1 二次函数-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 某经销商销售水果凤梨， 根据以往销售经验， 每天的售价与销售量之间有如 下关系： 已知凤梨的进货价为 20 元 /kg ， 设售价从 40 元 /kg 下调了 x （元） 时， 每天销售凤梨所 获利润为 W （元）， 请写出该经销商每天销售凤梨的利润 W （元） 与下调的金额 x （元） 之 间的函数关系式 . W 是 x 的二次函数吗？ 如果是， 请指出各项的系数； 如果不是， 请说明 理由 . 【分析】 由表格所列出的每天售价与销售量之间的关系， 可知凤梨每降价 1 元， 每天的 销售量增加 5 kg ， 若降价 x 元， 则每天的销售量增加 5x kg ， 再根据利润 = （售价 - 成本） × 销售 每天的售价 / 元 … 40 39 38 37 … 每天的销售量 /kg … 60 65 70 75 … 二 次 函 数 y=x 2 ， y=-x 2 y=ax 2 ， y=ax 2 +c y=a（x-h） 2 ， y=a（x-h） 2 +k 二次函数的图象与性质 y=ax 2 +bx+c 用二次函数解决实际问题 营销的最大利润问题 图形的最大面积问题 确定二次函数的表达式 二次函数所描述的关系 二次函数的定义 实际问题 开口方向， 对称 轴， 顶点坐标 二次函数与一元二次方程的联系 利用二次函数图象求一元二次方程近似根 函数 y=ax 2 +bx+c与方程 ax 2 +bx+c=0的关系 知识网络 二次函数第二章 1 二次函数 待定系数法 1 九年级下册 （北师大版）数学 量， 即可求出 W （元） 与下调的金额 x （元） 之间的二次函数关系式 . 将二次函数化为一般 式后即可求出二次项系数、 一次项系数和常数项 . 【解答】 根据题意， 知 W= （ 40-x-20 ）（ 60+5x ）， 即 W=-5x 2 +40x+1 200. W 是 x 的二次函 数， 其中二次项系数为 -5 ， 一次项系数为 40 ， 常数项为 1 200. 【点拨】 此题主要考查根据实际问题表示简单变量之间的二次函数关系以及对二次函数 的概念的理解 . 列这类商品销售问题的函数关系式， 首先应该求出商品售价与销售量之间的 关系， 然后根据 “利润 = （售价 - 成本） × 销售量” 的基本数量关系， 即可求出所获利润与商品 售价之间的函数关系式 . 判断一个函数属于哪种特殊函数， 首先把函数表达式化为一般形式， 然后根据函数的特征判断它是什么函数 . 基础巩固 达标闯关 1. 某中学想在一片空地上修建一个长是宽的 2 倍的矩形花坛， 如果花坛的宽用 a 表示， 长 用 b 表示， 则 b 与 a 的关系式为 ， 它的面积 S 与 a 之间的关系式为 ， S 与 b 之间的关系式为 . 2. 已知 y= （ m 2 +2m ） x m 2 +3m+4 是二次函数， 则 m= . 3. 已知正方形的边长为 5 ， 在正方形中间挖去一个半径为 r 的圆形， 剩余部分的面积为 y ， 则 y 与 r 之间的函数关系式为 . 4. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌， 设计费为每平方米 1 000 元 . 设矩形 一边长为 x m ， 总设计费为 y 元， 则 y 与 x 的关系式为 . 5. 下列各式： ①y=- 1 2 x 2 +1 ； ②y= （ x-3 ） 2 +2x ； ③y=x+z 2 ； ④y=x 2 + 1 x 2 ； ⑤y=πx 2 +4πx ； ⑥y= 2x+3 2 . 其中 y 是 x 的二次函数的有 （ ） A. ①②④⑥ B. ①②③⑤ C. ①②⑤ D. ②③④⑤ 6. 半径为 a 的圆， 如果半径增加 x ， 那么圆的面积 S 与 x 之间的函数关系式是 （ ） A. S=2π （ a+x ） B. S=πa 2 +x 2 C. S=πa 2 +πx 2 D. S=π （ a+x ） 2 7. 正方形的面积 y （ cm 2 ） 与它的周长 x （ cm ） 之间的函数关系式为 （ ） A. y= 1 4 x 2 B. y= 1 16 x 2 C. y= 1 64 x 2 D. y=4x 2 8. 下列函数关系中， 是二次函数的是 （ ） A. 我国人口的年自然增长率为 1% ， 这样我国总人口数随年份变化的关系 B. 矩形的面积一定时， 矩形周长与矩形边长之间的关系 C. 圆的周长与半径之间的关系 D. 将两个完全重合的等腰直角三角形中的一个沿底边运动， 则运动过程中两个图形重 叠部分的面积与图形运动距离之间的关系 2 二次函数 第二章 9. 如图， 将 50 m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园， 写出长方形花园的 面积 y （ m 2 ） 与平行于墙的边的长 x （ m ） 之间的函数关系， y 是 x 的二次函数吗？ 能力提升 综合拓展 10. 底面为正方形的长方体盒子的高为 20 cm ， 如果这个长方体盒子的体积用 V （ cm 3 ） 表示， 底面边长用 x （ cm ） 表示， 写出 V 与 x 之间的关系式 . V 是 x 的二次函数吗？ 11. 某商场销售一批衬衫， 平均每天售出 20 件， 每件盈利 30 元 . 为了扩大销售， 增加利 润， 尽快减少库存， 商场决定采用适当降价的措施 . 经市场调查发现， 如果这种衬衫每降价 1 元， 商场平均每天可多售出 2 件 . 问题中哪些是变量？ 其中哪些是自变量？ 哪些是因变量？ 如果每件衬衫降价 x 元， 商场每天盈利为 y 元， 请你写出 y 与 x 之间的关系式 . y 是 x 的二次 函数吗？ 如果是， 请把函数整理为一般形式， 并指出二次项系数、 一次项系数和常数项 . x 第 9 题图 3 九年级下册 （北师大版）数学 * 12. 有三个连续的正整数， y 是这三个数两两之积的和 . 如果设中间一个数为 x ， 写出 y 与 x 的关系式； 如果设最小数为 x ， 那么 y 与 x 的关系式又是怎样的？ 注： “ * ” 题为思维拓展题， 略有难度 . 以下 “ * ” 题情况相同 . * 13. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=3 ， BC=4 ， 点 E 在直角边 AC 上 （点 E 与 A ， C 两点不重合）， 若点 F 在斜边 AB 上， 且 EF 平分 Rt△ABC 的周长 . 设 AE=x ， △AEF 的面 积为 S ， 试写出 S 与 x 之间的关系式 . 中考链接 真题演练 14. （ 2021 ·北京） 如图， 用绳子围成周长为 10 m 的矩形， 记矩形的一边长为 x m ， 它的 邻边长为 y m ， 矩形的面积为 S m 2 ． 当 x 在一定范围内变化时， y 和 S 都随 x 的变化而变化， 则 y 与 x ， S 与 x 满足的函数关系分别是 （ ） A． 一次函数关系、 二次函数关系 B． 反比例函数关系、 二次函数关系 C． 一次函数关系、 反比例函数关系 D． 反比例函数关系、 一次函数关系 x y 第 14 题图 第 13 题图 F C A E B 4 参考答案与提示 参考答案与提示 第二章 二次函数 1 二次函数 1. b=2a S=2a 2 S= 1 2 b 2 2. －1 3. y=25－πr 2 4. y=－1 000x 2 +6 000x 5. C 6. D 7. B 8. D 9. 解： ∵ 平行于墙的边的长为 x （ m ）， 则垂直于墙的边的长为 50-x 2 = （ 25-0.5x ） m. 根据题意， 得 y=x （ 25- 0.5x ） =-0.5x 2 +25x ， y 是 x 的二次函数 . 10. V=20x 2 ， V 是 x 的二次函数 . 11. 解： 每件衬衫降价金额、 每件衬衫的售价、 每天卖出的衬衫数量、 每天盈利额是变量， 其中每天每件衬 衫降价金额是自变量， 其他变量是因变量 . y= （ 30－x ）（ 20＋2x ）， 即 y=－2x 2 +40x+600. 因此 y 是 x 的二次函数， 二次 项系数为 －2 ， 一次项系数为 40 ， 常数项为 600. * 12. y=3x 2 －1 ， y=3x 2 +6x+2. * 13. 解： 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=3 ， BC=4 ， 则 AB=5 ， ∴△ABC 的周长为 12. 由于 EF 平分 Rt△ABC 的周长， AE=x ， 则 AF=6-x. 如图， 过点 F 作 FD⊥AC 于点 D ， 则 FD=AFsin A= 4 5 （ 6-x ）， ∴S= 1 2 AE · FD= 1 2 × 4 5 （ 6-x ） x= 2 5 x （ 6-x ） =- 2 5 x 2 + 12 5 x. 14. A 2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时） 1. k>-2 2. 4 3 （ 1 ， 1 ） 3. 如： （ －1 ， 2 ） 与 （ 1 ， 2 ）； （ －2 ， 8 ） 与 （ 2 ， 8 ）； （ －3 ， 18 ） 与 （ 3 ， 18 ） 4. ＜ 5. A 6. C 7. B 8. C 9. （ 1 ） —图象 ③ （ 2 ） —图象 ④ （ 3 ） —图象 ② （ 4 ） —图象 ① 10. 解： 由题意， 二次函数图象经过点 （ 0 ， 0 ）， ∴a 2 -2a-3=0． ∴ （ a-3 ）（ a+1 ） =0． ∴a 1 =3 ， a 2 =-1． 又 ∵ 函数图象开 口向下， ∴a-1＜0． ∴a= -1． 11. （ 1 ） - 4 9 ， 描点略 . （ 2 ） ±2 ， 描点略 . （ 3 ） 当 x＜－1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＞1 时， y 随 x 值 的增大而减小 . 12. 解： （ 1 ） 直线 x=1. （ 2 ） 当 x＞1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＜1 时， y 随 x 值的增大而减小 . （ 3 ） 将 y=x 2 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位长度即得 y= （ x-1 ） 2 的图象 . 画图略 . * 13. 解： （ 1 ） 由题意知 A ， B 是直线与抛物线的交点， 则当 x=3 时， y=9 ， 当 x=－1 时， y=1 ， ∴ 3k+b=9 ， -k+b=1 1 . 解 得 k=2 ， b=3 1 ， 所求一次函数表达式为 y=2x+3. 画图略 . （ 2 ） 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E ， 过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F ， 则 S △ABC =Ｓ 梯形 ABFE －S △AEC －S △BCF = 1 2 （ 9+1 ） ×4－ 1 2 ×1×1－ 1 2 ×3×9=6. 14. A 15. A 2 二次函数的图象与性质 （第 2 课时） 1. 向上 y 轴 2. （ 0 ， 5 ） y= 3 4 x 2 （答案不唯一） 3. （ 1 ） ③ （ 2 ） ① （ 3 ） ④ （ 4 ） ② 4. 6 5. D 6. B 7. D 8. 解： 三个函数图象的形状、 开口方向、 对称轴都相同， 位置不同， 都可以通过互相平移得到， 顶点坐标分 别是 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ）， （ 0 ， －1 ）， 画图略 . 9. 拱桥顶点 O 距水面 2 m ， 水面下降 1 m 后， 桥下水面宽 2 6 姨 m. 10. （ 1 ） 乙斜坡上的球滚动得远， 远了 100 cm. （ 2 ） 两个图象都在第一象限和第二象限， 画图略 . * 11. （ 1 ） 图象在第一、 二象限 （ y≥0 ）， 画图略 . （ 2 ） 能 . 当 x=1.2 时， y≈2.8 m ， 2.8 m>2.6 m ， 所以彩车能通过 . 12. < 13. 解： （ 1 ） ∵ 点 A ， B 在 y＝ 1 4 x 2 的图象上， 横坐标分别为 -2 ， 4 ， ∴ 当 x=-2 时， y= 1 4 × （ -2 ） 2 =1 ； 当 x=4 时， y= 1 4 ×4 2 =4. ∴A （ -2 ， 1 ）， B （ 4 ， 4 ） . 设直线 AB 的表达式为 y＝kx+b ， ∴ -2k+b=1 ， 4k+b=4 1 . 解得 k= 1 2 ， b=2 1 . ∴ 直线 AB 的函数表 第 13 题答图 F C A E B D 205