精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试卷

荆州中学 2024~2025 学年高一下学期二月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 3. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 若关于方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则有（ ） A. B. C. D. 6. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 二、多选题 9. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 11. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于点对称 C. 在是上单调递增 D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 三、填空题 12. 已知，则______ 13. 计算：______． 14. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______. 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求值. 17. 已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数单调递减区间； （3）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 18. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州中学 2024~2025 学年高一下学期二月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的弧长和面积公式可直接求解. 【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S， 由题意得，解得， 故选：C. 2. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 3. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 分析】由三角函数定义及诱导公式可得答案. 【详解】由三角函数定义，有. 由诱导公式，. 故选：B. 4. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 5. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】， ， ， ，， 即有：. 故选：D 6. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，A不是； 对于B，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，B不是； 对于C，取得，取得，矛盾，即不存在函数满足，C不是； 对于D，为R上的增函数，对任意都有唯一的 满足，则存在函数满足，D是. 故选：D 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】因为的解集为， 可知，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 可得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，，可知函数在上单调递增， 则，所以的最小值为5. 故选：C 二、多选题 9. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故， 故A成立； 对于B，，故B成立； 对于C，，而， 故，故C不成立； 对于D，，故D成立， 故选：ABD. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断. 【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误； 由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确； 由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确； 由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确. 故选：BCD. 11. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于点对称 C. 在是上单调递增 D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项. 【详解】因为， 所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 因为关于轴对称，所以 又因，所以， 对A，所以，故A正确； 对B，， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对C，由， 当时，的单调递增区间为，， 所以在上单调递增，故C正确； 对D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增， 且，即在时取得最大值，所以， 即实数的取值范围为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式联立方程组求得，然后化切为弦代入运算即可. 【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得： ，， 联立方程组，可得， 所以． 故答案： 13. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据弦切互化，结合二倍角公式即可求解. 【详解】． 故答案为：4 14. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______. 【答案】##5.25 【解析】 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故答案为： 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则以及三角函数的相关公式来分别计算两个式子的值. 【小问1详解】 计算 根据指数幂运算法则，可得.  根据根式运算法则，可得.  再根据对数运算法则，可得. 根据对数运算法则，可得. 将以上结果代入原式可得：  【小问2详解】 因为， 所以. 将展开可得： . 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 17. 已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用两角差的正弦余弦公式，结合辅助公式化简解析式，再根据函数最大值为列方程可求的值； （2）根据正弦函数的单调性列不等式可求函数的单调递减区间； （3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，从而可得答案. 【小问1详解】 ， 所以，即； 【小问2详解】 ， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， 【小问3详解】 因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 【点睛】关键点点睛:解答本题（3）的关键是对泰勒公式的理解与应用，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 18. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式； （2）根据（1）表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案. 【小问1详解】 作出示意图，铁棒，， 在中，， 在中，， 所以 【小问2详解】 当时， 令，因为，， 所以，， 所以，且上单调递增， 所以当时，即时，L的最小值为， 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解（i），作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解（ii）. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，，所以. 所以当. （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，. 【点睛】方法点睛新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$