5 二次函数与一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 1 如图是抛物线 y 1 =ax 2+bx+c （a≠0） 的一部分， 抛物线的 顶点坐标 A （ 1 ， 3 ）， 与 x 轴有一个交点 B （ 4 ， 0 ）， 直线 y 2 =mx+n （ m≠0） 与抛物线交于 A ， B 两点， 下列结论： ①2a+b=0 ； ②abc>0； ③方程 ax2+ bx+c=3 有两个相等的实数根； ④ 抛物线与 x 轴的另一个交点是 （-1， 0）； ⑤ 当 1<x<4 时， 有 y 2 <y 1 . 请判断上述结论哪些是正确的， 哪些是错误 的， 为什么 . 【分析】 根据抛物线对称轴 x=1 可对 ① 进行判断； 由抛物线开口方向得到 a<0 ， 由对称 轴位置可得 b>0 ， 由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c>0 ， 于是可对 ② 进行判断； 根据顶点坐 标可对 ③ 进行判断； 根据抛物线的对称性可对 ④ 进行判断； 根据函数图象得当 1<x<4 时， 一 次函数图象在抛物线下方， 则可对 ⑤ 进行判断 . 【解答】 ①③⑤ 是正确的， ②④ 是错误的 . 理由如下： ∵ 抛物线的顶点坐标 A （ 1 ， 3 ）， ∴ 抛 物线的对称轴为直线 x=- b 2a =1 ， ∴2a+b=0 ， ∴① 正确 . ∵ 抛物线开口向下， ∴a<0 ， ∴b=-2a>0. ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c>0 ， ∴abc<0 ， ∴② 错误 . ∵ 抛物线的顶点坐标 A （ 1 ， 3 ）， ∴x=1 时， 二次函数有最大值， ∴ 方程 ax 2 +bx+c=3 有两个相等的实数根， ∴③ 正确 . ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 （ 4 ， 0 ）， 而抛物线的对称轴为直线 x=1 ， ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 （ -2 ， 0 ）， ∴④ 错误 . ∵ 抛物线 y 1 =ax 2 +bx+c 与直线 y 2 =mx+n （ m≠0 ） 交于 A （ 1 ， 3 ）， B （ 4 ， 0 ）， ∴ 当 1<x<4 时， y 2 <y 1 ， ∴⑤ 正确 . 【点拨】 此题考查从二次函数的图象中发现二次函数相关性质的能力 . 解这类问题的基本 策略如下： 首先看抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴， 然后看与 x 轴和 y 轴的交点， 最 后在图象上找一些特殊的自变量的值 （如 ±1 ， ±2 等）， 观察相对应的函数值的大小， 根据函 数值的大小能得到系数 a ， b ， c 之间的某些数量关系 . 例题 2 二次函数 y=a （ x-4 ） 2 -4 （ a≠0 ） 的图象在 2<x<3 这一段位于 x 轴的下方， 在 6< x<7 这一段位于 x 轴的上方， 则 a 的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【分析】 首先根据二次函数 y=a （ x-4 ） 2 -4 （ a≠0 ）， 得到抛物线的对称轴为直线 x=4 ， 再 根据抛物线在 2＜x＜3 这一段位于 x 轴的下方， 在 6＜x＜7 这一段位于 x 轴的上方的已知条件， 结合抛物线的对称性， 得出抛物线在 1＜x＜2 这一段位于 x 轴的上方， 而抛物线在 2＜x＜3 这一 段又位于 x 轴的下方， 进而得到抛物线交 x 轴于点 （ 2 ， 0 ）， 把 （ 2 ， 0 ） 代入 y=a （ x-4 ） 2 - 4 （ a≠0 ）， 得 4a-4=0 ， 解得 a=1. x y A B 3 O 1 4 y 1 y 2 例题 1 图 5 二次函数与一元二次方程 （第 2课时） 48 二次函数 第二章 此题还可以借助特殊值法思考： 由二次函数 y=a （ x-4 ） 2 -4 （ a≠0 ） 的图象在 2＜x＜3 这一 段位于 x 轴的下方， 我们取特殊值 x= 5 2 时， 二次函数 y=a （ x-4 ） 2 -4 （ a≠0 ） 的值小于 0 ， 由 6＜x＜7 这一段位于 x 轴的上方， 取特殊值 x= 13 2 时， 二次函数 y=a （ x-4 ） 2 -4 （ a≠0 ） 的值大于 0. 于是得到不等式组 a 5 2 - - # 4 2 -4<0 ， a 13 2 - - - 4 2 -4>0 0 ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( ， 解得 16 25 <a< 16 9 ， ∴a 的值为 1. 【解答】 A 【点拨】 此题是对二次函数轴对称性和数形结合思想综合运用能力的考查 . 解题的基本 策略是利用函数表达式确定顶点、 对称轴， 根据对称轴以及在 x 轴上、 下方某一区间段上 图象的位置， 结合抛物线的对称性， 确定出抛物线在直角坐标系中的大致位置， 进而问题 得以解决 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知二次函数 y=2x 2 －4x－1 的图象如图， 则关于 x 的一元二次方程 2x 2 －4x－1=0 的两个 近似根的范围在 和 之间 ． 2. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的顶点坐标 （ －1 ， －3.2 ） 及部分图象如图所示 . 由图 象可知关于 x 的方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根， 其中的一个根是 x 1 =1.3 ， 则另一个根 x 2 = ． 3. 下列表格是二次函数 y=ax 2 +bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值， 判断方程 ax 2 +bx+ c=0 （ a≠0 ， a ， b ， c 为常数） 的一个解 x 的取值范围是 （ ） A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 4. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象经过 （ -3 ， 0 ） 与 （ 1 ， 0 ） 两点， 关于 x 的方程 ax 2 + bx+c+m=0 （ m＞0 ） 有两个根， 其中一个根是 3 ， 则关于 x 的方程 ax 2 +bx+c+n=0 （ 0＜n＜m ） 有 两个整数根， 这两个整数根是 （ ） A． -2 或 0 B． -4 或 2 C． -5 或 3 D． -6 或 4 y x O -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 2 1 第 1 题图 第 2 题图 y x O -4 -3 -2 -1 1 2 x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2 +bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04 49 九年级下册 （北师大版）数学 5. 函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的图象与 x 轴交于点 （ 2 ， 0 ）， 顶点坐标为 （ -1 ， n ）， 其中 n＞ 0． 以下结论正确的是 （ ） ①abc＞0 ② 函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 在 x=1 和 x=-2 处的函数值相等 ③ 函数 y=kx+1 的 图象与函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的图象总有两个不同交点 ④ 函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 在 -3≤x≤3 内既有最大值又有最小值 A． ①③ B． ①②③ C． ①④ D． ②③④ 能力提升 综合拓展 6. 已知 P （ -3 ， 7 ） 和 Q （ 1 ， 7 ） 是抛物线 y=2x 2 +bx+c 上的两点 ． （ 1 ） 求 b ， c 的值 . （ 2 ） 判断关于 x 的一元二次方程 2x 2 +bx+c=0 是否有实数根 . 若有， 求出它的实数根； 若 没有， 请说明理由 . （ 3 ） 将抛物线 y=2x 2 +bx+c 向上平移 k （ k 是正整数） 个单位长度， 使平移后的图象与 x 轴无交点， 求 k 的最小值 ． 7. 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框， 制成一面镜子， 镜子的长 与宽的比是 2 ∶ 1. 已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元， 边框的价格是每米 30 元， 另外制 作这面镜子还需加工费 45 元 . 设制作这面镜子的总费用是 y 元， 镜子的宽度是 x 米 . （ 1 ） 求 y 与 x 之间的关系式 . （ 2 ） 如果制作这面镜子共花了 195 元， 求这面镜子的长和宽 . 50 二次函数 第二章 8. 为解决消费者停车难的问题， 某商场新建一小型轿车停车场 ． 经测算， 此停车场每天 需固定支出的费用 （包括设施维修费、 管理人员工资等） 为 600 元， 为制订合理的收费标 准， 该商场对每天轿车停放辆次 （每辆轿车每停放一次简称为 “辆次”） 与每辆轿车的收费 情况进行调查， 发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时， 每天来此停放的轿车都为 300 辆次； 若每辆次轿车的停车费定价超过 10 元， 则每超过 1 元， 每天来此停放的轿车就 减少 12 辆次 ． 设每辆次轿车的停车费为 x 元 （为便于结算， 停车费只取整数）， 此停车场的 日净收入 （日净收入 = 每天共收停车费 - 每天固定的支出） 为 y 元 ． 回答下列问题： （ 1 ） ① 当 x≤10 时， y 与 x 的关系式为 ； ② 当 x＞10 时， y 与 x 的关系式为 . （ 2 ） 停车场能否实现 3 000 元的日净收入？ 如能， 求出每辆次轿车的停车费定价； 如不 能， 请说明理由 . （ 3 ） 该商场要求此停车场既要吸引顾客， 使每天轿车停放的辆次较多， 又要有最大的日 净收入， 按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应为多少元？ 此时最大日净收入是多少元？ 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·广西） 如图， 小王同学投掷实心球， 出手（点 P 处） 的高度 OP 是 7 4 m ， 出手 后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时， 水平距离是 5 m ， 高度是 4 m. 若实心球落地 点为 M ， 则 OM= . 10. （ 2024 ·新疆） 如图， 抛物线 y= 1 2 x 2 -4x+6 与 y 轴交于点 A ， 与 x 轴交于点 B ， 线段 CD 在抛物线的对称轴上移动 （点 C 在点 D 下方）， 且 CD=3． 当 AD+BC 的值最小时， 点 C 的 坐标为 . O M P 5 m 4 m O x A y B C D 第 10 题图第 9 题图 51 九年级下册 （北师大版）数学 11. （ 2023 ·牡丹江 ） 如图 ， 抛物线 y＝ax 2 +bx +c 经过点 （ -2 ， 0 ） ， （ 3 ， 0 ） ． 下列结论： ① ab c ＞0 ； ②c＝2b ； ③ 若抛物线上有点 5 2 ， y 11 " ， （ -3 ， y 2 ）， - 1 2 ， y 31 " ， 则 y 2 ＜y 1 ＜y 3 ； ④ 方程 cx 2 +bx+a＝0 的解为 x 1 ＝ 1 2 ， x 2 ＝- 1 3 ． 其 中正确的个数是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. （ 2023 ·自贡） 经过 A （ 2-3b ， m ）， B （ 4b+c-1 ， m ） 两点的抛物线 y＝-0.5x 2 +bx-b 2 + 2c （ x 为自变量） 与 x 轴有交点， 则线段 AB 的长为 （ ） A． 10 B． 12 C． 13 D． 15 13. （ 2022 ·杭州） 设二次函数 y 1 =2x 2 +bx+c （ b ， c 是常数） 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点 . （ 1 ） 若 A ， B 两点的坐标分别为 （ 1 ， 0 ）， （ 2 ， 0 ）， 求函数 y 1 的表达式及其图象的对 称轴 . （ 2 ） 若函数 y 1 的表达式可以写成 y 1 =2 （ x-h ） 2 -2 （ h 是常数） 的形式， 求 b+c 的最小值 . （ 3 ） 设一次函数 y 2 =x-m （ m 是常数）， 若函数 y 1 的表达式还可以写成 y 1 =2 （ x-m ）（ x-m-2 ） 的形式， 当函数 y=y 1 -y 2 的图象经过点 （ x 0 ， 0 ） 时， 求 x 0 -m 的值 . 第 11 题图 x y O -2 3 52 参考答案与提示 ∵OC＝2 ， ∴n＝2OC＝4． ∵ 点 P （ m ， 4 ） 在抛物线 y＝x 2 +x-2 上， ∴m 2 +m-2＝4. ∴m 1 ＝-3 ， m 2 ＝2 （舍去） ． ∴ 点 P 坐标为 （ -3 ， 4 ） ． 5 二次函数与一元二次方程 （第 2 课时） 1. -1 3 2. －3.3 3. C 4. B 5. C 6. 解： （ 1 ） 将点 P （ －3 ， 7 ） 和 Q （ 1 ， 7 ） 分别代入二次函数 y=2x 2 +bx+c ， 得 2×9-3b+c=7 ， 2×1+b+c=7 7 . 解得 b=4 ， c=1 7 . （ 2 ） 抛物线开口向上， 顶点在 x 轴下方， 因此有实数根， 解得 x=-1± 2 姨 2 . （ 3 ） 由题意将抛物线 y=2x 2 +bx+c 向上平 移 k （ k 是正整数） 个单位长度， 使平移后的图象与 x 轴无交点， ∴ 设 y=2x 2 +4x+1+k. ∵ 方程 2x 2 +4x+1+k=0 没有实 数根， ∴Δ＜0 ， 即 16－8 （ 1+k ） ＜0. ∴k＞1. ∵k 是正整数， ∴k 的最小值为 2． 7. 解： （ 1 ） y=240x 2 +180x+45. （ 2 ） 由题意得 240x 2 +180x+45=195 ， 整理得 8x 2 +6x－5=0 ， 解得 x 1 =0.5 ， x 2 = －1.25 ( 不合题意， 舍去） . ∴ 宽 0.5 m ， 长 1 m. 8. 解： （ 1 ） ①y=300x-600 ②y=-12x 2 +420x-600 （ 2 ） 当 x≤10 时， y 最大 =300×10-600=2 400 ， ∵3 000＞2 400 ， ∴x>10. 由题意得 -12x 2 +420x-600=3 000 ， 解得 x 1 =15 ， x 2 =20． 答： 每辆次轿车的停车费为 15 元或 20 元时， 商场可 实现 3 000 元日净收入 . （ 3 ） 当 x≤10 时， 停车 300 辆次， 最大日净收入 y=300×10-600=2 400 （元）； 当 x>10 时， y=-12x 2 +420x-600=-12 （ x-17.5 ） 2 +3 075 ， ∵-12＜0 ， ∴ 当 x=17.5 时， y 有最大值 . ∵ 停车费 x 只取整数， ∴ 当 x=17 或 18 时， y 最大 . 又 ∵ 商场要求此停车场要吸引顾客， 使每天轿车停放的辆次较多， ∴ 当 x=17 时， y 最大值 = 3 072 （元） ． 答： 每辆次轿车的停车费定价为 17 元时， 最大日净收入是 3 072 元 ． 9. 35 3 m 10. （ 4 ， 1 ） 提示： 作点 A 关于对称轴的对称点 A′ ， 将点 A′ 向下平移 3 个单位长度， 得到 A″ ， 连接 A″B ， 交对称轴于点 C ， 此时 AD+BC 的值最小， AD+BC=A″B. 在 y= 1 2 x 2 -4x+6 中， 令 x=0 ， 则 y=6. ∴ 点 A （ 0 ， 6 ） . 令 y=0 ， 则 1 2 x 2 -4x+6=0. 解得 x=2 或 x=6. ∴ 点 B （ 2 ， 0 ） . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=- -4 2× 1 2 =4 ， ∴A′ （ 8 ， 6 ） . ∴A″ （ 8 ， 3 ） . 设直线 A″B 的表达式为 y=kx+ b ， 将 A″ （ 8 ， 3 ）， B （ 2 ， 0 ） 的坐标代入表达式， 得 8k+b=3 ， 2k+b=0 7 . 解得 k= 1 2 ， b=-1 7 . ∴ 直线 A″B 的表达式为 y= 1 2 x-1. 当 x=4 时， y=1 ， ∴C （ 4 ， 1 ） . 11. D 12. B 13. 解： （ 1 ） ∵ 二次函数 y 1 =2x 2 +bx+c 过点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）， ∴y 1 =2 （ x－1 ）（ x－2 ）， 即 y 1 =2x 2 -6x+4． ∴ 抛物线 的对称轴为直线 x=－ b 2a = 3 2 ． （ 2 ） 把 y 1 =2 （ x－h ） 2 －2 化成一般式得， y 1 =2x 2 －4hx+2h 2 -2． ∴b=－4h ， c=2h 2 －2． ∴b+c= 2h 2 -4h-2=2 （ h-1 ） 2 －4． 把 b+c 的值看作是 h 的二次函数， 则该二次函数开口向上， 有最小值 . ∴ 当 h=1 时， b+c 的 最小值是 －4． （ 3 ） 由题意得 ， y=y 1 －y 2 =2 （ x－m ）（ x－m－2 ） － （ x－m ） = （ x－m ）［ 2 （ x－m ） －5 ］ ． ∵ 函数 y 的图象经过点 （ x 0 ， 0 ）， ∴ （ x 0 －m ）［ 2 （ x 0 －m ） －5 ］ =0． ∴x 0 －m=0 或 2 （ x 0 －m ） －5=0 ， 即 x 0 －m=0 或 x 0 －m= 5 2 ． 第三章 圆 1 圆 1. 无数 无数 2. 点 P 在 ⊙O 外 3. 0＜OP＜3 4. 12 5. 3<r<5 6. 3 或 73 姨 7. C 8. B 9. B 10. C 11. 解： 如图， 连接 EM ， FM. ∵BE ， CF 是 △ABC 的高， ∴△BCE 和 △BCF 是直 角三角形 . ∴EM= 1 2 CB ， FM= 1 2 CB. 又 ∵M 是 BC 的中点， ∴CM=BM= 1 2 CB. ∴EM=FM= CM=BM. ∴B ， C ， E ， F 在以点 M 为圆心的同一个圆上 . 12. 解 ： （ 1 ） 点 A 在圆外 ， 点 C 在圆上 ， 点 B 在圆内 . 理由 ： ∵ ∠A=30° ， CD⊥AB ， ∴DE=DC ， AD= ３ 姨 DC＞DE ， DB= ３ 姨 ３ DC＜DE. （ 2 ） ∵BC=1 ， ∠DCB= ∠A=30° ， ∴DC= ３ 姨 ２ . ∴AD= ３ 2 . ∴ 点 A 距 ⊙D 的最短距离 = AD－DC= 3- ３ 姨 2 . 13. 解： （ 1 ） 以点 P 为圆心， 分别以 0.6 cm 和 1.2 cm 为半径画圆， 两圆之间的 圆环部分即为所求作的图形 （不包含边界） . （ 2 ） 画线段 AB=3 cm ， 以点 A 为圆心， 以 2 cm 为半径画圆， 再 以点 B 为圆心， 以 1.6 cm 为半径画圆， 则 ⊙A ， ⊙B 公共部分 （相交部分） 即为所求作图形 . 画图略 . 14. 解： 相等 . 如图， 连接 OC ， OD. ∵OC=OD ， ∴∠OCD=∠ODC. ∴∠OCA=∠ODB. 又 ∵AC=BD ， OC=OD ， ∴ △OAC≌△ODB. ∴OA=OB. 第 10 题答图 O x A y B C D A′ A″ A C B E F M 第 11 题答图 213