大题突破3：条件概率和全概率公式大题4考点综合训练-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破3：条件概率和全概率公式大题 4考点综合训练 考点1 条件概率 1．（2025高二·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【解析】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 2．（2025高二·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【解析】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 3．（2025高二·全国月考）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得； （2）根据条件概率公式可得. 【解析】（1）由题意共有30个学生，喜欢长跑的有18人， 设“所抽到的学生喜欢长跑”为事件，则. 故所抽到的学生喜欢长跑的概率为 （2）设“所抽到的学生为男生”为事件，则由题意，, 故， 即已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率为 4．（2025·新疆模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件第一次取出的是一次性手套，事件第二次取出的是一次性手套，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （2）记事件取完次后所有一次性手套刚好全部取出，计算出每种情况的概率，相加即可得出的值. 【解析】（1）记事件第一次取出的是一次性手套，事件第二次取出的是一次性手套， 则，， 由条件概率公式可得. （2）取完次后所有一次性手套刚好全部取出，则第四次取出的也是一次性手套， 前次中有两次使用了一次性手套，一次非一次性手套， 记事件取完次后所有一次性手套刚好全部取出， 根据题意可得. 5．（2024·四川成都模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则均服从二项分布，根据对立事件概率关系求解； （2）根据条件概率的计算公式求解. 【解析】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则，， ， 即此人至少得到一张红色卡片的概率为. （2）由题可得 ， 即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为. 6．（2025高二·山东德州月考）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）根据条件概率公式求解. 【解析】（1）比赛进行了三局，即前两局比赛中甲乙各赢一局，设事件“比赛进行三局”， ； （2）设事件“甲获胜”， ． 7．（2024·江西新余模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可. （2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. （3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. 【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意； 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意； 所以需要下第四场比赛的概率为 （2）由题意，最终小金获胜的情况如下， 当小金第一场轮空， 第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时， 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 则小金获胜， 当小金第一场不轮空， 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时， 所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为， 同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为， 故小金获胜概率为 （3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则， 结合（2）知， 法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为， 第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为， 8．（2025高三·广东月考）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为． (1)求； (2)求在的情况下，甲晋级的概率； (3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）分析题意，分别计算出时的概率及时甲晋级的概率，再借助条件概率公式计算即可得； （3）可能为、、、，分类讨论，列出符合要求的所有情况并计算其概率后求和即可得. 【解析】（1）由题意可得，即； （2）当时，甲乙两人各答两题，由于比赛结束， 故总有一人两题全对，另一人两题全错， 且第四题答题人必须答对才能结束， 故当时，后答题人晋级， （例：若甲先答题，若甲对，乙错，甲对，此时比赛结束，不符合要求） 设甲晋级为事件，的情况为事件， 则， ， 则； （3）甲在3轮比赛之内成功晋级，则两人可能的答题总次数为、、、， 设这四个事件分别为、、、， 若，则甲先答题，两人答题情况一定为：甲对，乙错，甲对； 则， 若，则乙先答题，两人答题情况一定为：乙错，甲对，乙错，甲对； 则， 若，则甲先答题，两人答题情况可能为： 甲错，乙错，甲对，乙错，甲对； 甲对，乙错，甲错，乙错，甲对； 甲对，乙对，甲对，乙错，甲对； 则， 若，则乙先答题，两人答题情况可能为： 乙错，甲对，乙错，甲错，乙错，甲对； 乙错，甲错，乙错，甲对，乙错，甲对； 乙错，甲对，乙对，甲对，乙错，甲对； 乙对，甲对，乙错，甲对，乙错，甲对； 则 ， 故甲在3轮比赛之内成功晋级的概率. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对题中“比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）”的认识，得到可以为奇数，且晋级之人最后一题一定答对. 考点2 全概率公式 9．（2025高二·全国月考）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 10．（2025高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【解析】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 11．（2025高三·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 12．（2025高三·湖南长沙月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，由求解即可； （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，由即可求解， 【解析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，则， 又，， 所以. （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，则 ， ， 所以 . 13．（2025高三·河南月考）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 【答案】(1)， . (2). 【分析】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计，则，根据二项分布即可求解； （2）记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B，则即可求解. 【解析】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. （2）由（1）知，则有，记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意， 所以. 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. 14．（2025高三·江苏南通月考）一批产品共16件，有2件不合格品，随机分装到两只箱中，每箱8件.收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格，则从另一箱中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收整批产品. (1)求2件不合格品包装在同一只箱中的概率; (2)求这批产品被拒收的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出16件产品随机分装到两只箱中和2件不合格品包装在同一只箱中的方法数，再根据古典概型求概率； （2）分2件不合格品包装在同一只箱中和2件不合格品包装在两只箱中两种情况，结合条件概率分别求出概率，再根据互斥事件的概率加法公式求解即可. 【解析】（1）记“2件不合格品包装在同一只箱中”， 因为16件产品随机分装到两只箱中有种， 其中2件不合格品包装在同一只箱中有种， 所以，即2件不合格品包装在同一只箱中的概率为； （2）由（1）知，，， 记“产品被拒收”，“第1次抽到不合格品”，“第2次抽到不合格品”， ①若2件不合格品包装在同一只箱中， 则，； 或，. 所以， 所以； ②若2件不合格品包装在两只箱中， 则，， 所以， 所以， 由①②得，， 即这批产品被拒收的概率为 考点3 贝叶斯公式 15．（2025高三·上海月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【分析】（1）首先设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，根据题中信息把相关事件的概率表示清楚，然后利用全概率公式求即可； （2）利用贝叶斯公式求解，，，再比较大小，即可判断航班飞往哪种情况的可能性最大. 【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 16．（2025高二·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 【答案】(1)0.7 (2)0.4 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由贝叶斯公式求解． 【解析】（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”， “月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， “用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， “用户对S型新能源汽车满意”， 则，，两两互斥，且，，， ，，， 由全概率公式得 ． （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率， 17．（25-26高三·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【答案】(1)0.0345 (2)买到乙厂产品的可能性最大 【分析】（1）直接由全概率公式即可求解； （2）直接由贝叶斯公式即可求解. 【解析】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 18．（2024高三·全国月考）在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率，下面只讨论一种比较简单的模型——二进位信道．若发报机分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（譬如分别用低电平与高电平表示），由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是分别以概率0.8和0.2收到0和1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机分别以概率0.9和0.1收到信号1和0．计算当接收机收到信号0时，发报机发出信号0的概率． 【答案】 【分析】用字母表示事件，结合条件概率、全概率公式以及贝叶斯公式即可列式求解. 【解析】信号发出与接收的关系如图所示，记为事件“发报机发出信号0”，为事件“发报机发出信号1”，为事件“接收机接到信号0”， 则我们要求的是． 由于，，，， 用贝叶斯公式，得 ． 19．（2025高二·云南昆明月考）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同． (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式求得所抽取的人感染此病的概率． （2）设事件A，B，C分别表示来自甲、乙、丙的事件，D表示感染此病的事件，根据条件概率求得此人感染此病且来自乙地区的概率． 【解析】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率； （2）若A，B，C分别表示来自甲、乙、丙的事件，D表示感染此病的事件， 所以此人感染此病且来自乙地区的概率． 20．（2025高二·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率公式计算可得. 【解析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 21．（2025高二·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【解析】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 （2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 （3）在（2）的条件下. 考点4 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 22．（2025·广西南宁模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率； （2）利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率. 【解析】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故 （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， ,, , , 故. 23．（2025·福建三明模拟预测）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值； （2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值. 【解析】（1）解：设事件“种子选手第局上场”， 事件“甲队最终获胜且种子选手上场”. 由全概率公式知， 因为每名队员上场顺序随机，故， ，，. 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. （2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”， ，，， ， 因为.     由（1）知，所以. 所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为. 24．（2025高二·江苏泰州·期末）设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为. (1)求的值； (2)在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 （1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得的值. （2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案. 【解析】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球， 事件：从甲袋中取出2个白球， 事件：从甲袋中取出1个红球和1个白球， 事件：从乙袋中取出2个红球， 事件：从乙袋中取出1个红球和1个白球. 因为， 所以，所以（负舍），故的值为2. （2）， ，. 所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为. 25．（2025高二·湖北武汉·期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7. (1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率； (2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率； (3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？ 【答案】(1)0.4 (2)0.25 (3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次 【分析】（1）由已知设出事件，根据已知得出各个事件的概率，然后根据全概率公式，即可得出答案； （2）结合（1）的答案，用贝叶斯公式计算条件概率，即可得出答案； （3）分别用贝叶斯公式计算出球队输了某场比赛的条件下，甲担任各个位置的概率，根据概率值的大小关系，即可得出答案. 【解析】（1）设表示“甲球员出任前锋”，表示“甲球员出任中锋”，表示“甲球员出任后卫”，则，设B表示“球队输掉某场比赛”， 则，，， ，， 所以 . 所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4. （2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率 . （3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下， 甲球员在这场出任前锋的概率； 甲球员在这场出任后卫的概率； 由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率. 所以有，， 所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破3：条件概率和全概率公式大题 4考点综合训练 考点1 条件概率 1．（2025高二·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 2．（2025高二·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 3．（2025高二·全国月考）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 4．（2025·新疆模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 5．（2024·四川成都模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 6．（2025高二·山东德州月考）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 7．（2024·江西新余模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 8．（2025高三·广东月考）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为． (1)求； (2)求在的情况下，甲晋级的概率； (3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率． 考点2 全概率公式 9．（2025高二·全国月考）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 10．（2025高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 11．（2025高三·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 12．（2025高三·湖南长沙月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 13．（2025高三·河南月考）中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 14．（2025高三·江苏南通月考）一批产品共16件，有2件不合格品，随机分装到两只箱中，每箱8件.收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格，则从另一箱中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收整批产品. (1)求2件不合格品包装在同一只箱中的概率; (2)求这批产品被拒收的概率. 考点3 贝叶斯公式 15．（2025高三·上海月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 16．（2025高二·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 17．（25-26高三·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 18．（2024高三·全国月考）在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率，下面只讨论一种比较简单的模型——二进位信道．若发报机分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（譬如分别用低电平与高电平表示），由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是分别以概率0.8和0.2收到0和1；同样地，当发报机发出信号1时，接收机分别以概率0.9和0.1收到信号1和0．计算当接收机收到信号0时，发报机发出信号0的概率． 19．（2025高二·云南昆明月考）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同． (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率． 20．（2025高二·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 21．（2025高二·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 考点4 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 22．（2025·广西南宁模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 23．（2025·福建三明模拟预测）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 24．（2025高二·江苏泰州·期末）设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为. (1)求的值； (2)在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率. 25．（2025高二·湖北武汉·期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7. (1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率； (2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率； (3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$