10.2事件的相互独立性同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.2　事件的相互独立性 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　) A. B. C. D. 4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是　　　　.  6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　.  7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响. (1)求三人都被选中的概率; (2)求只有两人被选中的概率. 关键能力提升练 8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　) A. B. C. D. 9.人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA,aA或Aa”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,基因对中两个基因分别来自父本和母本,且是随机组合的.若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为(　　) A. B. C. D. 10.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 11.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 (　　) A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4” D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面” 12.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是 (　　) A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是 13.(多选题)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是 (　　) A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为 B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为 C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为 D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为 14.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为　　　　.  15.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　,P(B)=　　　.  16.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)求P2的值; (2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式. 学科素养创新练 17.某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q:要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作. (1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率; (2)若备选电子元件A,B,C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由. 10.2　事件的相互独立性 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案A 解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为. 2.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 答案C 解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C. 3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　) A. B. C. D. 答案C 解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为. 4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 答案A 解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥. 5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是　　　　.  答案0.902 解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥. ∴至少两颗卫星预报准确的概率为 P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902. 6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　.  答案 解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=. 问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-. 7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响. (1)求三人都被选中的概率; (2)求只有两人被选中的概率. 解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)∵A,B,C是相互独立事件, ∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=. (2)三种情形: ①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=. ②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=. ③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=. 以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=. 关键能力提升练 8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　) A. B. C. D. 答案D 解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-. 9.人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA,aA或Aa”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,基因对中两个基因分别来自父本和母本,且是随机组合的.若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为(　　) A. B. C. D. 答案D 解析父母决定眼皮单双的基因均为Aa,遗传给孩子的基因可能为AA,Aa,aA,aa,所以孩子为双眼皮的概率为P1=.同理孩子卷舌的概率为P2=.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为P=. 10.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 答案D 解析由题意知,P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y,则∴x2-2x+1=,∴x-1=-,或x-1=(舍去),∴x=,即事件A发生的概率P(A)等于. 11.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 (　　) A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4” D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面” 答案CD 解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件. 12.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是 (　　) A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是 答案AC 解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A)=P(B),即P(A)P()=P(B)P(), 即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B). 又P()=, 所以P()=P()=, 所以P(A)=,故D错误. 13.(多选题)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是 (　　) A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为 B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为 C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为 D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为 答案ACD 解析由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子畅通的概率为1-×1-=,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-=1-,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-=1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为,D正确. 14.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为　　　　.  答案 解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为. 15.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　,P(B)=　　　.  答案 解析∵P(AB)=P(AB)P()=P()=, ∴P()=,即P(C)=. 又P(C)=P()P(C)=, ∴P()=,P(B)=. 又P(AB)=,则P(A)=, ∴P(B)=P()P(B)=. 16.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)求P2的值; (2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式. 解(1)P2=. (2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)× =-Pn-1+(n∈N,n≥2). 学科素养创新练 17.某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q:要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作. (1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率; (2)若备选电子元件A,B,C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由. 解假设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C正常工作, (1)电路子模块R不能正常工作的概率为P(),由于事件A,B互相独立, 所以P()=P()P()=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02, 因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98. (2)由于当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时, 电路子模块Q才能正常工作, ①若1号位元件为电子元件A, 则电路子模块Q正常工作的概率为P(A)[1-P()]=0.7×(1-0.2×0.1)=0.686; ②若1号位元件为电子元件B,则电路子模块Q正常工作的概率为P(B)[1-P()]=0.8×(1-0.3×0.1)=0.776; ③若1号位元件为电子元件C,则电路子模块Q正常工作的概率为P(C)[1-P()]=0.9×(1-0.3×0.2)=0.846. 因此,1号位接入正常工作概率最大的元件C时,电路子模块Q正常工作的概率最大. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$