3 确定二次函数的表达式(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点， 直线 y=-x+ 4 与 x 轴交于点 A ， 过点 A 的抛物线 y=ax 2 +bx 与直线 y=-x+4 交于另一点 B ， 且点 B 的横坐标为 1. 求点 A ， B 的坐标和抛物线的函数表达式 . 【分析】 利用点 A 是直线 y=-x+4 与 x 轴的交点求出点 A 的坐标， 利 用点 B 在直线 y=-x+4 上和点 B 的横坐标为 1 求出 B 点坐标， 进而利用 待定系数法得出 a ， b 的值， 即可得出抛物线的函数表达式 . 【解答】 ∵ 直线 y=-x+4 与 x 轴交于点 A ， ∴ A （ 4 ， 0 ） . ∵ 点 B 的横坐标为 1 ， 且直线 y= -x+4 经过点 B ， ∴B （ 1 ， 3 ） . ∵ 抛物线 y=ax 2 +bx 经过 A （ 4 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 ）， ∴ 16a+4b=0 ， a+b=3 3 . 解得 a=-1 ， b=4 3 ， ∴y=-x 2 +4x. 【点拨】 确定含有两个字母系数的二次函数表达式， 一般需要两个条件， 即要知道抛物 线上两个点的坐标或者知道抛物线的对称轴和顶点坐标， 利用这两个条件列出二元一次方程 组， 求出两个待定的系数 . 解题时要注意挖掘图象中隐含的相关信息， 并将这些信息转化为 解题的已知条件 . 基础巩固 达标闯关 1. 二次函数 y=x 2 +bx+c 的图象如图所示， 则 2b+c 的值为 . 2. 抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则该抛物线所对应的函数表达式为 . 3. 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象顶点为 A （ －2 ， －2 ）， 且过 点 B （ 0 ， 2 ）， 则 y 与 x 的函数关系式为 （ ） A． y=x 2 +2 B． y= （ x－2 ） 2 +2 C． y= （ x－2 ） 2 －2 D． y= （ x+2 ） 2 －2 x y O -3 2 第 1 题图 第 2 题图 y x O -5-4-3-2-1 1 2 3 2 1 -1 -2 B A 第 3 题图 y x O 2 -1 2 x y O A B 例题图 3 确定二次函数的表达式 （第 1课时） 22 二次函数 第二章 4. 如图所示是二次函数 y=ax 2 +bx+c 图象的一部分， 图象过点 A （ 3 ， 0 ）， 二次函数图象的对称轴为直线 x=1 ， 给出四个结论： ①2a+ b=0 ； ②bc<0 ； ③a-b+c=0 ； ④a+b+c=0. 其中正确结论是 （ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 5. 如图， 抛物线 y=ax 2 +2x+c 经过点 A （ 0 ， 3 ）， B （ -1 ， 0 ） . （ 1 ） 求抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 设抛物线的顶点为点 D ， 对称轴与 x 轴交于点 E ， 连接 BD ， 求 BD 的长 ． 6. 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （ 4 ， 8 ） 在抛物线 y＝ax 2 上， 过点 A 作 y 轴的垂线， 交抛物线于另一点 B ， 点 C ， D 在线段 AB 上， 分别过点 C ， D 作 x 轴的垂线交抛物线于 E ， F 两点 ． 当四边形 CDFE 为正方形时， 求线段 CD 的长 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 抛物线 y=x 2 +bx+c 经过点 A （ -1 ， 0 ）， 点 B （ 2 ， -3 ）， 与 y 轴交于点 C ， 抛物线 的顶点为 D. （ 1 ） 求抛物线的表达式 . （ 2 ） 抛物线上是否存在点 P ， 使 △PBC 的面积是 △BCD 面积的 4 倍？ 若存在， 请直接写 出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 . 第 6 题图 x y O A B C D 第 7 题图 x y B A EF D C O y O x=1 A （ 3 ， 0 ） x 第 4 题图 y x O A D B E C 第 5 题图 23 九年级下册 （北师大版）数学 * 8. 已知抛物线 y 1 =-x 2 +mx+n ， 直线 y 2 =kx+b ， y 1 的对称轴与 y 2 交于点 A （ -1 ， 5 ）， 点 A 与 y 1 的顶点 B 的距离是 4． （ 1 ） 求抛物线 y 1 的表达式 . （ 2 ） 若 y 2 随 x 的增大而增大， 且 y 1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点， 求直线 y 2 的表达式 ． 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·辽宁） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝ax 2 +bx+3 与 x 轴相交于点 A ， B ， 点 B 的坐标为 （ 3 ， 0 ）， 若点 C （ 2 ， 3 ） 在抛物线上， 则 AB 的长为 ． 10. （ 2023 ·宁波） 如图， 已知二次函数 y＝x 2 +bx+c 的图象经过点 A （ 1 ， -2 ） 和 B （ 0 ， -5 ） ． （ 1 ） 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标 . （ 2 ） 当 y≤-2 时， 请根据图象直接写出 x 的取值范围 ． 第 10 题图 x y O A B x y C O B A 第 9 题图 24 参考答案与提示 y= 1 200 x 2 . （ 3 ） 当水面宽度为 36 m 时， 相应的 x 为 18 ， 此时水面中心的高度 y＝ 1 200 ×18 2 =1.62. 因为货船吃水深 度为 1.8 m ， 显然， 1.62<1.8 ， 所以当水面宽度为 36 m 时， 该货船不能安全通过这个河段 . 11. 2 12. < 13. > - 1 2 <m<1 提示： ∵y=-x 2 +4x-1=- （ x-2 ） 2 +3 ， ∴ 二次函数 y=-x 2 +4x-1 图象的对称轴为直线 x=2 ， 开口向 下 . ∵0＜x 1 ＜1 ， x 2 ＞4 ， ∴2-x 1 ＜x 2 -2. ∴ （ x 1 ， y 1 ） 比 （ x 2 ， y 2 ） 离对称轴直线的水平距离近 . ∴y 1 ＞y 2 . ∵m＜x 1 ＜m+1 ， m+1＜x 2 ＜ m+2 ， m+2＜x 3 ＜m+3 ， ∴x 1 ＜x 2 ＜x 3 . ∵ 对于 m＜x 1 ＜m+1 ， m+1＜x 2 ＜m+2 ， m+2＜x 3 ＜m+3 ， 存在 y 1 ＜y 3 ＜y 2 ， ∴x 1 ＜2 ， x 3 ＞2 ， 且 A （ x 1 ， y 1 ） 离对称轴最远， B （ x 2 ， y 2 ） 离对称轴最近 . ∴2-x 1 ＞x 3 -2＞|x 2 -2|. ∴x 1 +x 3 ＜4 ， 且 x 2 +x 3 ＞4. ∵2m+2＜x 1 +x 3 ＜2m+4 ， 2m+3＜ x 2 +x 3 ＜2m+5 ， ∴2m+2＜4 ， 且 2m+5＞4. ∴- 1 2 ＜m＜1. 14. D 15. C 16. D 17. 解： （ 1 ） ∵ 对于 x 1 ＝1 ， x 2 ＝2 ， 有 y 1 ＝y 2 ， ∴a+b+c＝4a+2b+c. ∴3a+b＝0. ∴ b a ＝-3． ∵ 对称轴为 x＝- b 2a = 3 2 ， ∴t＝ 3 2 ． （ 2 ） ∵0＜x 1 ＜1 ， 1＜x 2 ＜2 ， ∴ 1 2 < x 1 +x 2 2 < 3 2 ， x 1 ＜x 2 . ∵y 1 ＜y 2 ， a＞0 ， ∴ （ x 1 ， y 1 ） 离对称轴更近 . 又 ∵x 1 ＜x 2 ， 则 （ x 1 ， y 1 ） 与 （ x 2 ， y 2 ） 的中点在对称轴的右侧， ∴ x 1 +x 2 2 ＞t. ∵ 1 2 < x 1 +x 2 2 < 3 2 ， ∴t≤ 1 2 ． 18. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y＝-x 2 +bx 的顶点横坐标为 b 2 ， y＝-x 2 +2x 的顶点横坐标为 1 ， ∴ b 2 -1=1. ∴b＝4. （ 2 ） ∵ 点 A （ x 1 ， y 1 ） 在抛物线 y＝-x 2 +2x 上， ∴y 1 ＝-x 1 2 +2x 1 . 由 （ 1 ） 可得抛物线 y＝-x 2 +bx=-x 2 +4x. ∵B （ x 1 +t ， y 1 +h ） 在抛物线 y＝-x 2 +4x 上， ∴y 1 +h=- （ x 1 +t ） 2 +4 （ x 1 +t ） . 将 y 1 ＝-x 1 2 +2x 1 代入方程， 得 h＝-y 1 -x 1 2 -2x 1 t-t 2 +4x 1 +4t=x 1 2 -2x 1 -x 1 2 -2x 1 t-t 2 +4x 1 +4t. ∴h＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t. ①∵h＝3t ， ∴3t＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t. ∴t （ t+2x 1 ） ＝t+2x 1 . ∵x 1 ≥0 ， t＞0 ， ∴t+2x 1 ＞0. ∴t＝1. ∴h＝3. ② 将 x 1 ＝t-1 代入 h＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t 中， ∴h＝-3t 2 +8t-2=-3 t- 4 3 3 $ 2 + 10 3 . ∵-3＜0 ， ∴ 当 t＝ 4 3 ， 即 x 1 ＝ 4 3 -1= 1 3 时， h 取最大值 10 3 ． 3 确定二次函数的表达式 （第 1 课时） 1. －7 2. y=－x 2 +x+2 3. D 4. B 5. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=ax 2 +2x+c 经过点 A （ 0 ， 3 ）， B （ -1 ， 0 ）， ∴ 将点 A 与 B 的坐标代入得 3＝c ， 0=a-2+c c . 解 得 a=-1 ， c=3 c ， 则抛物线表达式为 y=－x 2 +2x+3. （ 2 ） 配方得 y=－x 2 +2x+3=－ （ x－1 ） 2 +4 ， 则顶点 D （ 1 ， 4 ） . ∵ 对称轴 x=1 与 x 轴交于点 E ， ∴DE=4 ， OE=1. ∵B （ －1 ， 0 ）， ∴BO=1. ∴BE=2. 在 Rt△BED 中， 根据勾股定理得 BD 2 =BE 2 +DE 2 =2 2 + 4 2 =20 ， ∴BD=2 5 姨 . 6. 解： 把 A （ 4 ， 8 ） 代入 y=ax 2 中得 8=16a ， 解得 a= 1 2 . ∴y= 1 2 x 2 . 设点 C 的横坐标为 m （ m>0 ）， ∵ 四边形 CDFE 为正方形， 抛物线 y= 1 2 x 2 关于 y 轴对称， AB∥x 轴， ∴EF∥AB ， CD=CE=DF=2m. ∵ 点 A （ 4 ， 8 ）， 即点 A 的 纵坐标为 8 ， ∴ 点 E 的坐标为 （ m ， 8-2m ） . ∴ 1 2 m 2 =8-2m. 解得 m 1 =-2+2 5 姨 ， m 2 =-2-2 5 姨 （舍） . ∴CD=2m= -4+4 5 姨 ． 7. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=x 2 +bx+c 经过点 A （ －1 ， 0 ）， 点 B （ 2 ， －3 ）， ∴ 1-b+c=0 ， 4+2b+c=-3 c . 解得 b=-2 ， c=-3 c . ∴ 抛物线的表达 式为 y=x 2 -2x-3. （ 2 ） 存在 . 理由如下： ∵y=x 2 －2x－3= （ x－1 ） 2 －4 ， ∴D 点坐标为 （ 1 ， －4 ） . 令 x=0 ， 则 y=x 2 -2x-3=-3 ， ∴C 点坐标为 （ 0 ， -3 ） . 又 ∵B 点坐标为 （ 2 ， －3 ）， ∴BC∥x 轴， BC=2. ∴S △BCD = 1 2 ×2×1=1. 设抛物线上点 P 的坐标为 （ m ， m 2 - 2m-3 ）， ∴S △PBC = 1 2 ×2×|m 2 -2m-3- （ -3 ） |=|m 2 -2m|=4. 当 m 2 -2m=-4 时， 方程无解； 当 m 2 -2m=4 时， 解得 m=1± 5 姨 . 当 m=1+ 5 姨 时， m 2 -2m-3=1 ； 当 m=1- 5 姨 时， m 2 -2m-3=1. 综上， P 点坐标为 （ 1+ 5 姨 ， 1 ） 或 （ 1- 5 姨 ， 1 ） ． * 8. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y 1 =-x 2 +mx+n ， 直线 y 2 =kx+b ， y 1 的对称轴与 y 2 交于点 A （ -1 ， 5 ）， 点 A 与 y 1 的顶点 B 的距离是 4 ， ∴B （ -1 ， 1 ） 或 （ -1 ， 9 ） . ∴- m 2× （ -1 ） =-1 ， 4× （ -1 ） ×n-m 2 4× （ -1 ） =1 或 9 ， 解得 m=-2 ， n=0 或 8 ， ∴y 1 =-x 2 -2x 或 y 1 = -x 2 -2x+8. （ 2 ） ∵ 抛物线与 x 轴交点的纵坐标等于 0 ， 即是 y 1 =0. ① 当 y 1 =-x 2 -2x 时， 令 -x 2 -2x=0. ∴ 抛物线 与 x 轴的交点是 （ 0 ， 0 ） 和 （ -2 ， 0 ） . ∵y 1 的对称轴与 y 2 交于点 A （ -1 ， 5 ）， 且 y 2 随着 x 的增大而增大， ∴y 1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点 （ -2 ， 0 ） . 把 （ -1 ， 5 ）， （ -2 ， 0 ） 代入 y 2 =kx+b ， 得 -k+b=5 ， -2k+b=0 c . 解得 k=5 ， b=10 c . ∴y 2 =5x+10． ② 当 y 1 = -x 2 -2x+8 时， 由题意知 -x 2 -2x+8=0 ， 解得 x=-4 或 2 ， ∴ 抛物线与 x 轴的交点是 （ -4 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ） . ∵y 2 随 207 九年级下册 （北师大版）数学 着 x 的增大而增大， 且过点 A （ -1 ， 5 ）， ∴y 1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点 （ -4 ， 0 ） . 把 （ -1 ， 5 ）， （ -4 ， 0 ） 代入 y 2 = kx+b ， 得 -k+b=5 ， -4k+b=0 0 . 解得 k= 5 3 ， b= 20 3 3 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . ∴y 2 = 5 3 x+ 20 3 . 9. 4 10. 解： （ 1 ） 把 A （ 1 ， -2 ） 和 B （ 0 ， -5 ） 代入 y＝x 2 +bx+c ， 得 1+b+c=-2 ， c=-5 0 . 解得 b=2 ， c=-5 0 . ∴ 二次函数的表达式为 y＝x 2 +2x-5. ∵y＝x 2 +2x-5＝ （ x+1 ） 2 -6 ， ∴ 顶点坐标为 （ -1 ， -6 ） . （ 2 ） ∵y≤-2 ， 即满足该条件的抛物线上的点在过点 （ 0 ， -2 ） 且平行于 x 轴的直线 y=-2 的下方 （包括直线 y=-2 与抛物线的交点） . ∵ 点 A （ 1 ， -2 ） 关于对称轴直线 x＝-1 的对称点为 C （ -3 ， -2 ）， ∴ 当 y≤-2 时， x 的取值范 围是 -3≤x≤1． 3 确定二次函数的表达式 （第 2 课时） 1. y=－x 2 －2x+3 2. －2 3. y=x 2 -4x+5 4. B 5. D 6. C 7. 解： 根据题意得 8=a-b+c ， 0=9a+3b+c ， 3=16a+4b+c. 解得 a=1 ， b=-4 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的函数表达式为 y=x 2 －4x+3= （ x－2 ） 2 －1 ， ∴ 抛物线的顶 点坐标为 （ 2 ， －1 ） ． 8. 解： （ 1 ） 根据题意得 0=a+b+c ， 10=4a+2b+c ， -6=4a-2b+c 0 . 解得 a=2 ， b=4 ， c=-6 0 . ∴ 这个二次函数的表达式为 y=2x 2 +4x－6. （ 2 ） 配方得 y= 2x 2 +4x－6=2 （ x＋1 ） 2 －8 ， ∴ 顶点坐标是 （ －1 ， －8 ） . （ 3 ） 将顶点 （ －1 ， －8 ） 先向右平移 4 个单位长度， 再向上平移 6 个单位长度， 得顶点坐标为 （ 3 ， －2 ）， ∴ 平移后得到的抛物线的表达式为 y=2 （ x－3 ） 2 －2 ， 令 x=0 ， 得 y=16 ， ∴ 它 与 y 轴的交点坐标是 （ 0 ， 16 ） ． 9. 解： （ 1 ） 将 A （ －1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ） 代入 y=x 2 +bx+c ， 得 1-b+c=0 ， 9+3b+c=0 0 . 解得 b=-2 ， c=-3 0 . ∴ 该抛物线的表达式为 y=x 2 － 2x－3． （ 2 ） ∵ 抛物线的表达式为 y=x 2 －2x－3= （ x－1 ） 2 －4 ， ∴ 抛物线的顶点 F 的坐标为 （ 1 ， －4 ）， 抛物线的对称轴为 直线 x=1． 当 x=0 时， y=0 2 －2×0－3=－3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， －3 ） ． 设直线 BC 的表达式为 y=mx+n （ m≠0 ）， 将 B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， －3 ） 的坐标代入 y=mx+n 中， 得 3m+n=0 ， n=-3 0 . 解得 m=1 ， n=-3 0 . ∴ 直线 BC 的表达式为 y=x－3． 当 x=1 时， y=1－3=-2 ， ∴ 点 E 的坐标为 （ 1 ， －2 ）， ∴EF=|－2－ （ －4 ） |=2． （ 3 ） ∵ 点 A 的坐标为 （ －1 ， 0 ）， 点 B 的坐标为 （ 3 ， 0 ）， ∴AB=|3－ （ －1 ） |=4． 设点 P 的坐标为 （ t ， t 2 -2t-3 ） ． ∵S △PAB =6 ， ∴ 1 2 ×4× （ t 2 -2t-3 ） =6. 整理方程得， t 2 -2t-3= 3. 解得 t 1 =1- 7 姨 ， t 2 =1+ 7 姨 ， ∴ 存在满足 S △PAB =6 的点 P ， 点 P 的坐标为 （ 1- 7 姨 ， 3 ） 或 （ 1+ 7 姨 ， 3 ） . 10. 解： （ 1 ） 将 C （ 0 ， -3 ） 代入 y=x+m 中， 得 m=-3. （ 2 ） 当 y=0 ， 即 x-3=0 时， x=3 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 3 ， 0 ） . 将 （ 0 ， -3 ）， （ 3 ， 0 ） 代入 y=ax 2 +b 中， 得 b=-3 ， 9a+b=0 0 ， 解得 a= 1 3 ， b=-3 0 . ∴ 二次函数的表达式为 y= 1 3 x 2 -3. （ 3 ） 存在， 分以下两种情况： ① 当点 M 在 BC 的上方时， 设 MC 交 x 轴于点 D ， 则 ∠ODC=45°+15°=60° ， ∴OD=OC · tan 30°= 3 姨 . ∴D （ 3 姨 ， 0 ） . 设直线 DC 的函数表达式为 y=kx-3 ， 将点 D 的坐标 （ 3 姨 ， 0 ） 代入表 达式中， 得 k= 3 姨 . ∴ 直线 DC 的函数表达式为 y= 3 姨 x-3 ， 根据题意， 得 3 姨 x-3= 1 3 x 2 -3. 解得 x 1 =3 3 姨 ， x 2 =0 （舍去） . 当 x=3 3 姨 时， y=6. ∴ 点 M 1 （ 3 3 姨 ， 6 ） . ② 当点 M 在 BC 下方时， 设 MC 交 x 轴于点 E ， 则 ∠OEC=45°-15°=30° ， ∴OE=OC · tan 60°=3 3 姨 . ∴ 点 E （ 3 3 姨 ， 0 ） . 设直线 EC 的函数表 达式为 y=kx-3 ， 将点 E 的坐标 （ 3 3 姨 ， 0 ） 代入表达式中， 得 k= 3 姨 3 . ∴ 直线 EC 的函数表达式为 y= 3 姨 3 x -3. 根据题意， 得 3 姨 3 x-3= 1 3 x 2 -3. 解得 x 1 = 3 姨 ， x 2 =0 （舍去） . 当 x= 3 姨 时， y=－2 ， ∴ 点 M 2 （ 3 姨 ， -2 ） . 综 上所述， 点 M 的坐标为 （ 3 3 姨 ， 6 ） 或 （ 3 姨 ， -2 ） ． 11. 解： （ 1 ） 把 （ -1 ， 0 ） 和 （ 0 ， -3 ） 代入表达式中， 得 1 2 -b+c=0 ， c=-3 0 . 解得 b=- 5 2 ， c=-3 0 . ∴ 二次函数的表达式为 A B O C x y 第 10 题答图 M 1 M 2 E D 208