，，且，为非零向量， ，， 即，所以， ， ，且， ． 故选：C． 3．B 【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可. 【详解】因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且， 于是得，当且仅当时取“=”， 所以的最小值为. 故选：B 4．B 【分析】画图，结合可得，根据平面向量的几何意义化简可得即可求解 【详解】画出草图，如下图所示．因为，所以，又因为为的外心，点分别为的中点，分别为两中垂线，则， ， 所以，所以 故选：B 5．C 【分析】根据向量数量积的运算性质及数量积的定义求解即可. 【详解】根据题意，与的夹角为， 而为单位向量，且，则， 又由， 则， 变形可得， 又由，则， 故选：C 6．D 【分析】根据数量积的定义求得向量在向量上的投影数量，然后根据投影向量的定义可得． 【详解】设的夹角为， 因为，所以，所以， 向量在向量上的投影数量为， 向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 7．C 【分析】对平方计算即得解. 【详解】解：向量与为单位向量，满足， 平方得，得， 得因为， 所以. 故选：C. 8．D 【分析】把平方求出，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角． 【详解】，， 因为， 所以与的夹角为. 故选：D 9．BD 【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择. 【详解】对：设的夹角为，， 两边平方可得：， 即对任意的恒成立， 故可得：，即， 则，又，故，故错误； 对：，故正确； 对： ，当且仅当时取得等号，故错误； 对： ，对，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为，故正确. 故选：. 10．AB 【分析】对选项A，利用即可判断出选项A的正误；对于选项B，由，得出四边形为平行四边形，再根据，即可判断出选项B的正误；对于选项C，根据条件，得到，即，从而判断出选项C的正误；选项D，根据及即可判断出选项D的正误. 【详解】选项 A，若，则 ，，则四边形为平行四边形，故A正确； 选项B，若，则 ，，则四边形为平行四边形， 又，则，则四边形一定是菱形，故B正确； 选项C，若，则，则，则，仅由不能判定四边形为矩形，故C错误； 选项D，若，则，，则四边形为平行四边形，又由，可得，所以对角线，则平行四边形为菱形，故D错误， 故选：AB． 11．CD 【分析】通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】由题意，均为正数， ， A项， ∵， ∴与的夹角不为钝角，A错误； B项， ∵， ∴向量在方向上的投影为，B错误； C项， ∵，， ∴，即，C正确； D项， ∵，即，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为2，D正确； 故选：CD. 12．ACD 【分析】由已知模长应用向量数量积公式判断A,B,D选项，根据向量和的模长范围判断C选项即可. 【详解】由题意得，A正确; ， B错误; 当，同向时，取到最大值，且最大值为， 当，异向时，取到最小值，且最小值为， 所以，C正确; 因为，所以，D正确． 故选：ACD. 13． 【解析】先利用向量加法和数量积运算计算和 ，再计算即得结果. 【详解】因为， ，所以， 又， 所以，所以 . 故答案为：. 14．6 【分析】根据向量的数量积即可进行计算. 【详解】 . 故答案为：6. 15．2 【分析】由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案． 【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于， ， 当时，则； 非零向量， ， 当时， ， 故当时，取得最大值为2， 综上，取得最大值为2． 故答案为：2． 16．9 【分析】先根据三角形法则得，再求即可． 【详解】过点E作，交AD于点F，易得F是AD的中点，如下图 则， ． 故答案为：9． 17．(1) (2) 【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值； （2）由向量与的数量积为0可求得． 【详解】（1）由已知得，， 所以：，，， 所以所求余弦值为． （2）因为，，而向量与向量有垂直， 所以，所以．所以 18．D点为AC上靠近C的一个三等分点 【详解】试题分析： 将向量条件转化为两向量相等关系：,根据向量共线可得点D的位置 试题解析：假设存在点D,使得. 由, 得=, 所以, 即. 又,所以, 即在AC上存在一点D,使,且D点为AC上靠近C的一个三等分点. 19．（1）不能垂直，理由见解析；（2）． 【分析】（1）将已知条件平方，根据进行化简，由此得到的结果，根据结果不为零说明不能垂直； （2）根据（1）中的化简结果，代入模长和夹角由此得到关于的方程，从而求解出的值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 且由化简可得． ∵，∴．∴与不能垂直． （2）∵与夹角为60°，且， ∴， ∴，解得． 20．(1)2，1； (2). 【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求； （2）应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】（1）由题设，则 （2）由 ， 所以. 21． 【分析】可以画出图形，根据及即可得出，再根据D为边BC的中点即可得出，这样即可用表示出． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴， 又D为边BC的中点， ∴， ∴． 22．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用数量积公式和数量积运算律可得； （2）利用向量的平方求向量的模； （3）利用数量积公式求向量的夹角的余弦值. 【详解】（1）已知向量与的夹角，且，， 则， 所以. （2）. （3）与的夹角的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $$