精品解析：河南省南阳市新野县2024-2025学年九年级上学期1月数学期末考试题

新野县2024年秋期期末质量评估 九年级数学（HS） 测试范围：九下二次函数 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】现将选项中的二次根式化为最简二次根式，之后看哪个选项中根号下是2，即为正确答案 【详解】解：A. 因为=2，所以与不是同类二次根式，A错误； B. 因为是最简二次根式，所以与不是同类二次根式，B错误； C. 因为，所以与不是同类二次根式，C错误； D. 因为，所以与是同类二次根式，D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查同类二次根式，先把根式化成最简二次根式是解题关键 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数求解可得． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意； B、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意； D、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放电影 B. 明天太阳东升西落 C. 射击一次，命中靶心 D. 天上掉馅饼 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义、理解相关定义成为解题的关键． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．打开电视，正在播放电影，这是随机事件，故A不符合题意； B．明天太阳东升西落，这是必然事件，故B不符合题意； C．射击一次，命中靶心是不可能事件，这是随机事件，故C不符合题意； D．上掉馅饼，是不可能事件，符合题意； 故选：D． 4. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先根据勾股定理求得，再利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，一元二次方程（）有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程（）有两个相等的实数根；当时，一元二次方程（）没有实数根． 先计算判别式得到，然后根据判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，得： ， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：． 6. 图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ） A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理依次验证四个选项即可． 【详解】解：当∠ACP=∠B时． ∵∠A是△APC和△ACB的公共角， ∴． 故A不符合题意． 当∠APC=∠ACB时． ∵∠A是△APC和△ACB的公共角， ∴． 故B不符合题意． 当时． ∴． ∵∠A是△APC和△ACB的公共角，且是成比例的对应边的夹角， ∴． 故C不符合题意． 当时． ∴． ∵∠A是△APC和△ACB的公共角，但并不是成比例的对应边的夹角， ∴无法证明△APC和△ACB相似． 故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ；；； ∴． 故选：C． 9. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得4a＋b＝0，故②正确； 由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时， x＜－2或x＞6，故③错误， 由图像可知，当x＝1时，，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【详解】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）． 【答案】白球 【解析】 【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案． 【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2， 根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2， ∴可以推断盒子里个数比较多的是白球， 故答案为：白球． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键． 13. 某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．根据题意第一次降低后的售价是原来的，那么第二次降低后的售价是原来的，列方程解答即可． 【详解】解：根据题意第一次降低后的售价是原来的 那么第二次降低后的售价是原来的 列方程得： 故答案为：． 14. 如图，在坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数，使它的图象与正方形ABCD有公共点，则c的取值范围是________. 【答案】-2≤c≤1 【解析】 【分析】根据正方形的性质易得AB与y轴的交点为（0，1），点D的坐标为（1，-1），然后把两点坐标代入数y=x2+c中求出c的值即可求得c的取值范围. 【详解】解：∵点O是边长为2的正方形ABCD的中心， ∴AB与y轴的交点为（0，1），点D的坐标为（1，-1）， 把(0，1)代入y=x2+c得c=1， 把(1，-1)代入y=x2+c得c=-2， ∴-2≤c≤1． 故答案为-2≤c≤1. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 15. 如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为____________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】由含的直角三角形的性质可求，，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，，， ∵点D为的中点， ， ， ， 如图，当时， ，， ， ， ， 如图，当时，取的中点H，连接， ∵点D是中点，点H是的中点， ，， ，， ， ， ， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊三角函数值以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，特殊角的三角函数值和一元二次方程的求根方法． （1）先分别进行二次根式的除法，乘法运算，再化简二次根式，最后进行加减运算； （2）将特殊角的三角函数值代入式子进行计算； （3）使用配方法求解一元二次方程． 【详解】解：（1） （2） （3）， ， ， ， 解得． 17. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球． （1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为_______； （2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）； （3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式得出结论即可； （2）利用列表或画树状图的方法，得出概率即可； （3）根据概率公式列方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题知，袋子中随机摸出1个球，恰好是红球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有6种情况， 随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：． 【小问3详解】 解：根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的根， 故． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】（1） （2）向上；； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用（1）得到的顶点式即可求解； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． 时函数最小值为2， 将代入得． 当时，的取值范围． 19. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是相似三角形的判定与性质应用． （1）由，可得出，再结合公共角相等，即可证出； （2）在中，点E为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，求该教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．如图：过点P作于点D，过点C作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长． 【详解】解：如图：过点P作于点D，过点C作于点E， 则，米，米，， 在中，，可得米， 在中，，可得米， ∴（米）， ∴（米）， ∴该教学楼的高度为20米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； （3）如果点在线段上，请直接写出经过的变化后的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：，即为所求， 点坐标为：； （2） 如图所示：，即为所求， 点坐标为：； （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如果点在线段上，经过的变化后的对应点的坐标： 【点睛】此题主要考查了轴对称变换、位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键． 22. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米）在此处键入公式。，与地面的高度为（米），与的对应数据如下表所示． 米 0 1 y米 2 （1）球经发球机发出后，最高点离地面________米；求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】（1）； （2）球与地面的高度为米； （3）①球拍的接球位置应前进米；②球的高度差不能超过1米． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用对称性质求得对称轴，得到最高点的坐标可求得最高点离地面米；再利用待定系数法即可求得与的函数解析式； （2）求得时，的值即可； （3）①求得当时，的值，即可求解； ②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵当和时，， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴最高点的坐标为， ∴最高点离地面米； ∵最高点的坐标为． ∴设与的函数解析式为． 将代入， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 即此时球与地面的高度为米； 【小问3详解】 解：①当，整理得， 解得，（舍）， ∴， 即球拍的接球位置应前进米； ②球的高度差为 ． ∵， ∴当时，球的高度差最大为米， ∴球的高度差不能超过1米． 23. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15秒时，求EF的长度； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160(平方单位)?若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 【答案】（1）20； （2）不存在，理由： ∵， ∴， ∴，整理，得． ∵， ∴方程没有实数根， ∴不存在使得的面积等于160（平方单位）的t值． （3）或 【解析】 【分析】（1）由于轴，则 ，当时，，易证，得到从而求出的长度，得出的面积； （2）假设存在这样的，使得的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论； （3）如果与相似，由于 则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：①点与点对应；②点与点对应． 【详解】解：（1）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 当时，， ∵A（40，0），B（0，30）， ，， ∴BE=15， ∴； （2）略 （3）当时，． ∴，即， 解得， 时，， ∴，即， 解得， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新野县2024年秋期期末质量评估 九年级数学（HS） 测试范围：九下二次函数 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放电影 B. 明天太阳东升西落 C. 射击一次，命中靶心 D. 天上掉馅饼 4. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ） A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB C. D. 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）． 13. 某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是_____________． 14. 如图，在坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数，使它的图象与正方形ABCD有公共点，则c的取值范围是________. 15. 如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为____________ 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 17. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球． （1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为_______； （2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）； （3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当时，直接写出函数的取值范围． 19. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 20. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，求该教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； （3）如果点在线段上，请直接写出经过的变化后的对应点的坐标． 22. 石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米）在此处键入公式。，与地面的高度为（米），与的对应数据如下表所示． 米 0 1 y米 2 （1）球经发球机发出后，最高点离地面________米；求与的函数解析式； （2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度； （3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 23. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15秒时，求EF的长度； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160(平方单位)?若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $