大题突破1：排列、组合大题7考点综合训练-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破1：排列、组合大题7考点综合训练 考点1 元素（位置）有限制的排列问题 1．（2025高二·全国月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】(1)个 (2)个 (3)个 【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解. 【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． （2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 2．（2025高二·江西吉安·期末）现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 【答案】(1)96； (2)60. 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； 【解析】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数； 3．（2025高二·甘肃白银月考）（1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】（1）48；（2）6 【分析】（1）应用分步计数原理及排列数计算即可； （2）应用分步计数原理计算即可. 【解析】（1）先涂区域，有种涂色方法，再涂区域，有2种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，共有种涂色方法． （2）先给顶点涂色，有3种涂色方法，再给顶点涂色，有2种涂色方法，最后给顶点涂色，有1种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，有种涂色方法． 4．（2025高二·上海松江月考）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 【答案】(1)720种； (2)20种 【分析】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，再与其他元素进行全排列即可； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列，剩余的3名按高低进行排列即可； 【解析】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，与另外4名学生构成5个元素进行自由排列，共有种排法； 捆绑的3个学生内部可自由排列，有种方法； 共有种； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列在左边， 剩余的3名按高低进行排列在右边，共有种. 5．（2025高二·全国月考）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】(1)5400 (2)13440 (3)4620 【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解； （2）从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表，再从剩下的8个人中选其余4科课代表，结合排列组合即可求解； （3）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解. 【解析】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． （2）因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表， 再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种； （3）因为女生乙人选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的选法有：种； ②男生甲不入选的选法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 6．（2025高二·全国月考）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 【答案】(1)625 (2)24 【分析】（1）每个窗格都有5种，由分步乘法计数原理计算可得； （2）特殊的先放，即甲乙有4种，再依次放剩下的即可，最后由分步乘法计算原理计算即可； 【解析】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法， 同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种放法． （2）先放甲、乙，有4种放法； 再放丙，有3种放法； 然后放丁，有2种放法； 最后放戊，剩1种放法． 由分步乘法计数原理可得，共计种放法． 考点2 相邻问题的排列问题 7．（2025高二·河南驻马店月考）现有体积均相同但质量均不同的红球个、白球个、黑球个，将这个小球放入恰好能容纳个小球的圆柱形卡槽内． (1)若同种颜色的球必须相邻，试问共有多少种不同的放法？ (2)若个白球互不相邻，且质量最大的白球不能放在卡槽的两端，试问共有多少种不同的放法？ (3)若个红球之间有且仅有白球和黑球各个，试问共有多少种不同的放法？ 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）利用捆绑法可得解； （2）利用插空法结合特殊元素法可得解； （3）根据特殊元素特殊位置法，结合捆绑法可得解. 【解析】（1）个红球全排列有种方法，个白球全排列有种方法，个黑球全排列有种方法， 同种颜色的球捆绑在一起进行全排列有种方法， 所以共有种不同的放法； （2）先排红球和黑球，共有种方法， 且质量最大的白球不在卡槽的两端，则有种方法， 最后排剩余的个白球有种方法， 所以共有种不同的放法； （3）两个红球的放法有种， 接着任选个白球、个黑球放入两个红球中间，有种方法， 再将这个小球捆绑在一起与剩余的个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法. 8．（2025高二·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【解析】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 9．（2025高二·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 【答案】(1)78 (2)24 【分析】（1）利用间接法，结合排列组合知识求解； （2）甲、乙两人名次为2，3或3，4，，再用分步乘法计数原理求解. 【解析】（1）由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． （2）由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． 考点3 不相邻排列问题 10．（2025高二·天津红桥·期中）用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ (1)奇数都排在一起； (2)偶数不相邻； (3)三个偶数从左到右按从小到大的顾序排列． 【答案】(1)576 (2)1440 (3)840 【分析】（1）利用捆绑法，先将奇数看成一个整体，再与其他元素一起排列； （2）利用插空法，先排奇数，再让偶数插空，； （3）按照偶数顺序一定问题，先让偶数占位，再排奇数. 【解析】（1）①先将4个奇数排好，有种排法， ②将四个数字看成一个整体，与其他3个数字全排列，有种排法， 则有个； （2）①先将4个奇数排好，有种排法， ②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有种排法， 则有； （3）①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列， 有种排法， ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有种排法， 则有个． 11．（2025高二·浙江嘉兴·期中）从等人中选出人排成一排. (1)三人不全在内，有多少种排法？ (2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 【答案】(1)1800 (2)144 (3)1560 【分析】（1）根据全排列，去掉在内的情况即可由排列和组合求解， （2）根据相邻和不相邻问题，利用捆绑法和插空法即可求解， （3）分四类情况即可求解. 【解析】（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，三人全在内有种不同排法， 由间接法可得三人不全在内共有种不同排法； （2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法， 由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法； （3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有1560种不同排法. 12．（2025高二·全国月考）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【解析】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 13．（2025高二·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种； (2)种. 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果. 【解析】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或， 由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种. 14．（2025高二·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解； （2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加法计数原理求解. 【解析】（1）先排丙、丁、戊，有种站法． 再插空排甲、乙．有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）满足条件的站法可分为两类， 第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法． 第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法． 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 15．（2025高二·北京月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【答案】(1)240 (2)432 (3)144 (4)72 【分析】（1）先排唱歌节目，再排其他节目，由乘法原理可得答案； （2）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 16．（2025高二·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【答案】(1)4200 (2)1200 (3)240 (4)4440 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）先从余下的6人中选出3人与、的全排列，再消去、两人间的排序即可求得所有排列数； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于、必须相邻，与、都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无、；有、无；无、有；有、，四种情况讨论即可. 【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 17．（2025高二·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【解析】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 考点4 其他排列问题 18．（25-26高二·全国月考）一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问：原有多少个车站？现有多少个车站？ 【答案】原有车站14个，现有车站16个 【分析】由组合知识得到方程，求出答案. 【解析】由题意可得，即，解得． 所以原有车站14个，现有车站16个． 19．（2025高三·福建泉州·期末）将数组的某一个全排列记为，若满足：，能被3整除，则称为的一个“好排列”.例如：的“好排列”共有两个：，. (1)写出的所有“好排列”； (2)若中“好排列”至少有4个，求的取值范围； (3)记的“好排列”个数为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按新定义即可求解； （2）结合新定义分，，讨论即可； （3）先确定考虑中“好排列”个数，由除以3的余数，共有个1，n个2，n个0；设余数形成的排列，其 “好排列”的最后一个数为1，形如共有个，进而得到，同样求解即可； 【解析】（1）的所有“好排列”为：. （2）当时，只有2个，不符合要求； 当时，由（1）可知，只有3个“好排列”，不符合要求； 当时，的“好排列”有，，，，至少有4个，符合要求； 当时，的“好排列”至少有， ，，，至少4个，符合要求； 故当时，中“好排列”至少有4个. （3）（i）考虑中“好排列”个数： 因为是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，n个2，n个0； 考虑由余数形成的排列，其中为个1，n个2，个0的全排列，为满足“好排列”的条件要求， 排列中每个1的右边必为2，故“好排列”的最后一个数为1，形如； 其中的排法数即为个0与个的排法数，即. 故中“好排列”的个数. （ii）考虑中“好排列”个数； 因为是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，个2，n个0； 考虑由余数形成的排列，其中为个1，个2，个0的全排列； ①情况1：中，个1与个2形成个，每个1的右边均为2； 此时为“好排列”的排法数即为个0与个的排法数， 即.故“好排列”的个数有 ； ②情况2：最后位置的数为1，则第一位的数必为2，即排列； 其中的排法数即为个0与个的排法数，即. 故“好排列”的个数有 . 由①，②可得. 所以 【点睛】关键点点睛：除以3的余数，共有个1，n个2，n个0；通过余数形成的排列要为“好排列”，必须每个1的右边必为2，确定个数，求得 20．（2025高二·河北唐山·期中）某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. (1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？ (2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？ 【答案】(1)120 (2)14 【分析】（1）先将6人进行全排，再除以可得答案； （2）利用间接法，即可求解. 【解析】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有种，又因为3名男生从左到右的顺序一定， 所以不同的排法种数为种； （2）从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有种. 21．（2025高二·山西大同月考）6名男生和4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种. (1)任何2名女生都不相邻； (2)男生甲不在首位，男生乙不在末位； (3)男生甲、乙、丙排序一定； (4)男生甲在男生乙的左边（不一定相邻）. 【答案】(1)604800（种）； (2)2943360（种）； (3)604800（种）； (4)1814400（种）. 【分析】（1）不相邻问题利用插空法，先将男生排好，再把位女生插入到男生所形成的个空中（包括首尾）； （2）分甲在末位与甲不在末位两种情况讨论，按照排列数公式计算可得； （3）固定顺序问题，首先全排列，再除以即可； （4）本质也是固定顺序问题，首先全排列，再除以即可. 【解析】（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空， 故先排男生，再把位女生插入到男生所形成的个空中（包括首尾）， 则共有（种）不同的排法. （2）甲不在首位，按甲的排法分类， 若甲在末位，则有种排法， 若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法， 综上共有（种）排法. （3）10人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种， 又对应甲、乙、丙只有一种排序，故甲、乙、丙排序一定的排法有（种）. （4）男生甲在男生乙的左边的10人排列与男生甲在男生乙的右边的10人排列数相等， 而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有（种）排法. 22．（2025高二·重庆月考）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【解析】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 考点5 组合计数问题 23．（2024·全国模拟预测）从集合中随机抽取若干个数（大于等于一个）． (1)求这些数排序后能成等比数列的概率； (2)求这些数排序后能成等差数列的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到5、7不能被抽到，再分抽取的数有1和无1，结合抽取的数的个数，进行分类讨论，求出抽取的所有结果共有种，从而得到概率； （2）根据抽取的个数和公差进行分类讨论，求出这些数排序后能成等差数列的个数，结合（1）中所求的抽取的所有结果共有中，从而求出概率. 【解析】（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到． ①若抽取的数有1， （I）若抽取三个数，设其他两个数为，则， 符合条件的只能为和两组， 此时所抽取的数为和，共两组； （II）若所抽取的数的个数大于3，记此等比数列的公比为，则． 若，则所抽取的数为； 若，则该等比数列的最大一项大于等于，明显不符合题意， 故该情况仅有，1组符合条件． ②若抽取的数无1，则抽取的数应在中． 当时，仅有符合题意； 若公比，此时若最小的一项为3，则最大一项，矛盾， 所以最小的一项应为2．易知符合条件的仅有，1组． 综合上述情况，仅有，，，，共5组符合条件． 而抽取的所有结果共有种，故概率； （2）①当抽取的数有3项时， （I）若该等差数列的公差，则有，，，共7组符合条件． （II）若该等差数列的公差，则有，，，共5组符合条件． （III）若该等差数列的公差，则有，，共3组符合条件． （IV）若该等差数列的公差，则仅有，1组符合条件． （V）若该等差数列的公差，则没有满足条件的选取组合． 故此情况共有组符合条件； ②当抽取的数有4项时， （I）若该等差数列的公差，则有，，，共6组符合条件． （II）若该等差数列的公差，则有，，共3组符合条件． （III）若该等差数列的公差，则没有满足条件的选取组合． 故此情况共有组符合条件．                                 ③当抽取的数有5项时， （I）若该等差数列的公差，则有，，，共5组符合条件． （II）若该等差数列的公差，则仅有，1组符合条件． （III）若该等差数列的公差，则没有满足条件的选取组合． 故此情况共有组符合条件．                                     以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、3、2、1组， 综上所述，满足条件的选取组合共有组， 由（1）知，抽取的所有结果共有种，故概率． 24．（2025高三·广东月考）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.    (1)求数字2填在第2个空格中的概率； (2)记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率； （2）由题意可得，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可. 【解析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个， 所有可能的情况有种，故数字2填在第2个空格中的概率为. （2）由题意可得，且，1填在第个空格的前格中1格，3填在第个空格的后格中1格. 故. 当时，取得最大值，最大值为 25．（2025高二·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案. （2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案. 【解析】（1）由，得， 所以，所以，所以， 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有. 26．（2025高二·广东梅州·期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中. (1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？ (2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果. （2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果. 【解析】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种， 3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种， 所以共有种填法. （2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上， 所以，共有种， 从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种， 综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种. 27．（2025高二·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 【答案】(1)个； (2)5789 【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第125个四位“幸福数”. 【解析】（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”， 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个. （2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个. 因为， 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789. 考点6 分组分配问题 28．（2025高二·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)15种 (2)30种 (3)90种 (4)540种 【分析】（1）部分平均分组，结合分步乘法原理求解即可； （2）由（1）对乙丙全排列即可求解； （3）法一：由（1）分成3组，再全排列即可；法二：同法一； （4）先将6本书从平均分，不平均分，分成3组，再全排列即可求解； 【解析】（1）根据分步乘法计数原理可得，分成三份有种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为，若第一步取，第二步取， 第三步取，该分法记为，则中还包括（）这1种分法， 而这种分法与是同一种分法，故共有种分法． （2）这是“部分平均定向分配”问题．先分组，再分配，与顺序有关． 首先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 然后分给三个人（甲定向）共有种分法． （3）方法一：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题， 共有种分法，然后分给三个人（不定向），共有种分法． 方法二：有种分法． （4）可以分为三类：①将6分为“2，2，2”，有种分法； ②将6分为“1，2，3”，有种分法； ③将6分为“1，1，4”，有种分法． 所以共有种分法． 29．（2025高三·河北月考）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）将个人分为三组每组至少一人，先计算出分组的总数，然后可计算出分配方案数； （2）先计算出将名学生随机分配到三个项目的方法数，然后减去有一个项目没人去、有两个项目没人去的方法数，由此可得结果；再通过作商法比较与的大小关系即可证明出单调性. 【解析】（1）将个人分为三组每组至少一人，每组的人数可以是， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组方法有种， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组人数有种， 所以将个人分为三组的方法数共有种， 所以不同的分配方案有种. （2）将名学生随机分配到三个项目，不考虑每个项目的人数，则有分配方法种， 将名学生随机分配到三个项目，有一个项目没人去，则有分配方法种， （注：先选两个项目有种选法，将个人分配到两个项目有种分法，减去个人在同一项目的情况） 将名学生随机分配到三个项目，有两个项目没人去，则有分配方法种， 由上可知，； 证明：设且， 所以， 由的实际意义可知，且时显然成立， 所以，所以，所以， 所以时，是的单调递增函数. 30．（2024高三·全国月考）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 【答案】(1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)45 (6)1080 【分析】根据分组分配问题的原则，先合理的分组，再分配即可，注意平均分组的问题． 【解析】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）. （2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）. （3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）. （6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）. 31．（2024高三·全国月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合分组、分配的解法，结合排列组合数的计算公式，即可求解． （1）由平均分组计算； （2）由不平均分组计算； （3）由平均分组分配计算 （4）由不平均分组分配计算 【解析】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 32．（2025高二·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【解析】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 33．（2025高二·全国月考）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 【答案】(1)15 (2)60 (3)15 【分析】（1）6本不同的书分成3组，书本数为2本，2本，2本等量分组； （2）将6本不同的书分成3组，书本数为1本，2本，3本不等量分组； （3）分成3组，只需从6本中选4本一组，其余2本组为2，部分等量分组； 【解析】（1）每组2本，均分为3组的分组种数为． （2）一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为． （3）一组4本，另外两组各1本的分组种数为． 34．（2025高二·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【答案】(1)243 (2)78 (3)150 【分析】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【解析】（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 35．（2025高二·广东清远·期中）2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． (1)求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； (2)为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解； （2）利用古典概型的概率公式，结合排列组合以及分组分配的求解即可得解． 【解析】（1）由题意可知，甲队和乙队共有种不同的安排方法， 甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站，共有种， 所以所求概率为； （2）将四名工作人员随机分派到，，三个站点进行抽查，共有种不同的安排方法， 三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员，共有种不同的安排方法， 所以所求概率为． 36．（2025高二·甘肃·期末）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）由题意可知有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，根据排列与组合的知识求解即可； （2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一项工作，求解即可. 【解析】（1）解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作， 故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作， 共有种情况． （2）解：甲做工作的情况有2种： ①甲只做工作，共有种情况； ②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 考点7 排列组合综合 37．（2025高二·辽宁锦州·期末）已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1)720 (2)26 【分析】（1）分步骤确定每次测试的情况数，再根据排列组合的乘法原理计算总的测试情况数. （2）要分测试次找到所有次品和测试次找到所有次品这两种情况分别计算，最后根据加法原理得到总的测试情况数. 【解析】（1）第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择. 第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择. 第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择. 第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择. 根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种. （2）测试次就找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况.   测试次找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.   根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种. 38．（2025高二·全国月考）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1) (2)1800 (3)10 (4)8 【分析】（1）根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可求解； （2）根据题意，先选后排，结合分步乘法计数原理，代入计算，即可求解； （3）根据题意，由隔板法代入计算，即可求解； （4）根据题意，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解. 【解析】（1）以信的角度去看第一封信有7个选择，第二封信有7个选择，…，所以共有种放法； （2）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法．故共有种放法； （3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中间有5个空位，选取其中2个插入隔板，故有种放法； （4）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择， 同理可知其它序号相同时各有种选择，故共有种放法． 39．（2025高二·全国月考）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解析】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 40．（2025高二·山东泰安·期末）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. (1)求的最大值； (2)当时，均有，求满足条件的的个数. 【答案】(1)140 (2)42 【分析】（1）利用基本不等式求解即可.（2）利用排列组合的知识求解即可. 【解析】（1）由题意得 当且仅当时取等号， 即的最大值为140； （2）由题意知， 从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列， 故共有个满足条件； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破1：排列、组合大题7考点综合训练 考点1 元素（位置）有限制的排列问题 1．（2025高二·全国月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 2．（2025高二·江西吉安·期末）现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 3．（2025高二·甘肃白银月考）（1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 4．（2025高二·上海松江月考）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 5．（2025高二·全国月考）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 6．（2025高二·全国月考）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 考点2 相邻问题的排列问题 7．（2025高二·河南驻马店月考）现有体积均相同但质量均不同的红球个、白球个、黑球个，将这个小球放入恰好能容纳个小球的圆柱形卡槽内． (1)若同种颜色的球必须相邻，试问共有多少种不同的放法？ (2)若个白球互不相邻，且质量最大的白球不能放在卡槽的两端，试问共有多少种不同的放法？ (3)若个红球之间有且仅有白球和黑球各个，试问共有多少种不同的放法？ 8．（2025高二·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 9．（2025高二·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 考点3 不相邻排列问题 10．（2025高二·天津红桥·期中）用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ (1)奇数都排在一起； (2)偶数不相邻； (3)三个偶数从左到右按从小到大的顾序排列． 11．（2025高二·浙江嘉兴·期中）从等人中选出人排成一排. (1)三人不全在内，有多少种排法？ (2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 12．（2025高二·全国月考）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 13．（2025高二·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 14．（2025高二·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 15．（2025高二·北京月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 16．（2025高二·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 17．（2025高二·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 考点4 其他排列问题 18．（25-26高二·全国月考）一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问：原有多少个车站？现有多少个车站？ 19．（2025高三·福建泉州·期末）将数组的某一个全排列记为，若满足：，能被3整除，则称为的一个“好排列”.例如：的“好排列”共有两个：，. (1)写出的所有“好排列”； (2)若中“好排列”至少有4个，求的取值范围； (3)记的“好排列”个数为，证明：. 20．（2025高二·河北唐山·期中）某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. (1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？ (2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？ 21．（2025高二·山西大同月考）6名男生和4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种. (1)任何2名女生都不相邻； (2)男生甲不在首位，男生乙不在末位； (3)男生甲、乙、丙排序一定； (4)男生甲在男生乙的左边（不一定相邻）. 22．（2025高二·重庆月考）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 考点5 组合计数问题 23．（2024·全国模拟预测）从集合中随机抽取若干个数（大于等于一个）． (1)求这些数排序后能成等比数列的概率； (2)求这些数排序后能成等差数列的概率． 24．（2025高三·广东月考）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.    (1)求数字2填在第2个空格中的概率； (2)记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值. 25．（2025高二·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 26．（2025高二·广东梅州·期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中. (1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？ (2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？ 27．（2025高二·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 考点6 分组分配问题 28．（2025高二·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 29．（2025高三·河北月考）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 30．（2024高三·全国月考）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 31．（2024高三·全国月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 32．（2025高二·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 33．（2025高二·全国月考）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 34．（2025高二·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 35．（2025高二·广东清远·期中）2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． (1)求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； (2)为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 36．（2025高二·甘肃·期末）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 考点7 排列组合综合 37．（2025高二·辽宁锦州·期末）已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 38．（2025高二·全国月考）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 39．（2025高二·全国月考）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 40．（2025高二·山东泰安·期末）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. (1)求的最大值； (2)当时，均有，求满足条件的的个数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$