8.3 实数及其简单运算 课时2 实数的性质及运算 课件 -2024—2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 课时2 实数的性质及计算 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 实数的性质 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 5. 知识点2 实数的运算 10. 拓展与延伸 9. 对接中考 3. 新课导入 6. 知识点3 实数的应用 1.能求实数的相反数与绝对值. 2.能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 学习目标 知识回顾 有理数关于相反数和绝对值的意义是什么？ 只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数. 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，用 |a| 表示. 新课导入 把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义，大小比较以及运算法则和运算律等同样适合于实数，这节课我们就来学习这些内容. 新课讲解 知识点1 实数的性质 【思考】 (1) 的相反数是_____，π 的相反数是_____，0 的相反数是____； (2)| | =____，|π| =____，| 0 | =____. π 0 π 0 新课讲解 数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a|= 新课讲解 实数的常用性质： 名称 性质 相反数 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0 倒数 若 a 与 b 互为倒数，则 ab=1 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 平方根 非负数都有平方根 立方根 任意实数都有立方根 新课讲解 例 1. (1)分别写出 ，的相反数； (2)指出，分别是什么数的相反数； (3) 求的绝对值； (4) 已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：(1)因为−（−）= ， -（π - 3.14）= 3.14 - π， 所以，π - 3.14 的相反数分别为，3.14 - π. (2)因为 所以, ,分别是, 的相反数. (3)因为， (4)因为所以绝对值为 的数是或. 新课讲解 练一练 1. 求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，， ，，0. 解：2.5的相反数是－2.5，绝对值是2.5； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 0的相反数是0，绝对值是0. 新课讲解 练一练 2. 求下列各式中的实数x： (1) |x|＝； (2) |x|＝0； (3) |x|＝； (4) |x|＝π . 解：(1)x＝ ； (2)x＝0； (3)x＝ ； (4)x＝±π. 新课讲解 知识点2 实数的运算 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 新课讲解 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 1.加法交换律 a＋b＝b＋a 2.乘法交换律 a×b＝b×a 3.加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 4.乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c) 5.分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c 运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 新课讲解 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到： 一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式； 二“用”——运用运算律或公式； 三“查”——检查过程和结果是否正确． 计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，结果要化为最简形式． a+0 = 0+a =a； a+(-a) = (-a)+a =0； 1 · a = a · 1 =a； 实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b)； 对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b = b·a =1，我们把b叫做a的倒数； 实数的除法运算(除数)，规定为a÷b = a · ； 实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0，那么ab ≠ 0. 新课讲解 例 2. 计算下列各式的值： 解：  新课讲解 例 3. 计算(结果保留小数点后两位)： (1) - ； (2)π·. 解：(1) - ≈2.236-2.646=-0.41； (2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入. 新课讲解 练一练 1. 计算：(1) ； (2) ； (3) (精确到0.01) . 解：(1) = = = . (2) = = . (3) ≈2.236+1.710-5.021 =-1.075 ≈-1.08. 新课讲解 练一练 2. 计算：(1) (-)2 +()3++； (2) (+)-2(-)； (3) -(-) (4)+(结果保留小数点后两位). 解：(1) (-)2 +()3++ = 3+(-3)+2+(-2) = 0； (2) (+)-2(-) = +3-2+2 = (-2)+(3+2) = (-2)+(3+2) = +5； (3) -(-) = -+ = 4-； (4)方法一 +≈1.414+2.646 =4.06. 方法二(去尾法) +≈1.414+2.645=4.059≈4.06. 新课讲解 知识点3 实数的应用 例 4. 要生产一种容积为 36π L 的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式是V= πR3，其中 R 是球的半径） 解：由V= πR3 得，36π = πR3， ∴R3 = 27, ∴R = 3(dm). 答：这种球形容器的半径是 3 dm. 新课讲解 5. 规定运算：(a*b) =|a-b|，其中 a， b 为实数，则( *3) + = _____. 解： ( *3) + =| -3|+ =3- + =3. 3 方法点拨：1. 读懂新运算规则，注意其中的限制条件 . 2. 按照规则将新运算转化为常规运算后，按照运算顺序求出结果. 例 新课讲解 1. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间 t (单位：s) 与细线的长度 l (单位：m)之间满足关系式 t =2 . 当细线的长度为 0.5 m 时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少( π ≈ 3.14， ≈ 0.22 结果保留小数点后一位)？ 解：当 l = 0.5 时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间是 1.4 s t =2 = 2 ≈ 2×3.14× ≈ 2×3.14×0.22 =1.3816 ≈1.4（s） 练一练 新课讲解 2. 有一个数值转换器，其原理如图所示，当 输 入 的 x 为 256 时，输 出 的 y是______ . 练一练 课堂小结 实数 加、减、乘、除、乘方、开方 有理数关于相反数、绝对值的意义同样适用于实数 运算 应用 性质 有理数的运算法则、运算性质在实数范围内仍然适用 解决实际问题 当堂小练 1. －｜ － ｜的值为( ) A. B. － C. ± D. 2 B 2. 的相反数是 ，绝对值是 . 绝对值等于其相反数 当堂小练 3. 若 a2 = 25，|b|=3，则 a + b 的所有可能值为（ ） D A.8 B.8或2 C.8或-2 D.±8或±2 当堂小练 4. 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 . -2a-b b<0<a |b|>|a| a+b<0 -a-b-a -2a-b 当堂小练 5. 若 实 数 a， b 满 足a+b=6，我 们 就 说 a 与 b 是 关 于 6 的 “如意数”，则与 3- 是关于 6 的“如意数”是（　　） A.3+ B.3- C.9- D.9+ 6. 写 出 一 个 比 大 且 比 小的整数 : _______________. A 2(答案不唯一)　 当堂小练 7. 若实数 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 是 9 的平方根. 求 - + +. 当 m = 3 时，原式 = 0 + 1 + (3 - 1)2 = 1 + 4 = 5； 当 m = -3 时，原式 = 0 + 1 + (-3 - 1)2 = 1 + 16 = 17. 解析：由已知得 a + b = 0，cd = 1，m = ±3. 当堂小练 8. 已知实数a，b，c的位置如图所示，请回答下列问题： ①若a＝－，b＝－1，｜a－b｜＝c，求a2＋｜b｜－c0的值； ②化简｜a＋c｜＋－. 解：①∵ a＝－，b＝－1，｜a－b｜＝c， ∴ c＝｜－－(－1)｜＝－1， ∴ a2＋｜b｜－c0＝(－)2＋｜－1｜－(－1)0 ＝2＋1－1＝2. ②由数轴可知，a＜b＜0＜c， ∴ a＋c＜0，b－c＜0， ∴｜a＋c｜＋ － ＝－(a＋c)＋c－b－(－b) ＝－a. 当堂小练 9. 学校原有一个面积为 100 m2 的圆形花坛，现将花坛的半径增加 2 m，重建一个新花坛.求新建花坛的周长. 解：设原有花坛的半径为 r m，根据题意得 πr2=100， ∴ r2= .∵ r>0，∴ r =， ∴ 新建花坛的半径为() m， ∴ 新建花坛的周长为(2π4π) m. 对接中考 1. － 的相反数是( ) A. － B. － C. ± D. D 2. 3 － =________ . 0 解：原式 =3-3=0. 对接中考 3. 在 0， －2， － ， π四个数中，最大的数是（　　） A.－2 B.0 C.π D.－ C 解：∵ － 2 ＜ － ＜ 0 ＜ π ， ∴ 最大的数为 π . 拓展与延伸 1. 已知 ，，， . (1)请化简 a，b，c，d 这四个数； (2)根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和 m” 与“无理数的和 n”，并比较 m，n 的大小. 解：(1) ， ， ， . (2) ， ， ， ∴ n > m. 拓展与延伸 2. 大家知道 是无理数，且整数部分是 1，将 减去其整数部分，差就是其小数部分，即： 的小数部分用 -1 来表示 . 请解答： (1)如 果 的 小 数 部 分 为 a， 的 整 数 部 分 是 b，求ab- 的值； (2)已知：10+ =x+y，其中 x 是整数部分， y 是小数部分，且 0 ＜ y ＜ 1，求 x-y 的相反数 . 方法点拨：判断无理数的整数部分和小数部分的关键是正确利用“夹逼法”判断出其整数部分：与其最接近的两个整数中较小的那个整数 . 解：(1) ∵ 2 ＜ ＜ 3， ∴ 的小数部分 a= -2. ∵ 4 ＜ ＜ 5， ∴ 的整数部分 b=4. ∴ ab- =（ -2） × 4- =4 -8- =3 -8. (2) ∵ 1 ＜ ＜ 2， ∴ 11 ＜ 10+ ＜ 12. ∵ x 为 10+ 的整数部分， y 为 10+ 的小数部分，∴ x=11， y=10+ -11= -1， ∴ x-y=11-( -1)=11- +1=12- ，∴ x-y 的相反数是 -12. $$