2024-2025学年下学期高二数学课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第3课时）均值、方差的综合应用（人教A版选必三）

课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第3课时）均值、方差的综合应用 1．若随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由题意得λ＋2λ＋3λ＋4λ＝1，解得λ＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝3，D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＝1.故选A. 2．利用如下盈利表中的数据计算每个方案的平均盈利额，则较优的方案是(　　) 单位：万元 盈利 概率 盈利方案 A1 A2 A3 A4 0.25 50 70 －20 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 －10 A.A1 B．A2 C．A3 D．A4 答案　C 解析　由题意可得A1的平均盈利为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7(万元)，A2的平均盈利为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5(万元)，A3的平均盈利为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7(万元)，A4的平均盈利为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6(万元)．∴A3的平均盈利最大，∴方案A3较优． 3．已知随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝，若Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　根据两点分布的特点得P(X＝0)＝，则E(X)＝1×＋0×＝，D(X)＝×＋×＝.根据方差的性质得D(Y)＝22×＝. 4．已知下表为离散型随机变量X的概率分布列，则概率P(X≥D(X))＝(　　) X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意得E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，故P(X≥1)＝1－＝.故选A. 5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则两人得分之和X(单位：分)的均值为(　　) A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 答案　A 解析　由题意知X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2.∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.故选A. 6．一离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 a b c 其中a，b为变数，c为正常数，且当a＝b≠0时方差D(X)有最大值，则c的值为________． 答案　0.1 解析　由题意得，a＋b＋c＝0.9，E(X)＝a＋2b＋3c＝0.9＋b＋2c，E(X2)＝a＋4b＋9c＝0.9＋3b＋8c，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝0.9＋3b＋8c－(0.9＋b＋2c)2＝－b2＋(1.2－4c)b＋0.09＋4.4c－4c2，∴当b＝0.6－2c时有最大值，此时1.2－4c＋c＝0.9，解得c＝0.1. 7．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在三张卡片上分别标上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上数字记作y，令ξ＝x·y.求： (1)ξ取值的分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解析　(1)随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一张标有0，其概率为P(ξ＝0)＝1－×＝；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝×＝；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一张标着1，另一张标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2××＝；“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标有2，其概率为P(ξ＝4)＝×＝. 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 4 P (2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1， D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. 8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 5 P 0.3 0.15 0.15 0.2 0.2 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分4期或5期付款，其利润为250元．设X表示经销一件该商品的利润． (1)记事件A＝“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P(A)； (2)求X的分布列，数学期望E(X)及方差D(X)． 解析　(1)由题意知，事件A＝“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的对立事件是事件＝“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，因为P()＝(1－0.3)3＝0.343， 所以P(A)＝1－P()＝1－0.343＝0.657. (2)X的所有可能取值为150，200，250， P(X＝150)＝P(ξ＝1)＝0.3， P(X＝200)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3， P(X＝250)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.4. 故X的分布列为： X 150 200 250 P 0.3 0.3 0.4 故E(X)＝150×0.3＋200×0.3＋250×0.4＝205， D(X)＝0.3×(150－205)2＋0.3×(200－205)2＋0.4×(250－205)2＝1 725. 9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，不计其他得分情况．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为： X 3 2 0 P a b c 由题意得a＋b＋c＝1，E(X)＝3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故ab的最大值为.故选D. 10．已知盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，现从盒中随机取球，每次取1个取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________． 答案　 解析　由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值有2，3，4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 11．某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理． (1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式； (2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表： 日需求量 48 49 50 51 52 53 54 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值； ②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由． 解析　(1)当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150， 当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100， ∴y＝n∈N*. (2)①由(1)可知，当n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100. ∴X的所有可能取值为90，95，100. P(X＝90)＝＝， P(X＝95)＝＝， P(X＝100)＝＝. ∴X的分布列为： X 90 95 100 P ∴E(X)＝×90＋×95＋×100＝98. ②由①知当购进50盒时，E(X)＝98. 当购进51盒时，y＝n∈N*， 设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102， ∴P(Y＝87)＝，P(Y＝92)＝， P(Y＝97)＝＝， P(Y＝102)＝＝， ∴E(Y)＝×87＋×92＋×97＋×102＝＝97.7. ∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合理． 12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表： X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值． 解析　(1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表： Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D＋D＝D(Y1)＋D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝(x－75)2＋3， 所以当x＝75时，f(x)取得最小值3. 13．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成，为了使顾客得到的奖励总额等于商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解析　(1)设顾客所获的奖励额为X. ①依题意，得P(X＝60)＝＝， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为. ②依题意，得X的所有可能取值为20，60. P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝， 即X的分布列为： X 20 60 P 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，由(1)知期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，P(X1＝20)＝＝，P(X1＝60)＝＝，P(X1＝100)＝＝，则X1的分布列为： X1 20 60 100 P X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60， X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝. 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，P(X2＝40)＝＝，P(X2＝60)＝＝，P(X2＝80)＝＝，则X2的分布列为： X2 40 60 80 P X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝. 由于两种方案所获的奖励额的期望都符合要求，但方案2所获奖励额的方差比方案1的小，即选择方案2更稳妥，所以应该选择方案2. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第3课时）均值、方差的综合应用 1．若随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 2．利用如下盈利表中的数据计算每个方案的平均盈利额，则较优的方案是(　　) 单位：万元 盈利 概率 盈利方案 A1 A2 A3 A4 0.25 50 70 －20 98 0.30 65 26 52 82 0.45 26 16 78 －10 A.A1 B．A2 C．A3 D．A4 3．已知随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝，若Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A. B. C. D．3 4．已知下表为离散型随机变量X的概率分布列，则概率P(X≥D(X))＝(　　) X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则两人得分之和X(单位：分)的均值为(　　) A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 6．一离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 a b c 其中a，b为变数，c为正常数，且当a＝b≠0时方差D(X)有最大值，则c的值为________． 7．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在三张卡片上分别标上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上数字记作y，令ξ＝x·y.求： (1)ξ取值的分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 5 P 0.3 0.15 0.15 0.2 0.2 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分4期或5期付款，其利润为250元．设X表示经销一件该商品的利润． (1)记事件A＝“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P(A)； (2)求X的分布列，数学期望E(X)及方差D(X)． 9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，不计其他得分情况．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 10．已知盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，现从盒中随机取球，每次取1个取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________． 11．某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理． (1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式； (2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表： 日需求量 48 49 50 51 52 53 54 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值； ②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由． 12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表： X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值． 13．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成，为了使顾客得到的奖励总额等于商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$