黄金卷01（江苏扬州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣1是1的（　　） A．算术平方根 B．倒数 C．绝对值 D．平方根 2．下面图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（b2﹣b+1）•b＝b3﹣b2+1 D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1 4．小康同学连续15天进行了体温测量，结果统计如如表： 体温（℃） 36.3 36.4 36.6 36.7 36.9 天数（天） 3 4 5 2 1 这15天中，小康体温的众数为（　　） A．36.3℃ B．36.4℃ C．36.6℃ D．36.7℃ 5．若点M（x+1，﹣9）与点N（6，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于（　　） A．4 B．15 C．8 D．3 6．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象经过点（﹣2，a），（﹣1，b），（3，c），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 8．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．则a100的值为（　　） A．100 B．199 C．5050 D．10000 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约52000000000千克，这个数据用科学记数法表示为 　 　千克． 10．因式分解：a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝　 　． 11．一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有160次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 　 　个． 12．如果二次根式有意义，则a的取值范围是 　 　． 13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的轴截面面积为 　 　cm2． 14．如图，函数y1＝ax+b，y2＝kx的图象交于点P，若y1＝y2，则x＝　 　． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　 　． 16．一个同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.5米，同时测量旗杆AD的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长AB为5米，留在墙上的影高BC为2米，通过计算他得出旗杆AD的高度是 　 　米． 17．如图，已知，在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°，其底边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB沿OB折叠，点A落在点A′的位置，若反比例函数的图象经过A′B的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 　 　． 18．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝　 　． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解． 21．（8分）为了解某校学生的体育成绩，现从全校七、八年级中各抽取20名学生的体育成绩进行整理分析，并将体育成绩用x表示，共分为4个等级（A：0≤x≤3；B：4≤x≤6；C：7≤x≤9；D：x≥10），下面给出了部分信息： 七年级：5，6，0，7，3，2，8，10，11，9，4，6，8，9，10，6，5，12，9，9； 八年级20名学生的体育成绩中C等级包含的所有数据为：9，8，8，7，9，8，8，9． 0≤x≤3 4≤x≤6 7≤x≤9 x≥10 七年级 3 6 7 4 八年级 3 5 a 4 平均数 众数 中位数 七年级 6.95 b 7.5 八年级 6.95 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图：上述表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）通过以上数据分析，你认为 　 　（填“七年级”或者“八年级”）学生的体育成绩更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若体育成绩7分及以上为合格，该校七年级有1800名学生，估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是多少？ 22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小周将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 　 　； （2）若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 23．（10分）2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 24．（10分）已知有两张全等的矩形纸片． （1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形ABCD的面积． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC． （1）求B，C及顶点D的坐标； （2）求三角形BDC的面积． 26．（10分）请仅用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，过点C作△ABC边上的中线CD； （2）如图2，在△ABC内找一点G，连GA，GB，GC，使得S△GAB＝S△GBC＝S△GAC； （3）在（2）的条件下，在AG上取一点F，使tan∠ACF（本小题在图3上作答）． 27．（12分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G． （1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC＝∠MDE，求证：PG是⊙O的切线； （2）在点M运动的过程中，DE＝kDF（k为常数），求k的值； （3）如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣1是1的（　　） A．算术平方根 B．倒数 C．绝对值 D．平方根 【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【解答】解：A、﹣1不是1的算术平方根，即A项错误， B、﹣1不是1的倒数，即B项错误， C、﹣1不是1的绝对值，即C项错误， D、﹣1是1的平方根，即D项正确， 故选：D． 【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键． 2．下面图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图案，故此选项不合题意； B、是轴对称图案，故此选项符合题意； C、不是轴对称图案，故此选项不合题意； D、不是轴对称图案，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义． 3．下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（b2﹣b+1）•b＝b3﹣b2+1 D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1 【分析】根据同积的乘方、完全平方公式、单项式乘以多项式、单项式除法分别求出每个式子的值，再判断即可， 【解答】解：A、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原式错误，故本选项不符合题意； B、（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2，原式错误，故本选项不符合题意； C、（b2﹣b+1）•b＝b3﹣b2+b，原式错误，故本选项不符合题意； D、（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1，原式正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘以多项式、单项式除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 4．小康同学连续15天进行了体温测量，结果统计如如表： 体温（℃） 36.3 36.4 36.6 36.7 36.9 天数（天） 3 4 5 2 1 这15天中，小康体温的众数为（　　） A．36.3℃ B．36.4℃ C．36.6℃ D．36.7℃ 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：这15天中，小康体温的众数为36.6℃， 故选：C． 【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 5．若点M（x+1，﹣9）与点N（6，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于（　　） A．4 B．15 C．8 D．3 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此可得x，y的值，再代入x+y计算即可． 【解答】解：由题意得x+1＝﹣6，y﹣2＝9， 解得：x＝﹣7，y＝11， ∴x+y＝﹣7+11＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 6．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形即可得出答案． 【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了圆锥的侧面展开图，理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决问题的关键． 7．反比例函数的图象经过点（﹣2，a），（﹣1，b），（3，c），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 【分析】此题根据反比例函数k值与0的关系结合图象即可判断大小． 【解答】解：∵k＞0， ∴在反比例函数过一三象限，在各象限内y随x的增大而减小， ∵3＞0＞﹣1＞﹣2， ∴c＞a＞b； 故选：A． 【点评】此题考查反比例函数k值与函数图象关系，熟练掌握反比例函数的增减性是关键． 8．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．则a100的值为（　　） A．100 B．199 C．5050 D．10000 【分析】根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a100的值． 【解答】解：由题意可得， a1＝1， a2＝1+2＝3， a3＝1+2+3＝6， a4＝1+2+3+4＝10， a5＝1+2+3+4+5＝15， …， ∴an＝1+2+3+…+n， ∴当n＝100时，a100， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约52000000000千克，这个数据用科学记数法表示为 　5.2×1010　千克． 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可． 【解答】解：依题意，52000000000＝5.2×1010 故答案为：5.2×1010． 【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 10．因式分解：a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝　（a﹣b）2（a+b）　． 【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解：原式＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2﹣b2） ＝（a﹣b）（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）2（a+b）． 故答案为：（a﹣b）2（a+b）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意要把多项式分解到不能再分解为止． 11．一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有160次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 　10　个． 【分析】根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案． 【解答】解：∵共摸了400次球，发现有160次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率约为， ∵袋子中有红球和黑球共25个， ∴袋中的黑球大约有25×0.4＝10（个）， 故答案为：10． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟记概率公式是解题的关键． 12．如果二次根式有意义，则a的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：由题意得 3a+5≥0， 解得：； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握“二次根式有意义的条件：a≥0”是解题的关键． 13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的轴截面面积为 　　cm2． 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得截面的高，从而利用三角形的面积公式求得答案即可． 【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm， 则：4π（cm）， 解得l＝6． ∴圆锥的高为4（cm）， ∴截面的面积为4×48（cm2）， 故答案为：8． 【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 14．如图，函数y1＝ax+b，y2＝kx的图象交于点P，若y1＝y2，则x＝　﹣2　． 【分析】根据两个函数的交点的坐标进行解答． 【解答】解：由图象可得：P（﹣2，﹣1）， ∵y1和y2相交于点P， ∴当x＝﹣2时，y1＝y2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的知识，根据图形得出交点坐标是解答的关键，难度不大． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　36　． 【分析】设12上面的数字为a，12下面的数字为b，分别列方程求出a和b的值，然后得出s的值即可． 【解答】解：设12上面的数字为a，12下面的数字为b， 根据题意得，10+12＝21+a，10+b＝21+12， 解得a＝1，b＝23， ∴s＝1+12+23＝36， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 16．一个同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.5米，同时测量旗杆AD的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长AB为5米，留在墙上的影高BC为2米，通过计算他得出旗杆AD的高度是 　12　米． 【分析】过C作CE⊥AD于E，连接CD，首先证明四边形ABCE为矩形，可得BC＝AE＝2，设AD＝x，列比例式解答即可． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴∠AEC＝∠EAB＝∠CBA＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝2m， 设AD＝x m， 则DE＝（x﹣2）m， ∴， 解得x＝12， 即旗杆AD的高度是12米． 故答案为：12． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长＝定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，已知，在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°，其底边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB沿OB折叠，点A落在点A′的位置，若反比例函数的图象经过A′B的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 　8　． 【分析】过B作BD⊥OA于D，易证得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出OD＝AD＝2，解直角三角形求得AB、BD，从而得到A′D，进一步求得点C的坐标，代入即可求得k的值． 【解答】解：过B作BD⊥OA于D， 在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°， ∴OB＝AB， ∵点A的坐标为，BD⊥OA， ∴OD＝AD＝2， ∴AB4， ∴A′B＝AB＝4，BD2， ∴A′D＝6， ∵A′B的中点C， ∴A′C＝2， ∴CD＝4， ∴C（2，4）， ∵点C在反比例函数y的图象上， ∴k＝28， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判断和性质，坐标与图形变化﹣对称，求得点C的坐标是解题的关键． 18．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝　　． 【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BC＝8，由⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，得出OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，由tan∠OBC，求出BD＝3，CD＝BC﹣BD＝5，由勾股定理得出OC2，即可得出答案． 【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示： ∵△ABC是边长为8的等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BC＝8， ∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切， ∴OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°， ∵tan∠OBC， ∴BD3， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5， OC2， ∴sin∠OCB． 【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算； （2）先将分子与分母中的多项式进行因式分解，然后约分即可． 【解答】解：（1） ＝21﹣4 1﹣4 3； （2） • ． 【点评】本题考查了分式的乘除法，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 20．（8分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3， 解不等式x﹣1，得：x＜4， 则不等式组的解集为x≤3． 所有正整数解有：1、2、3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（8分）为了解某校学生的体育成绩，现从全校七、八年级中各抽取20名学生的体育成绩进行整理分析，并将体育成绩用x表示，共分为4个等级（A：0≤x≤3；B：4≤x≤6；C：7≤x≤9；D：x≥10），下面给出了部分信息： 七年级：5，6，0，7，3，2，8，10，11，9，4，6，8，9，10，6，5，12，9，9； 八年级20名学生的体育成绩中C等级包含的所有数据为：9，8，8，7，9，8，8，9． 0≤x≤3 4≤x≤6 7≤x≤9 x≥10 七年级 3 6 7 4 八年级 3 5 a 4 平均数 众数 中位数 七年级 6.95 b 7.5 八年级 6.95 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图：上述表中的a＝　8　，b＝　9　，c＝　8　； （2）通过以上数据分析，你认为 　八年级　（填“七年级”或者“八年级”）学生的体育成绩更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若体育成绩7分及以上为合格，该校七年级有1800名学生，估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是多少？ 【分析】（1）将八年级C等级的人数画出即可补全条形统计图；根据八年级C等级的人数可确定a的值；根据众数和中位数的意义可确定b，c的值； （2）比较七、八年级成绩的平均数、众数、中位数即可得出那个年级学生的体育成绩更好； （3）将样本中七年级成绩合格的比例乘以1800即可估计该校七年级体育成绩合格的学生人数． 【解答】解：（1）八年级C等级有8名，补全条形统计图如下： ∵八年级20名学生的体育成绩中C等级7≤x≤9包含的数据有8个， ∴a＝8， ∵七年级20名学生成绩中9出现4次，最多， ∴b＝9， ∵八年级第9～16个数据由小到大排列为：7，8，8，8，8，9，9，9， ∴c， 故答案为：8，9，8； （2）答案不唯一，比如： 八年级，理由如下： ∵因为七、八年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级的中位数， ∴八年级学生的体育成绩更好， 故答案为八年级； （3）（名）， 答：估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是990名． 【点评】本题考查频数分布表，条形统计图，平均数，众数，中位数，用样本估计总体，理解相关概念的意义是解题的关键． 22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小周将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 　　； （2）若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两种样本溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有：C，D，共2种， ∴样本溶液变红色的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（10分）2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 【分析】设小明乐跑活动后每分钟跑x米，则小明乐跑活动前每分钟跑（x﹣60）米，利用时间＝路程÷速度，结合小明乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设小明乐跑活动后每分钟跑x米，则小明乐跑活动前每分钟跑（x﹣60）米， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：小明乐跑活动后每分钟跑300米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（10分）已知有两张全等的矩形纸片． （1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形ABCD的面积． 【分析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP＝AQ得平行四边形ABCD是菱形； （2）设BC＝x，则CG＝6﹣x，CD＝BC＝x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面积． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形． 理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形全等， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）设BC＝x，则CG＝6﹣x，CD＝BC＝x， 在Rt△CDG中，CG2+DG2＝CD2， ∴（6﹣x）2+32＝x2， 解得x， ∴S＝BC•DG． 【点评】本题是一道综合性质的题目，考查了菱形的判定和性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，是中考的常见题型． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC． （1）求B，C及顶点D的坐标； （2）求三角形BDC的面积． 【分析】（1）根据抛物线解析式分别求出点B，C，D坐标； （2）直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，先用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出H点坐标，求出DH，再用S△BCDDH•|xB﹣xC|求出面积即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x﹣5当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝5 ∴B点坐标为（5，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴C点坐标（0，﹣5）， ∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴D点坐标（2，﹣9）； （2）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝2， 设直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴H（2，﹣3）， ∴DH＝﹣3﹣（﹣9）＝6， ∴S△BCDDH•|xB﹣xC|6×5＝15． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是利用二次函数的性质解题． 26．（10分）请仅用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，过点C作△ABC边上的中线CD； （2）如图2，在△ABC内找一点G，连GA，GB，GC，使得S△GAB＝S△GBC＝S△GAC； （3）在（2）的条件下，在AG上取一点F，使tan∠ACF（本小题在图3上作答）． 【分析】（1）根据三角形的中线的定义作出图形即可； （2）中线CD，AF的交点G，即为所求； （3）取格点Q，M，N，连接AQ，MN交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段CD即为所求； （2）如图2中，点G即为所求； （3）如图3中，点F即为所求； 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的中线，重心等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 27．（12分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据动点问题表示相应的线段，再根据线段垂直平分线的性质建立方程，即可求解； （2）连接CO化不规则四边形PCEO为规则图形，根据相似三角形求两个三角形的高，然后求两个三角形的面积和便可求得函数关系； （3）根据平行得出角相等，进而得出其三角函数值相等，再求相关线段建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 【点评】本题综合考查了勾股定理、平移、线段的垂直平分线性质定理、相似、轴对称、平行线性质、解直角三角形、函数等知识，化动为静是解决问题的关键． 28．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G． （1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC＝∠MDE，求证：PG是⊙O的切线； （2）在点M运动的过程中，DE＝kDF（k为常数），求k的值； （3）如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值． 【分析】（1）连接OG，利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点F作 FH⊥CD，垂足为H，利用三角形的中位线定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，利用全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，利用等腰三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OG，如图， 则OD＝OG， ∴∠MDE＝∠OGE， 当点M与圆心O重合时，CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， 即∠CGO+∠OGE＝90°， ∵∠PGC＝∠MDE， ∴∠PGC＝∠OGE， ∴∠CGO+∠PGC＝90°， 即OG⊥PG， ∵OG是⊙O的半径， ∴PG是⊙O的切线； （2）解：过点F作 FH⊥CD，垂足为H，如图， 则 FH∥AB， ∵点F为BC的中点， ∴FH是△BCM的中位线， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴，， ∵∠DME＝∠DHF＝90°，∠MDE＝∠HDF， ∴△DME∽△DHF， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， 在Rt△OFC和Rt△OMC中， ， ∴Rt△OFC≌Rt△OMC（HL）， ∴CF＝CM． 在Rt△CMB中，点F为BC的中点， ∴MF＝CF＝BF， ∴MF＝CF＝CM， ∴△CMF 是等边三角形， ∴∠DCB＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∴； ②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， ∴∠OFB＝90°， ∴∠OFM+∠MFB＝90°，∠FOM+∠MBF＝90°， ∴∠MFB＝∠MBF， ∴MF＝MB， 在Rt△CMB 中，点F为BC的中点， ∴MF＝BF＝CF， ∴MF＝MB＝BF， ∴△MBF 是等边三角形， ∴∠MBF＝60°， ∴∠MCF＝30°， ∴∠BGD＝∠BCD＝30° ∴． 综上所述，∠BGD的正切值为或． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形的和等腰三角形是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C A D A C 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．5.2×1010 10．（a﹣b）2（a+b） 11．10 12． 13．8 14．﹣2 15．36 16．12 17．8 18． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 解：（1） ＝21﹣4 1﹣4 3； （2） • ． 20．（8分） 解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3， 解不等式x﹣1，得：x＜4， 则不等式组的解集为x≤3． 所有正整数解有：1、2、3． 21．（8分） 解：（1）八年级C等级有8名，补全条形统计图如下： ∵八年级20名学生的体育成绩中C等级7≤x≤9包含的数据有8个， ∴a＝8， ∵七年级20名学生成绩中9出现4次，最多， ∴b＝9， ∵八年级第9～16个数据由小到大排列为：7，8，8，8，8，9，9，9， ∴c， 故答案为：8，9，8； （2）答案不唯一，比如： 八年级，理由如下： ∵因为七、八年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级的中位数， ∴八年级学生的体育成绩更好， 故答案为八年级； （3）（名）， 答：估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是990名． 22．（8分） 解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有：C，D，共2种， ∴样本溶液变红色的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 23．（10分） 解：设小明乐跑活动后每分钟跑x米，则小明乐跑活动前每分钟跑（x﹣60）米， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：小明乐跑活动后每分钟跑300米． 24．（10分） 解：（1）四边形ABCD是菱形． 理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形全等， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）设BC＝x，则CG＝6﹣x，CD＝BC＝x， 在Rt△CDG中，CG2+DG2＝CD2， ∴（6﹣x）2+32＝x2， 解得x， ∴S＝BC•DG． 25．（10分） 解：（1）y＝x2﹣4x﹣5当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝5 ∴B点坐标为（5，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴C点坐标（0，﹣5）， ∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴D点坐标（2，﹣9）； （2）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝2， 设直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴H（2，﹣3）， ∴DH＝﹣3﹣（﹣9）＝6， ∴S△BCDDH•|xB﹣xC|6×5＝15． 26．（10分） 解：（1）如图1中，线段CD即为所求； （2）如图2中，点G即为所求； （3）如图3中，点F即为所求； 27．（12分） 解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 28．（12分） （1）证明：连接OG，如图， 则OD＝OG， ∴∠MDE＝∠OGE， 当点M与圆心O重合时，CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， 即∠CGO+∠OGE＝90°， ∵∠PGC＝∠MDE， ∴∠PGC＝∠OGE， ∴∠CGO+∠PGC＝90°， 即OG⊥PG， ∵OG是⊙O的半径， ∴PG是⊙O的切线； （2）解：过点F作 FH⊥CD，垂足为H，如图， 则 FH∥AB， ∵点F为BC的中点， ∴FH是△BCM的中位线， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴，， ∵∠DME＝∠DHF＝90°，∠MDE＝∠HDF， ∴△DME∽△DHF， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， 在Rt△OFC和Rt△OMC中， ， ∴Rt△OFC≌Rt△OMC（HL）， ∴CF＝CM． 在Rt△CMB中，点F为BC的中点， ∴MF＝CF＝BF， ∴MF＝CF＝CM， ∴△CMF 是等边三角形， ∴∠DCB＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∴； ②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， ∴∠OFB＝90°， ∴∠OFM+∠MFB＝90°，∠FOM+∠MBF＝90°， ∴∠MFB＝∠MBF， ∴MF＝MB， 在Rt△CMB 中，点F为BC的中点， ∴MF＝BF＝CF， ∴MF＝MB＝BF， ∴△MBF 是等边三角形， ∴∠MBF＝60°， ∴∠MCF＝30°， ∴∠BGD＝∠BCD＝30° ∴． 综上所述，∠BGD的正切值为或． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$