2024-2025学年下学期高二数学课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第2课时）方差（人教A版选必三）

课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第2课时）方差 1．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 m A.0.95　　　　　　　　 B. C．0.7 D. 2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则D(X)等于(　　) A. B. C．1 D．2 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况如表： X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，应选派的运动员是(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 4．已知X的分布列为： X －1 0 1 P 若η＝2X＋2，则D(η)的值为(　　) A. B. C. D. 5．某高二学生在参加物理、历史学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D(X)的最大值是(　　) X 0 1 2 P a b A. B. C. D. 6．【多选题】已知 随机变量X的所有可能取值为1，2，…，n(n∈N*)，并且取1，2，…，n是等可能的．若P(X≤3)＝，则下列结论正确的是(　　) A．n＝9 B．P(X＝1)＝0.1 C．E(X)＝5 D．D(X)＝ 7．随机变量X的所有取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________． 8．投掷一个骰子正面朝上的点数设为随机变量X，则＝________． 9．已知某海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 10．袋中有20个大小相同的球，其中标为0号的有10个，标为n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x.若0<x<，则随x增大(　　) A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大 C．E(ξ)减小，D(ξ)减小 D．E(ξ)增大，D(ξ)减小 12．已知随机变量ξ的分布列如下，则D(ξ)的取值范围是(　　) ξ 2 0 －2 P －a ＋b A. B．[0，3] C. D. 13．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝________． 14．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择，设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元)，其分布列分别为 X －2 8 P 0.7 0.3 　 Y －3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 15．两个排球队举行排球比赛，比赛结束后举办方为排球队员送上了甲、乙两个品牌的瓶装水，其中甲品牌的20瓶，乙品牌的12瓶，参与比赛的12名队员，每人随机取1瓶瓶装水，用X表示12名队员取到的甲品牌水的瓶数，则当P(X＝k)最大时，＝(　　) A．7 B．8 C．49 D．64 16．已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m(0<m<10)个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D(ξ)取到最大值时，m的值为________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·7.3离散型随机变量的数字特征（第2课时）方差 1．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 m A.0.95　　　　　　　　 B. C．0.7 D. 答案　D 解析　由题意，得E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴方差为(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56.∴X的标准差为.故选D. 2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则D(X)等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　∵P(X＝i)＝，i＝1，2，3，∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝.故选B. 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况如表： X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，应选派的运动员是(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 答案　A 解析　∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定， 故应选派甲运动员． 4．已知X的分布列为： X －1 0 1 P 若η＝2X＋2，则D(η)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝×＋×＋×＝， 所以D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝＝. 5．某高二学生在参加物理、历史学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D(X)的最大值是(　　) X 0 1 2 P a b A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得X2，X的分布列如下表所示： X 0 1 2 X2 0 1 4 P a b 由分布列的性质可得a＋b＝1－＝，所以a＝－b， 所以E(X)＝0＋b＋2×＝b＋，E(X2)＝0＋b＋4×＝b＋， 所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝b＋－＝－b2＋b＋， 设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为p1，p2，则有p1p2＝， b＝p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝p1＋p2－2p1p2＝p1＋p2－≥2－＝， 当且仅当p1＝p2＝时取等号，所以≤b≤， 因为函数f(b)＝－b2＋b＋在上单调递减， 所以D(X)＝－b2＋b＋≤－＋×＋＝.故选B. 6．【多选题】已知随机变量X的所有可能取值为1，2，…，n(n∈N*)，并且取1，2，…，n是等可能的．若P(X≤3)＝，则下列结论正确的是(　　) A．n＝9 B．P(X＝1)＝0.1 C．E(X)＝5 D．D(X)＝ 答案　ACD 解析　由题意知P(X＝k)＝，k＝1，…，n，则P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，解得n＝9，故A正确；因此P(X＝1)＝，故B错误；E(X)＝×＝5，故C正确；D(X)＝×[i－E(X)]2＝，故D正确．故选ACD. 7．随机变量X的所有取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________． 答案　1 解析　设P(X＝2)＝x，其中0≤x≤0.8，可得出P(X＝1)＝0.8－x，∴E(X)＝0×0.2＋1×(0.8－x)＋2x＝x＋0.8，D(X)＝(x＋0.8)2×0.2＋(x－0.2)2×(0.8－x)＋(x－1.2)2×x＝0.4，解得x＝0.2，因此，E(X)＝0.2＋0.8＝1. 8．投掷一个骰子正面朝上的点数设为随机变量X，则＝________． 答案　 解析　依题意X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝， D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋4×＋9×＋16×＋25×＋36×－＝. ∴＝. 9．已知某海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解析　由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2)． D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2， ∴D(X1)<D(X2)． 综上可知，A大钟的质量较好． 10．袋中有20个大小相同的球，其中标为0号的有10个，标为n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 解析　(1)ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2. 又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. 所以或 11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x.若0<x<，则随x增大(　　) A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大 C．E(ξ)减小，D(ξ)减小 D．E(ξ)增大，D(ξ)减小 答案　C 解析　∵随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，∴E(ξ)＝0×＋1×x＋2＝－x，D(ξ)＝×＋x＋＝－x2－x＋＝－＋.若0<x<，则随x增大，E(ξ)减小，D(ξ)减小．故选C. 12．已知随机变量ξ的分布列如下，则D(ξ)的取值范围是(　　) ξ 2 0 －2 P －a ＋b A. B．[0，3] C. D. 答案　D 解析　由分布列可知解得a＝b，－≤a≤. E(ξ)＝2×－2×＝－2b， D(ξ)＝(2＋2b)2×＋(0＋2b)2×＋(－2＋2b)2×＝(2＋2a)2×＋(0＋2a)2×＋(－2＋2a)2×＝－4a2＋4a＋2， 则D(ξ)在上单调递增， 当a＝－时，D(ξ)＝， 当a＝时，D(ξ)＝3，所以≤D(ξ)≤3.故选D. 13．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝________． 答案　 解析　由P(X＝0)＝，知×(1－p)2＝，得p＝， 由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0，1，2，3， P(X＝1)＝×＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝×＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 所以D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 14．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择，设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元)，其分布列分别为 X －2 8 P 0.7 0.3 　 Y －3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 解析　由期望和方差的计算公式， 得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1， E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5， D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21， D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25. 由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75%＝0.175(万元)． 从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都需要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险小于方案二．所以如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二． 15．两个排球队举行排球比赛，比赛结束后举办方为排球队员送上了甲、乙两个品牌的瓶装水，其中甲品牌的20瓶，乙品牌的12瓶，参与比赛的12名队员，每人随机取1瓶瓶装水，用X表示12名队员取到的甲品牌水的瓶数，则当P(X＝k)最大时，＝(　　) A．7 B．8 C．49 D．64 答案　D 解析　由题意得P(X＝k)＝(k＝0，1，…，12)，当0≤k≤11时，＝＝＝，因为k2－32k＋240－(k2＋2k＋1)＝239－34k，所以当0≤k≤7时，>1，当8≤k≤11时，<1，所以当k＝7时，P(X＝k＋1)＝P(X＝8)最大，＝82＝64.故选D. 16．已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m(0<m<10)个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白球，若从A，B两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D(ξ)取到最大值时，m的值为________． 答案　5 解析　ξ的所有可能取值为0，1，2， 则P(ξ＝0)＝·＝， P(ξ＝1)＝·＋·＝， P(ξ＝2)＝·＝， 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1， D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝≤×＝，当且仅当m＝5时，等号成立， 所以当D(ξ)取到最大值时，m的值为5. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$