3 确定二次函数的表达式(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 着 x 的增大而增大， 且过点 A （ -1 ， 5 ）， ∴y 1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点 （ -4 ， 0 ） . 把 （ -1 ， 5 ）， （ -4 ， 0 ） 代入 y 2 = kx+b ， 得 -k+b=5 ， -4k+b=0 0 . 解得 k= 5 3 ， b= 20 3 3 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . ∴y 2 = 5 3 x+ 20 3 . 9. 4 10. 解： （ 1 ） 把 A （ 1 ， -2 ） 和 B （ 0 ， -5 ） 代入 y＝x 2 +bx+c ， 得 1+b+c=-2 ， c=-5 0 . 解得 b=2 ， c=-5 0 . ∴ 二次函数的表达式为 y＝x 2 +2x-5. ∵y＝x 2 +2x-5＝ （ x+1 ） 2 -6 ， ∴ 顶点坐标为 （ -1 ， -6 ） . （ 2 ） ∵y≤-2 ， 即满足该条件的抛物线上的点在过点 （ 0 ， -2 ） 且平行于 x 轴的直线 y=-2 的下方 （包括直线 y=-2 与抛物线的交点） . ∵ 点 A （ 1 ， -2 ） 关于对称轴直线 x＝-1 的对称点为 C （ -3 ， -2 ）， ∴ 当 y≤-2 时， x 的取值范 围是 -3≤x≤1． 3 确定二次函数的表达式 （第 2 课时） 1. y=－x 2 －2x+3 2. －2 3. y=x 2 -4x+5 4. B 5. D 6. C 7. 解： 根据题意得 8=a-b+c ， 0=9a+3b+c ， 3=16a+4b+c. 解得 a=1 ， b=-4 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的函数表达式为 y=x 2 －4x+3= （ x－2 ） 2 －1 ， ∴ 抛物线的顶 点坐标为 （ 2 ， －1 ） ． 8. 解： （ 1 ） 根据题意得 0=a+b+c ， 10=4a+2b+c ， -6=4a-2b+c 0 . 解得 a=2 ， b=4 ， c=-6 0 . ∴ 这个二次函数的表达式为 y=2x 2 +4x－6. （ 2 ） 配方得 y= 2x 2 +4x－6=2 （ x＋1 ） 2 －8 ， ∴ 顶点坐标是 （ －1 ， －8 ） . （ 3 ） 将顶点 （ －1 ， －8 ） 先向右平移 4 个单位长度， 再向上平移 6 个单位长度， 得顶点坐标为 （ 3 ， －2 ）， ∴ 平移后得到的抛物线的表达式为 y=2 （ x－3 ） 2 －2 ， 令 x=0 ， 得 y=16 ， ∴ 它 与 y 轴的交点坐标是 （ 0 ， 16 ） ． 9. 解： （ 1 ） 将 A （ －1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ） 代入 y=x 2 +bx+c ， 得 1-b+c=0 ， 9+3b+c=0 0 . 解得 b=-2 ， c=-3 0 . ∴ 该抛物线的表达式为 y=x 2 － 2x－3． （ 2 ） ∵ 抛物线的表达式为 y=x 2 －2x－3= （ x－1 ） 2 －4 ， ∴ 抛物线的顶点 F 的坐标为 （ 1 ， －4 ）， 抛物线的对称轴为 直线 x=1． 当 x=0 时， y=0 2 －2×0－3=－3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， －3 ） ． 设直线 BC 的表达式为 y=mx+n （ m≠0 ）， 将 B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， －3 ） 的坐标代入 y=mx+n 中， 得 3m+n=0 ， n=-3 0 . 解得 m=1 ， n=-3 0 . ∴ 直线 BC 的表达式为 y=x－3． 当 x=1 时， y=1－3=-2 ， ∴ 点 E 的坐标为 （ 1 ， －2 ）， ∴EF=|－2－ （ －4 ） |=2． （ 3 ） ∵ 点 A 的坐标为 （ －1 ， 0 ）， 点 B 的坐标为 （ 3 ， 0 ）， ∴AB=|3－ （ －1 ） |=4． 设点 P 的坐标为 （ t ， t 2 -2t-3 ） ． ∵S △PAB =6 ， ∴ 1 2 ×4× （ t 2 -2t-3 ） =6. 整理方程得， t 2 -2t-3= 3. 解得 t 1 =1- 7 姨 ， t 2 =1+ 7 姨 ， ∴ 存在满足 S △PAB =6 的点 P ， 点 P 的坐标为 （ 1- 7 姨 ， 3 ） 或 （ 1+ 7 姨 ， 3 ） . 10. 解： （ 1 ） 将 C （ 0 ， -3 ） 代入 y=x+m 中， 得 m=-3. （ 2 ） 当 y=0 ， 即 x-3=0 时， x=3 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 3 ， 0 ） . 将 （ 0 ， -3 ）， （ 3 ， 0 ） 代入 y=ax 2 +b 中， 得 b=-3 ， 9a+b=0 0 ， 解得 a= 1 3 ， b=-3 0 . ∴ 二次函数的表达式为 y= 1 3 x 2 -3. （ 3 ） 存在， 分以下两种情况： ① 当点 M 在 BC 的上方时， 设 MC 交 x 轴于点 D ， 则 ∠ODC=45°+15°=60° ， ∴OD=OC · tan 30°= 3 姨 . ∴D （ 3 姨 ， 0 ） . 设直线 DC 的函数表达式为 y=kx-3 ， 将点 D 的坐标 （ 3 姨 ， 0 ） 代入表 达式中， 得 k= 3 姨 . ∴ 直线 DC 的函数表达式为 y= 3 姨 x-3 ， 根据题意， 得 3 姨 x-3= 1 3 x 2 -3. 解得 x 1 =3 3 姨 ， x 2 =0 （舍去） . 当 x=3 3 姨 时， y=6. ∴ 点 M 1 （ 3 3 姨 ， 6 ） . ② 当点 M 在 BC 下方时， 设 MC 交 x 轴于点 E ， 则 ∠OEC=45°-15°=30° ， ∴OE=OC · tan 60°=3 3 姨 . ∴ 点 E （ 3 3 姨 ， 0 ） . 设直线 EC 的函数表 达式为 y=kx-3 ， 将点 E 的坐标 （ 3 3 姨 ， 0 ） 代入表达式中， 得 k= 3 姨 3 . ∴ 直线 EC 的函数表达式为 y= 3 姨 3 x -3. 根据题意， 得 3 姨 3 x-3= 1 3 x 2 -3. 解得 x 1 = 3 姨 ， x 2 =0 （舍去） . 当 x= 3 姨 时， y=－2 ， ∴ 点 M 2 （ 3 姨 ， -2 ） . 综 上所述， 点 M 的坐标为 （ 3 3 姨 ， 6 ） 或 （ 3 姨 ， -2 ） ． 11. 解： （ 1 ） 把 （ -1 ， 0 ） 和 （ 0 ， -3 ） 代入表达式中， 得 1 2 -b+c=0 ， c=-3 0 . 解得 b=- 5 2 ， c=-3 0 . ∴ 二次函数的表达式为 A B O C x y 第 10 题答图 M 1 M 2 E D 208 参考答案与提示 y＝ 1 2 x 2 - 5 2 x-3. （ 2 ） 令 y＝0 ， 则 1 2 x 2 - 5 2 x-3=0. 解得 x 1 ＝-1 ， x 2 ＝6. ∴ 点 B 的坐标为 （6 ， 0 ） . ∴BC= OB 2 +OC 2 姨 =3 5 姨 . 设直线 BC 的表达式为 y＝mx+n ， 将点 B （ 6 ， 0 ）， C （ 0 ， -3 ） 坐标 代入， 得 6m+n=0 ， n=-3 3 . 解得 m= 1 2 ， n=-3 3 . ∴ 直线 BC 的表达式为 y＝ 1 2 x-3. 如图， 过点 P 作 PD⊥x 轴交 BC 于点 D， 设点 P 的坐标为 x ， 1 2 x 2 - 5 2 x- - % 3 ， 则点 D 的坐标为 x ， 1 2 x- - % 3 ， ∴PD= 1 2 x-3- 1 2 x 2 - 5 2 x- - % 3 =- 1 2 x 2 +3x . ∴S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝ 1 2 ×PD×OB= 1 2 ×6 - 1 2 x 2 +3 % x ＝ - 3 2 （x-3 ） 2 + 27 2 . ∵- 3 2 ＜0 ， ∴S △PBC 有最大值 . ∴△PBC 面积的最大值为 27 2 . ∴PN= 2S △PBC BC = 27 3 5 姨 = 9 5 姨 5 . 12. （ 1 ） 解： 当 m＝-1 时， 二次函数 y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 （ 1 ， 0 ） 和 （ -3 ， 0 ）， ∴ a+b+3=0 ， 9a-3b+3=0 3 . 解得 a=-1 ， b=-2 3 . ∴a 的值是 -1 ， b 的值是 -2. （ 2 ） 解： ∵y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 （ -m ， 0 ） 和 （ 3m ， 0 ）， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝m. ∵y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 A （ n ， 3 ）， （ 0 ， 3 ）， 且点 A 不在坐标轴上， ∴ 由图象的对称性得 n＝2m. ∴m＝ n 2 . ∵-2＜m＜-1 ， ∴-2＜ n 2 ＜-1. ∴-4＜n＜-2. （ 3 ） 证明： ∵ 抛物线经过 （ -m ， 0 ）， （ 3m ， 0 ）， ∴ 抛物线的对称轴为直 线 x＝ -m+3m 2 ＝m. ∴- b 2a ＝m. ∴b＝-2am. 把 （ -m ， 0 ）， （ 3m ， 0 ） 代入 y＝ax 2 +bx+3 ， 得 am 2 -bm+3=0 ， ① 9am 2 +3bm+3=0. 3 ② 将 ①×3+ ② ， 得 12am 2 +12＝0. ∴am 2 +1＝0. ∴b 2 +4a＝ （ -2am ） 2 +4a＝4a （ am 2 +1 ） ＝4a×0＝0． 13. 解： 探究发现： x=5t ， y=- 1 2 t 2 +12t. 问题解决： （ 1 ） 依题意， 得 - 1 2 t 2 +12t=0． 解得 t 1 ＝24 ， t 2 ＝0 （舍） . 当 t＝24 时， x＝120． 答： 飞机落到安全线时 飞行的水平距离为 120 m． （ 2 ） 设发射平台相对于安全线的高度为 n m ， 飞机相对于安全线的飞行高度 y′＝- 1 2 t 2 + 12t+n. ∵125＜x＜130 ， ∴125＜5t＜130. ∴25＜t＜26． 在 y′＝- 1 2 t 2 +12t+n 中， 当 t＝25 ， y′＝0 时， n＝12.5 ； 当 t＝26 ， y′＝0 时， n＝26． ∴12.5＜n＜26． 答： 发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12.5 m 且小于 26 m． 14. 解： （ 1 ） ∵ 二次函数为 y＝x 2 +bx+c ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=- b 2 =- 1 2 ， ． ∴b＝1． ∴ 二次函数的表达式 为 y＝x 2 +x+c． 又 ∵ 函数图象经过点 A （ -2 ， 5 ）， ∴4-2+c＝5． ∴c＝3． ∴ 二次函数的表达式为 y＝x 2 +x+3． （ 2 ） 由题意， ∵ 点 B （ 1 ， 7 ） 向上平移 2 个单位长度、 向左平移 m 个单位长度 （ m＞0 ）， ∴ 平移后的点为 （ 1-m ， 9 ） ． 又 ∵ （ 1-m ， 9 ） 在 二次函数 y＝x 2 +x+3 的图象上， ∴9＝ （ 1-m ） 2 + （ 1-m ） +3． ∴m＝4 或 m＝-1 （舍去） ． ∴m＝4． （ 3 ） 由题意， 二次函数 y＝ x 2 +x+3 图象的对称轴为直线 x=- 1 2 ， 当 n<- 1 2 时， 最大值与最小值的差为 （ -2 ） 2 -2+3- （ n 2 +n+3 ） = 9 4 ． ∴n 1 =n 2 =- 1 2 （不符合题意， 舍去） ． 当 - 1 2 ≤n≤1 时， y＝x 2 +x+3= x+ 1 2 - % 2 + 11 4 . ∴ 最大值与最小值的差为 （ -2 ） 2 -2+3- 11 4 = 9 4 ， 符 合题意 ． 当 n＞1 时， 最大值与最小值的差为 n+ 1 2 - % 2 + 11 4 - 11 4 = 9 4 ， 解得 n 1 ＝1 或 n 2 ＝-2 ， 不符合题意 ． 综上所述， n 的取值范围为 - 1 2 ≤n≤1． 4 二次函数的应用 （第 1 课时） 1. 625 m 2 25 m ， 25 m 2. y=- 1 2 x 2 +x 0<x<2 1 1 2 3. 2 提示： 设 EF=x m ， EG=y m ， 由三角形相似的 性质， 得 y=4- 2 3 x. ∴S 矩形 EGHF =EG · EF=x 4- 2 3 - % x =- 2 3 x 2 +4x. 当 x=3 时， S 矩形 EGHF 最大， 此时 y=2. 4. B 5. 解： （ 1 ） y=- ３ ５ x 2 +3x+1=- 3 5 x- 5 2 - % 2 + 19 4 . ∵- 3 5 <0 ， ∴ 当 x= 5 2 时， 函数的最大值是 19 4 ， 即演员弹跳的最 大高度是 4.75 m. （ 2 ） 当 x=4 时， y=- 3 5 ×4 2 +3×4+1=3.4 ， ∴ 这次表演成功 ． 6. 解： （ 1 ） 如图， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， 则 △ADE∽△ABD. ∴AD 2 =AE · AB. ∴AE= 1 2 x 2 . ∴DC=AB－2AE= 2－x 2 . ∴y=－x 2 +2x+4. （ 2 ） ∵y=－x 2 +2x+4=－ （ x－1 ） 2 +5 ， ∴ 当 x=1 时， y 最大 =5. 第 11 题答图 A x O y C N B P D 209 二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知抛物线过点 A （ -2 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ）， 求此抛物线的函数表达式 . 【分析】 A ， B ， C 为抛物线上三点， 所以可设为一般式； 另外， 观察点 A ， B 的坐标， 可以看出 A （ -2 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ） 都在 x 轴上， 所以对称轴是这两点连线的垂直平分线 x=- 1 2 ， 可设形如 y=a x+ 1 2 2 " 2 +k 的顶点式， 亦可选用交点式 . 【解答】 解法 1 ： 设抛物线的函数表达式为 y=ax 2 +bx+c ， 将 A （ -2 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ） 三点的坐标分别代入上式， 得 4a-2b+c=0 ， a+b+c=0 ， c=2 2 % % % % % $ % % % % % & ， 解得 a=-1 ， b=-1 ， c=2 2 % % % % % $ % % % % % & ， ∴ 抛物线的函数表达式为 y=-x 2 -x+2. 解法 2 ： ∵ 抛物线过点 A （ -2 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ）， ∴ 抛物线的对称轴是这两点连线的垂直平 分线 x=- 1 2 . 设抛物线的函数表达式为 y=a x+ 1 2 2 " 2 +k ， 将 A （ -2 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ） 两点的坐标分 别代入上式， 得 a× -2+ 1 2 2 " 2 +k=0 ， a× 0+ 1 2 2 " 2 +k=2 2 % % % % % % $ % % % % % % & ， 解得 a=-1 ， k= 9 4 2 % % % % $ % % % % & ， ∴ 抛物线的函数表达式为 y=- x+ 1 2 2 " 2 + 9 4 ， 即抛物线的函数表达式为 y=-x 2 -x+2. 【点拨】 本题主要考查已知三点确定二次函数的表达式 . 要确定二次函数的表达式， 关 键是确定表达式中的待定系数 （常数）， 由于每一种形式中都含有三个未知数， 所以必须已 知三个独立条件， 才能确定二次函数的表达式 . 如果根据题意可得到普通的三个点的坐标， 则可设所求表达式为一般式形式； 如果根据题意可得顶点坐标， 则可设所求表达式为顶点 式形式 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象过点（ －3 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， 且顶点的纵坐标为 4 ， 则此 函数表达式为 . 2. 抛物线 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 经过点 （ 1 ， 2 ） 和 （ －1 ， －6 ）， 则 a+c= . 3. 已知二次函数 y=x 2 +bx+c 中， 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： 3 确定二次函数的表达式 （第 2课时） x … -1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 25 九年级下册 （北师大版）数学 则该二次函数的表达式为 . 4. 已知二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为 （ ） A． y=x 2 －2x+3 B． y=x 2 －2x－3 C． y=x 2 +2x－3 D． y=x 2 +2x+3 5. 若所求的二次函数的图象与抛物线 y=2x 2 －4x－1 有相同的顶点， 并且在对称轴的左 侧， y 随 x 值的增大而增大， 在对称轴的右侧， y 随 x 值的增大而减小， 则所求二次函数 的表达式为 （ ） A． y=－x 2 +2x+4 B． y=－ax 2 －2ax－3 （ a＞0 ） C． y=－2x 2 －4x－5 D． y=ax 2 －2ax+a－3 （ a＜0 ） 6. 某广场中心有高低不同的各种喷泉， 其中一根高度为 3 2 m 的喷水 管喷水的最大高度为 4 m ， 此时喷水水平距离为 1 2 m ， 在如图所示的坐标 系中， 这个喷泉的函数表达式是 （ ） A． y=－ 1 2 x- 3 2 2 " 2 +4 B． y=－10 x+ 1 2 2 " 2 +4 C． y=－10 x- 1 2 2 " 2 +4 D． y=－ 3 2 x- 1 2 2 " 2 +4 7. 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过 A （ －1 ， 8 ）， B （ 3 ， 0 ）， C （ 4 ， 3 ） 三点， 求抛物线的函数表 达式及顶点坐标 . 8. 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象经过点 （ 1 ， 0 ）， （ 2 ， 10 ）， （ －2 ， －6 ） ． （ 1 ） 求这个抛物线的表达式 . （ 2 ） 运用配方法， 把这个抛物线化为 y=a （ x+h ） 2 +k 的形式， 并指出它的顶点坐标 . （ 3 ） 把这个抛物线先向右平移 4 个单位长度， 再向上平移 6 个单位长度， 求平移后 得到的抛物线与 y 轴交点的坐标 ． 第 4 题图 y x O -1 3 -3 第 6 题图 y x O 4 3 2 1 2 26 二次函数 第二章 能力提升 综合拓展 9. 如图， 抛物线 y=x 2 +bx+c 与 x 轴交于 A （ -1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ） 两点， 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求该抛物线的表达式 . （ 2 ） 若点 E 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点， 点 F 是抛物线的顶点， 求 EF 的长 . （ 3 ） 设点 P 是 x 轴上方的抛物线上的一个动点， 是否存在点 P ， 满足 S △PAB =6 ？ 若存在， 请求出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 . 10. 如图， 已知顶点为 C （ 0 ， -3 ） 的抛物线 y=ax 2 +b （ a≠0 ） 与 x 轴交于 A ， B 两点， 直 线 y=x+m 过顶点 C 和点 B． （ 1 ） 求 m 的值 . （ 2 ） 求函数 y=ax 2 +b （ a≠0 ） 的表达式 . （ 3 ） 抛物线上是否存在点 M ， 使得 ∠MCB=15° ？ 若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 ． 第 10 题图 A BO C x y 第 9 题图 x y O B A C E F 27 九年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·牡丹江） 如图， 二次函数 y＝ 1 2 x 2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴 交于点 C ， 点 A 的坐标为 （ -1 ， 0 ）， 点 C 的坐标为 （ 0 ， -3 ）， 连接 BC． （ 1 ） 求该二次函数的表达式 . （ 2 ） 点 P 是抛物线在第四象限图象上的任意一点， 当 △PBC 的面积最大时， 求 BC 边上 的高 PN 的值 . 12. （ 2023 ·丽水） 已知点 （ -m ， 0 ） 和 （ 3m ， 0 ） 在二次函数 y＝ax 2 +bx+3 （ a ， b 是常数， a≠0 ） 的图象上 ． （ 1 ） 当 m＝-1 时， 求 a 和 b 的值 . （ 2 ） 若二次函数的图象经过点 A （ n ， 3 ） 且点 A 不在坐标轴上， 当 -2＜m＜-1 时， 求 n 的 取值范围 . （ 3 ） 求证： b 2 +4a＝0． 第 11 题图 A x O y C N B P 28 二次函数 第二章 13. （ 2023 ·武汉） 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机， 通过试验， 收集了飞机相 对于出发点的飞行水平距离 x （ m ）、 飞行高度 y （ m ） 随飞行时间 t （ s ） 变化的数据如下表 所示： 探究发现： x 与 t ， y 与 t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述 ． 直接写出 x 关于 t 的函数表达式和 y 关于 t 的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围） ． 问题解决： 如图， 活动小组在水平安全线上 A 处设置一个高度可以变化的发射平台试 飞该航模飞机 ． 根据上面的探究发现解决下列问题 ． （ 1 ） 若发射平台相对于安全线的高度为 0 m ， 求飞机落到安全线时飞行的水平距离 . （ 2 ） 在安全线上设置回收区域 MN ， AM＝125 m ， MN＝5 m． 若飞机落到 MN 内 （不包括 端点 M ， N ）， 求发射平台相对于安全线的高度的变化范围 ． 14. （ 2024 ·浙江） 已知二次函数 y＝x 2 +bx+c （ b ， c 为常数） 的图象经过点 A （ -2 ， 5 ）， 对 称轴为直线 x=- 1 2 ． （ 1 ） 求二次函数的表达式 . （ 2 ） 若点 B （ 1 ， 7 ） 向上平移 2 个单位长度、 向左平移 m （ m＞0 ） 个单位长度后， 恰好落 在 y＝x 2 +bx+c 的图象上， 求 m 的值 . （ 3 ） 当 -2≤x≤n 时， 函数 y＝x 2 +bx+c 的最大值与最小值的差为 9 4 ， 求 n 的取值范围 ． 飞行时间 t/s 0 2 4 … 飞行水平距离 x/m 0 10 20 … 飞行高度 y/m 0 22 40 … 6 30 54 8 40 64 第 13 题图 M N A 水平安全线 29