大题突破2：二项式定理大题7考点综合训练-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破2：二项式定理大题7考点综合训练 考点1 二项式指定项系数 1．（2025高二·北京延庆·期中）求的展开式中， (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和. 【答案】(1)，它是展开式中的第3项. (2)60，15 (3) (4)64，729 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式先写出，然后令，得，代入即可得出结果； （2）根据（1）令，得，代入可得常数项； （3）二项式系数最大的项为含有的项，可得，代入即可得出结果； （4）所有的二项式系数之和为，令，则可得所有的项的系数之和. 【解析】（1）因为，所以展开式中第项为， 要使此项含，必须有，从而有，因此含的项为，它是展开式中的第3项. （2）由（1）知要得到常数项，必须有，从而有，因此常数项为，其对应的二项式系数为. （3）因为二项式系数最大的项为含有的项，所以，所以二项式系数最大的项. （4）所有的二项式系数之和为，令，则所有的项的系数之和为. 2．（2025高二·全国月考）在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【分析】（1）根据二项式展开式的通项，即可根据求解； （2）根据求解即可代入求解； （3）根据的取值为整数可得，，代入即可得解. 【解析】（1）的展开式的通项为． 令， 则． （2）由（1）中二项式展开式的通项，令，解得，所以常数项为 （3）由（1）中二项式展开式的通项，当时，是有理项， 分别为，，，，． 3．（2025高二·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式的通项公式，结合题意进行求解即可； （2）根据二项式的通项公式，结合有理项的性质进行求解即可. 【解析】（1）根据题意，第二项为，第三项为， 所以，解得. （2）展开式中，其中. 当时，展开式为有理项： ； ； ； ； ， 即展开式中所有的有理项为. 4．（25-26高三·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出二项式的展开式的通项公式，代入可得结论； （2）结合通项公式确定含项的项数，再求结论. 【解析】（1）的通项公式为， 第六项系数即时对应项的系数，其值为； （2），，含的项为． 5．（2025高二·湖北十堰月考）已知的展开式中，第6项为常数项. (1)求含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)，，. 【分析】将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果； 令通项中的指数为整数，求出结果即可. 【解析】（1）通项公式为.     因为第项为常数项，所以时，有，解得. 令，解得. 所以含项的系数为. （2）由题意可知，， 则可能的取值为，，. 所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，. 6．（2024高三·全国月考）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【答案】(1)； (2)常数项为60，为第5项. 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【解析】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 考点2 两个二项式乘积指定项系数 7．（2025高三·上海月考）求的展开式中项的系数． 【答案】1008 【分析】分析出现的所有情况，后分类讨论，结合二项式定理通项公式求解即可. 【解析】在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为； 所以的系数应为：． 8．（2025高二·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解， （3）利用分配律，结合通项特征即可求解. 【解析】（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为， 得，即． （2）由题意得第4项为， 所以第4项的系数为． （3）， 在的展开式中，含的项为， 常数项为， 所以的展开式的常数项为 9．（2025高二·天津南开·期末）已知展开式中的常数项为. (1)求实数的值； (2)若展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）写出通项，令，即可得解； （2）由的展开式中的各项系数的和为，令x=1，求得的值，再利用通项公式求展开式中的系数. 【解析】（1）根据题意，的通项, 令，得，则，解得； （2）由（1）得， 因为其展开式中各项系数的和为， 令，得，解得， 所以， 因为展开式的通项为， 则展开式中项为， 故该展开式中的系数为0. 10．（2025高二·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【解析】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 11．（2025高二·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 【答案】(1)6 (2)160 (3)6252 【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n； （2）利用通项公式求解； （3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可. 【解析】（1）根据题意，， 所以； （2）由（1）二项式展开式的通项公式为 ， 由得，所以展开式中的常数项为； （3）由（1）， 展开式中含项为： 所以展开式中含项的系数为6252. 考点3 三项式指定项系数 12．（2025高二·上海·假期作业）求的常数项. 【答案】70 【分析】对多项式变形，求出二项式展开式通项，令得，代入即可求解. 【解析】因为， 所以展开式通项为， 令得. 所以的常数项为第5项，. 13．（2025高二·全国·单元测试）已知. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)800； (2)； (3)0. 【分析】 （1）利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算作答. （2）利用赋值法计算作答. （3）变形计算表达式，再利用赋值法计算作答. 【解析】（1）在展开式中，含的项为， 所以. （2）令， 当时，，当时，， 所以. （3） . 因为，所以， 故 14．（2025高三·全国·对口高考）已知等式成立，求的值． 【答案】0 【分析】利用赋值法可求出结果. 【解析】令，得， 令，得， 所以. 15．（2025高三·全国月考）求的展开式中的常数项． 【答案】393 【分析】解法1：根据7个因式，结合计数原理求多项式展开式的常数项即可； 解法2：把三项式中两项变成一项，两次利用通项求解即可. 【解析】解法1：根据多项式展开式确定常数项，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果． 表示7个因式的乘积， 在这7个因式中，7个因式都选1，相乘可得常数项； 有1个因式选，有1个因式都选，其余的5个因式都选1，相乘可得常数项； 有2个因式选，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得常数项； 有3个因式选，有3个因式都选，其余的1个因式都选1，相乘可得常数项， 由多项式定理，得的展开式中的常数项为： ． 解法2：由二项式定理，得   ①， 其中第项为  ②， 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为， 则  ③， 由③，令r－2k=0，则r=2k，所以r为偶数， 再根据①、②知，所求常数项为. 考点4 (二项式)系数和 16．（2025高二·全国月考）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)129； (2)8256； (3)； (4)16384. 【分析】（1）应用赋值法求得、，即可求值； （2）应用赋值法得，结合（1）所得即得； （3）根据（1）（2）所得可求； （4）法一：根据奇偶数项系数的符号，及（2）（3）结果求值；法二：化为求中各项系数之和. 【解析】（1）令，则， 令，则①， ． （2）令，则②， 由，得. （3）由，得． （4）法一：展开式中均小于零，均大于零， . 法二：，即为展开式中各项的系数和， ． 17．（2025高二·全国月考）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 【答案】(1)512 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质直接计算即可. （2）令，即可求得各项系数之和. （3）令，得，结合（2）的结果相加即可求解. （4）结合展开式通项可知各项系数的符号，有，令，即可求得. 【解析】（1）设. 二项式系数之和为. （2）令，，得各项系数之和. （3）令，，得， 又， 两式相加得， 故所有奇数项系数之和为. （4）， ，，，，. ， 令，，得. 18．（2025高三·全国月考）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）应用赋值法，令即求值； （2）先令求得，结合（1）结果作差，即可求值； （3）问题化为求的系数和，再应用赋值法求值； （4）对已知等式两边求导，再应用赋值法求值. 【解析】（1）令，得①． （2）令，得②， 由①②，得， . （3）相当于求展开式的系数和，令，得． （4）， 两边分别求导，得， 令，得． 19．（2025高二·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合赋值法，即可求解； （2）结合（1）的结论，以及赋值法，即可求解． 【解析】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 20．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 【解析】（1）； （2）令得 令得 则； （3）的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 21．（2025高二·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0 (2) (3)729 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【解析】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 22．（2025高二·福建莆田·期末）（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案；            （3）分别令、可得答案. 【解析】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，；            （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 23．（2025高二·辽宁·期末）设，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)16384. 【分析】（1）先取，得，进而分别代入和后两式相加可得，从而求得答案； （2）由（1）可求得，根据展开式的通项可得运算得解. 【解析】（1）由条件，取，得到； 取，得到 取，得到 两式相加得到， 所以. （2）根据（1）知： 展开式的通项为：， 故当为偶数时，对应系数为正；当为奇数时，对应系数为负， 故 . 24．（2025高二·江苏扬州·期中）已知. (1)求 (2)求 (3) 【答案】(1)； (2)1093； (3)． 【分析】（1）根据赋值法取，然后可得； （2）使用赋值法分别取，，两式相加然后可得； （3）先求导，然后取可得． 【解析】（1）在中，取得，取得①，所以. （2）取得②，①+②得，所以. （3）令 则， 取，得. 25．（2025高三·吉林白城月考）若，其中. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，利用给定系数求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法分别求出即可得解. 【解析】（1）二项式展开式的通项为， 依题意，，解得， 所以的值为. （2）由（1）知，， 令，得， 令，得， 则 所以. 26．（2025高二·安徽马鞍山·期中）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中各项的系数之和； (2)求展开式中所有奇数项的系数之和. 【答案】(1)1 (2)365 【分析】（1）利用二项式系数和求得，然后利用赋值法求得各项系数和. （2）令，可得，结合（1）即可求得所有奇数项的系数之和. 【解析】（1）由题可知，，解得， 令，得该展开式中各项的系数之和为. （2）记. 由（1）知， 令，可得. 所以该展开式中所有奇数项的系数之和为． 27．（2025高二·山东聊城月考）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【解析】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 考点5 (二项式)系数的性质 28．（2025高二·全国月考）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【答案】系数最大的项为，；系数最小的项为. 【分析】由二项式定理写通项，根据题意建立方程求得指数，利用二项式系数的单调性，可得答案. 【解析】由，则其展开式的通项为， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 易知系数最小项为首项，即， 令，化简可得，解得， 则第项与项的系数相同且最大， 即，． 29．（2025高二·全国月考）（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用赋值法表示出系数和，由题意建立方程求得指数，根据二项式系数的单调性，可得答案； （2）由二项式系数的单调性，建立方程求得指数，写出通项建立不等式组，可得答案. 【解析】（1）令，可得各项系数和为，展开式各项的二项式系数之和为． 由已知得，即，解得或（舍去）， 的展开式中二项式系数最大的项为中间两项， 它们分别是，． （2）由题意可知，解得，故展开式的通项为． 设第项的系数最大，则，解得． 展开式中的系数最大的项为. 30．（2025高二·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【解析】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 31．（2025高二·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【解析】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 32．（2025高二·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 33．（2025高二·黑龙江齐齐哈尔月考）已知二项式，若它的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意由二项式系数和求得.从而得二项式系数最大的是与，由二项式展开式的通项公式可得答案； （2）设第项的系数最大，列出不等式组，解之可得系数最大的项,由此可得答案. 【解析】（1），通项为. 二项式系数最大的项为第4，5项， . （2）设展开式中系数最大的项为第项，则 ，，，解得， 因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为第6，7项， . 34．（2025高二·全国月考）已知的展开式中各项系数之和是二项式系数之和的64倍． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数取得最大值的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法得到各项系数之和，列方程求解即得的值，根据二项式通项易得二项式系数最大的项； （2）根据二项式通项，依题须使第项的系数不小于第项的系数，也不小于第项的系数，求解不等式组，取整得到，代入通项计算即得. 【解析】（1）令，得展开式中各项系数之和为，又二项式系数之和为， 依题意，，得， 则展开式的通项为， 故二项式系数最大的项为； （2）设展开式中第项的系数最大，则 由① ，可得，即，解得； 由② ，可得，即，解得. 故有，因，则， 即系数取得最大值的项为 35．（2025高二·四川遂宁月考）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先根据二项式系数和的公式求，再代入二项式系数最大公式，即可求解； （2）根据通项公式，求有理项. 【解析】（1）易知：的展开式的所有二项式系数和为 由题意有，解得.  展开式共6项，二项式系数最大的项为第3项和第4项， 即，； （2）二项式展开式的通项为， 当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为． 考点6 二项式定理的应用 36．（2025高三·河北沧州月考）设A是一个整数集，若是A的子集，且，，，，且，则称集合是集合A的一个划分.定义，，正整数k使集合划分成，，，且使，，中各集合的所有元素之和都相等，称为划分. (1)求划分； (2)证明：集合可以划分； (3)若，，集合A能划分的概率为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据划分的定义，列举出符合题意的子集，可得答案； （2）由（1）的结论，可得前九个元素符合划分，由题意中求和相等，直接均分余下的项，可得答案； （3）根据求和相同，结合二项式定理，建立方程，列举所有情况，可得答案. 【解析】（1）时，，不妨取，，. （2）由题知，此时，.由（1）知可以划分. 对集合，∵，， 集合中的元素按如下排列 每行有672个数，且它们每行的前偶数个数的和相等， ∴集合可以划分. （3）∵划分使，，中各集合的所有元素之和都相等， ∴A中所有元素之和必能被3整除. 设W表示A中所有元素之和. ∵ ， 设，∴， ∴3能整除，∴3能整除或3能整除，∴或. 当时，集合A中的元素的个数为，此时集合A不能被划分. 当时，集合A中的元素的个数为3n，能被3整除，但当时，A不能被划分. 对整数而言，，，各占，∴. 37．（2025高三·浙江月考）现有公差为的项等差数列，若从中随机取出项后，对于剩余项始终有，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为的“间子列”． (1)写出数列，，，的所有间子列； (2)证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列； (3)从数列中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为的间子列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据间子列的定义即可直接求解， （2）考虑数列其剩下的项不含项情况，由，在剩下的项添加项，根据，结合间子列定义即可求解， （3）根据“抽取到间子列的概率”和“抽取到取完间子列后剩下数列”的概率相同，可得，进而可得，根据，即可求证. 【解析】（1）数列，，，的所有间子列为 （2）证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列，考虑其剩下的项不含项的情况，则对于其剩下的项，必有， 若在剩下的项添加项，则必有，对于剩下的项，有，符合条件，则剩余的项在数列的情况下同样满足，故此时取出的数列既是的间子列，也是数列的间子列，得证. （3）考虑取出间子列后剩下的数列， 因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概率”和“抽取到取完间子列后剩下数列”的概率相同， 记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列”， 设为数列剩余列的数量，其中，记为不含有剩余列的数量，为含有剩余列的数量，则有， 另一方面，由（2）中的结论有：对于与不含的非双项剩余列，其数量与含的非双项剩余列数量相同， 并且对于的双项剩余列，其由前的每一项和的组合而成； 即， 由于，故， 故， 故，等价于； 故， 设， ， 故，则对任意的，均有； 所以有， 因为每个取出的新数列均按照从小到大的顺序排列，故取出的方法总数共有种， 则， 要证即证； 等价于， 当时，由上可知等价命题成立； 故时，必有即， ， 所以，得证. 【点睛】方法点睛：对于以数列为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好数列的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的数列的性质的一些因素. 38．（2025高三·山东青岛·期末）记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． (1)设，证明：是3不可分的； (2)已知：若是不可分的，则不是可约的．证明：不是可约的； (3)若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用是3不可分的定义推理得证. （2）利用不是可约的定义推理得证. （3）利用不是不可分的的定义，并分类讨论推理得证. 【解析】（1）依题意，， 则， 由于都是3的倍数，6不是的倍数，1不是3的倍数， 所以是3不可分的. （2）由（1）知，是3不可分的，则不是可约的， 若是可约的，则存在与使得， 则， 与不是可约的矛盾，因此不是可约的. （3）对于，若存在，以及质数，使得是不可分， 由 则有3不是的倍数；以及和是的倍数；但不是的倍数， 分两种情况讨论： ①若是的倍数，则由是的倍数，得，此与不是的倍数矛盾； ②若不是的倍数，则由是的倍数，得是的倍数；再由是的倍数， 仍然有，此与不是的倍数矛盾， 所以不是不可分的. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 39．（2025高三·四川成都月考）已知无穷数列满足. (1)求的通项公式； (2)树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目.某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果）， （i）设随机变量表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求； （ii）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定是否合理，若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个合理的k取值方案. 【答案】(1) (2)（i）5；（ii）合理，理由见解析. 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造等比数列求出其通项. （2）（i）利用二项式定理展开式确定能被2025整除特点，并求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望；（ii）利用对立事件的概率公式求出概率并比较大小即得. 【解析】（1）由，得，而，即， 则数列是首项为2024，公比为2024的等比数列，又， 所以的通项公式. （2）（i）由二项式定理，， 要能被2025整除，需，则为正奇数， 且是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，因此随机抽取一项能被2025整除的概率是， 且每次抽取相互独立，，所以. （ii）设中奖概率为， 则 ，所以规定合理. 考点7 杨辉三角 40．（2024·四川内江模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【解析】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 41．（2025高二·黑龙江牡丹江月考）在的展开式中（其中，，，叫做三项式系数），当，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”： (1)若在的展开式中，的系数为75，求实数a的值； (2)求的值（用组合数作答）． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意可计算出“广义杨辉三角” 第5行第8和第9个数即可得； （2）由题意可得可视为二项式展开式中的系数，借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【解析】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1； 第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1； 所以的展开式中，项的系数为，解得； （2）由题意可知，， 根据二项式定理可得， 所以，可视为二项式 展开式中的系数， 而二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助二项式定理，得到，从而可视为二项式展开式中的系数. 42．（2024高二·全国月考）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)存在，45，120，210． 【分析】（1）写出，利用组合公式进行证明； （2）在第n行存在连续三项，，，得到方程组，求出，，得到答案. 【解析】（1）观察得到． 利用组合相关公式证明如下：， 故原式得证. （2）存在，理由如下： 设在第n行存在连续三项，，，其中且，且， 有且，化简得且， 即，解得，， 故三个数依次是45，120，210. 43．（2025高二·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解析】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破2：二项式定理大题7考点综合训练 考点1 二项式指定项系数 1．（2025高二·北京延庆·期中）求的展开式中， (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和. 2．（2025高二·全国月考）在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 3．（2025高二·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 4．（25-26高三·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 5．（2025高二·湖北十堰月考）已知的展开式中，第6项为常数项. (1)求含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 6．（2024高三·全国月考）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 考点2 两个二项式乘积指定项系数 7．（2025高三·上海月考）求的展开式中项的系数． 8．（2025高二·广西钦州·期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． (1)求n； (2)求第4项的系数； (3)求的展开式的常数项． 9．（2025高二·天津南开·期末）已知展开式中的常数项为. (1)求实数的值； (2)若展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数. 10．（2025高二·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 11．（2025高二·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 考点3 三项式指定项系数 12．（2025高二·上海·假期作业）求的常数项. 13．（2025高二·全国·单元测试）已知. (1)求； (2)求； (3)求. 14．（2025高三·全国·对口高考）已知等式成立，求的值． 15．（2025高三·全国月考）求的展开式中的常数项． 考点4 (二项式)系数和 16．（2025高二·全国月考）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2025高二·全国月考）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 18．（2025高三·全国月考）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2025高二·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 20．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 21．（2025高二·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 22．（2025高二·福建莆田·期末）（1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 23．（2025高二·辽宁·期末）设，求： (1)； (2). 24．（2025高二·江苏扬州·期中）已知. (1)求 (2)求 (3) 25．（2025高三·吉林白城月考）若，其中. (1)求的值； (2)求. 26．（2025高二·安徽马鞍山·期中）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中各项的系数之和； (2)求展开式中所有奇数项的系数之和. 27．（2025高二·山东聊城月考）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 考点5 (二项式)系数的性质 28．（2025高二·全国月考）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 29．（2025高二·全国月考）（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 30．（2025高二·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 31．（2025高二·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 32．（2025高二·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 33．（2025高二·黑龙江齐齐哈尔月考）已知二项式，若它的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 34．（2025高二·全国月考）已知的展开式中各项系数之和是二项式系数之和的64倍． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数取得最大值的项． 35．（2025高二·四川遂宁月考）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 考点6 二项式定理的应用 36．（2025高三·河北沧州月考）设A是一个整数集，若是A的子集，且，，，，且，则称集合是集合A的一个划分.定义，，正整数k使集合划分成，，，且使，，中各集合的所有元素之和都相等，称为划分. (1)求划分； (2)证明：集合可以划分； (3)若，，集合A能划分的概率为，证明：. 37．（2025高三·浙江月考）现有公差为的项等差数列，若从中随机取出项后，对于剩余项始终有，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为的“间子列”． (1)写出数列，，，的所有间子列； (2)证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列； (3)从数列中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为的间子列的概率为，证明：． 38．（2025高三·山东青岛·期末）记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． (1)设，证明：是3不可分的； (2)已知：若是不可分的，则不是可约的．证明：不是可约的； (3)若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 39．（2025高三·四川成都月考）已知无穷数列满足. (1)求的通项公式； (2)树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目.某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果）， （i）设随机变量表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求； （ii）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定是否合理，若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个合理的k取值方案. 考点7 杨辉三角 40．（2024·四川内江模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 41．（2025高二·黑龙江牡丹江月考）在的展开式中（其中，，，叫做三项式系数），当，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”： (1)若在的展开式中，的系数为75，求实数a的值； (2)求的值（用组合数作答）． 42．（2024高二·全国月考）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 43．（2025高二·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$