第27章 相似 课堂训练-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年九年级下册数学（人教版 安徽专版）

第二十七章相似 27.1图形的相似 知识梳理♪ 相似图形 形状 的图形叫做相似图形 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比 成比例线段 ,=（即ad= ),我们就说这四条线段叫做成比例线段 两个边数 的多边形，如果它们的角分别 ,边 定义 相似多边形 么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做 性质 相似多边形的对应角 ,对应边 ⊕对训练♪ A.甲与乙 B.乙与丙 1.下列各组图形中，不是相似图形的是 C.甲与丙 D.以上都不对 5.如果实际距离是100km的A,B两地在 地图上的距离是4cm,那么实际距离是 ☆☆○0O0△N 40km的甲、乙两地在这幅地图上的距 离是 cm. 2.下列四组长度的线段中，是成比例线段 6.如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD 的是 相似. A.4 cm,5 cm,6 cm,7 cm (1)求∠B的度数： B.3 cm,4 cm,5 cm,8 cm (2)求x,y的值. C.5 cm,15 cm,3 cm,9 cm D.8 cm,4 cm,1 cm,3 cm 96 D 12 3.如图，小康利用复印机将一张长为5cm, 135 宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后 560 12 的矩形的长为10cm,则放大后的矩形 的宽为 放大 A.1.5 cm B.3 cm C.6 cm D.8 cm 4.如图，三个矩形中，是相似图形的是 ·6 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例及其推论 知识梳理 相似三角形 三个角分别 ,三条边 的两个三角形叫做相似三角形 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 平行线分线 段成比例 平行于三角形一边的直线裁其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 推论 段 利用平行线判 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 定三角形相似 针对训练 4.如图，1∥l2∥3，两条直线与这三条平 1.如图，已知△ABOX△CDO,BO:DO= 行线分别交于点A,B,C和点D,E,F. 3:4.若CD的长为12，则AB的长为 若瓷-专，则的值为 ( 5.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB, A.9 B.12 C.16 D.20 BC上的点，且DE∥ACAE∥DF,0 号BF=36 (1)求EF的长； (第1题图) (第2题图) 2.如图，直线4∥2∥l3,直线a,b与l1,2, (2)求CE的长. L3分别交于点A,B,C和点D,E,F.若 AB=4,BC=6,EF=9,则DE的长是 ( ) A.4 B.6 C.7 D.12 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在边 AB.AC上，DE∥BC,A8=,BC- 12,则DE的长是 A.3 B.4 C.5 D.6 D B (第3题图) (第4题图) 7 第2课时三边成比例的两个三角形相似 知识梳理 判定定理 三边 的两个三角形相似 (1)利用三边判定三角形相似，先将三角形的三边按照大小顺序排列，然后计算对应边的 解题策略 比值：(2)在网格中判定三角形相似，先根据勾股定理计算出相应线段的长，再求出对应 边的比值即可 针对训练 5.一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个 1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框 三角形的最短边长为8，则当另外两边长 的三边长分别为2,4,5，乙三角形木框 分别为 时，这两个三角形相似： 的三边长分别为6,12,15，则甲、乙两个 6如图，已知8 DEAE,∠BAC BCAC 三角形 ( 85°，∠DAC=60°，求∠CAE的度数. A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 2.△ABC的三边长分别为7,6,2，△DEF的 两边长分别为1,3，要使△ABC△DEF, 则△DEF的第三边长应为 ( ) A.号 B.2 c D.9 3.若△ABC的各边长都分别扩大到原来 的2倍，得到△A1BC1,则下列结论正确 7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的是 ( 和△EDF的顶点都在网格的格点上.求 A.△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 证：△ABC∽△EDF B.△ABC与△A1B1C1不一定相似 C.△ABC与△A:B,C的相似比为2 D.△ABC与△A1B1C1的相似比为2 4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图 中的三角形与△ABC相似的是() ·8 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 知识梳理 判定定理 两边成比例且 相等的两个三角形相似 用此判定定理证明三角形相似时，角一定要是两组对应边的夹角，确定角后，如果对 易错警醒 应边不能确定，要分类讨论 针对训练 5.已知∠B=50°，AB=2,BC=3,∠B'= 1.下列能判定△ABC和△A'B'C相似的 50°，A'B′=12，BC'=18,判断△ABC 条件是 和△A'B'C'是否相似，并说明理由. A0-怨，且∠B=∠B AC BC B.AB=B,且∠A=∠C C滑-脱，且∠B-∠B n0-A8,且∠A=∠B AC 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边 上的点，连接DE已知是铝有下列两 6.如图，点C,D在线段AB上，∠A= 个结论：①∠ADE=∠B;②△AEDn /B,AE=4,AD=2,BC=4,BF=8, △ABC,其中判断一定正确的是( DE=5,求CF的长. A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.两个都正确 D.两个都错误 3.如图，AB,CD交于点O,已知OC=45, OD=30,OB=36.当OA的长为 时， △AOC∽△BOD. (第3题图) (第4题图)》 4.如图，∠BAD=∠CAE,AC=2AE,AB= 2AD.若BC=3cm,则DE的长为 cm. ·9· 第4课时两角分别相等的两个三角形相似 知识梳理♪ 三角形相似的判定定理 两角分别 的两个三角形相似 (1)如果两个直角三角形满足 相等，或 直角三角形相似的判定定理 成比例，那么这两个直角三角形相似； (2)斜边和一条直角边对应 的两个直角三角形相似 针对训练 5.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB, 1.已知一个三角形的两个内角分别是40°， AC上的点，∠BDE+∠C=180°.求证： △ADE∽△ACB. 60°，另一个三角形的两个内角分别是 40°，80°，则这两个三角形 ( A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定 2.如图，AD与BC相交于点O,要使 △AOB与△DOC相似，可添加的一个 条件是 A.∠A=∠D 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3, B.∠A=∠B E是AD的中点，CF⊥BE于点F,求 C.∠C=∠D FC的长. D.∠AOB=∠DOC 3.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连 接BD.若∠ABD=∠C,AB=6,AC=9, 则AD的长为 ( A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 (第3题图) (第4题图) 4.如图，△ABC与△CAD相似，且AB= 5,CD=4,∠ACB=∠D=90°，AB∥ CD,则AC的长为 ·10· 27.2.2相似三角形的性质 知识梳理 相似三角形的 (1)相似三角形周长的比等于 性质 (2)相似三角形面积的比等于 易错警醒 不是任意三角形的高、中线、角平分线的比都等于相似比，只有在相似三角形中适用 针对训练 6.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB= 1.已知两个三角形相似，其相似比为3：4， 4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ACD 则它们对应角平分线的比为 的面积为4，求△ABD的面积. A.3:4 B.4:3 C.1:2 D.2:1 2.已知△ABCc∽△DEF,相似比为1：2， 且△DEF的面积为12，则△ABC的面 积为 ( ) A.48 B.24 C.6 D.3 3.若两个相似三角形的对应中线比是1： 3,则它们的周长比是 ( A.1:2 B.1:3 7.如图，点M,N分别在△ABC的边AB, C.1:6 D.1:9 AC的延长线上，B品-C示 ABAC =5,△ABC 4.如图，△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分 的周长为15cm. 别是△ABC和△A'B'C的高.若AD=2, A'D'=3,则△ABC与△A'BC'的面积 I)求 的值； 比为 (2)求△AMN的周长. D B A.4:9 B.9:4 C.2:3 D.3:2 5.如图，在△ABC中，点D,E 分别在边AB,AC上，DE∥ BC,AB=5,AD=2,且 △ADE的面积为4，则四 边形DBCE的面积为 ·11· 27.2.3相似三角形应用举例 知识梳理 (1)利用阳光、影子测量高度：在同一时刻物高与影长成正比； 利用相似三角形测高 (2)利用标杆测量高度：标杆与物高平行构造相似三角形； (3)利用平面镜测量高度：光线的反射角等于入射角 利用相似三角形测距离 构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解 针对训练 4.如图，某高铁在修建时需在位于山两侧 的M,N两地之间挖一直线隧道，工程 1.已知在相同时刻物体的高与影长成比例. 如果高为1m的标杆的影长为80cm,那么 人员为了计算M,N两地之间的直线隧 道长度，选择在测量点A,B,C进行测 影长为9.6m的旗杆的高为 A.15m B.13m 量，点B,C分别在AM,AN上.现测得 AM=1200m,AN=2000m,AB=30m, C.12m D.10m BC=45m,AC=18m.求M,N两地之 2.为了测量河宽AB,有如下方法：如图，取 间的直线隧道的长度。 一根标尺CD横放，使CD∥AB,并使点 B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线 上，量得CD=8m,OC=10m,AC= 30m,则河宽AB的长为 A.24m B.30m C.32m D.40m CE (第2题图) (第3题图) 3.如图，小明想要测出钟楼AB的高度，于 是在地面上的C处放置了一面镜子，当 他站在离镜子C处1.2m远的E处时， 恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子 中的像（即∠DCE=∠ACB).已知点B, C,E在同一条直线上，小明的眼睛离地 面的高度DE=1.5m,BC=28.8m,则 钟楼AB的高度为 m. ·12· 27.3位似 第1课时 位似图形的概念及画法 针对训练♪ 3.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点 1.下列各组图形中，不是位似图形的是 与线段A'C′的端点都在网格的格点上， 且△ABC与△A'B'C'是关于点O的位 似图形，点A,C的对应点分别为点A', C.按下列要求作图， (1)画出位似中心点O； B (2)将△A'B'C补充完整. 2.如图，四边形ABCD和四边形A'BC'D1 是以点O为位似中心的位似图形.若四 边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长 比是1：2，则的值是 B. C. D. 1-3 第2课时 平面直角坐标系中的位似 针对训练♪ 3.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的 1.如图，在△AOB中，A,B两点在x轴上 三个顶点坐标分别为A(2,3),B(3,1), 方，以点O为位似中心，在x轴的下方， 00,0). 把△AOB扩大为原来的2倍，得到 (1)以原点O为位似中心，在第三象限画 △A'OB'.若点B的对应点B'的坐标是 出△OAB1,使△OA1B1与△OAB (4,一2)，则点B的坐标是 的相似比是2； ( (2)点A:的坐标为 A.(-1,2) B.(2,-1) ,点B:的坐标 C.(-2,1) D.(-2,-1) 为 012345i (第1题图) (第2题图) 2.如图，将△AOB以点O为位似中心，扩大 得到△COD,其中B(3,0),D(4,0),则 △AOB与△COD的相似比为 ·13·的解所式为“一马2当x一-3时学一4当一-：时-品？-6< 27,2相似三角形 5.任明，∠BDE+∠C=18,∠ADE+∠DE=180',,∠ADE=∠C T,二【相饭三角形的判定 I∠A=∠A,△ADE△ACB ,“当0时y随1的增大面编大一当一<了<一2时，y的取質克倒 幕1课时单行线会线陵或此例双其摩伦 .解，：四边思AD是翅思，，AD,AD==a,∠A=0 是2<y 知识镇 ∠AEB-∠(BF,CF⊥BE.∠CFB-90∠A.△ABEn 5.解：山)根据反比例函敢的阁单关于原点成中心对移的性质，得该希数时 相等成比例成比例成比例用创 象的另一支位于第四象限.”函数围象在范二，国象限.零十7<0，解程： 针对到练 △F路心袋-器：E是D的中点，ik=寺A=L气E= <一7.(2》由象可知在第二象限内，y随r怕蜡大面增大。<， 1A五B3B本 丽+a证-a小是-F0-名 为 27,2:1相板三角形的性置 2场.1实际间题与反比例函数 5解：61A5DF,小船-邵，甲-器∴F-2由1，得 知织梳理 第【渠时及比州函数在实障生古中的总用 针对训塔 服-FEF-:DE水AC需-臣即是是CE- 相叙比相侧比的平方 针对调练 1.A2.c1g=2440 第2现时三迫成北钢的两个三角形相显 1.A2,D3,B4A5,1 知识顿理 s解，￥∠DAC-∠，∠C-∠C,△ACDn△BCL:AI-4,AD-2, 5.解，(1)投，与士之解的两数解析式为影-k≠0.尼0,5，o)代人，得 境比解 针对到感 餐-裙字-（传广-sa的w1版8m 0-斋高解尊4-20，y与上之间的雨数解新式为y-空(2当2-1.5 上A2C3C4B5号号 54一5：1u=12. 时小一沿一号斧：菌要智mm才能装完线物 4,“器-饶-能i△AB△AhEi∠DAE=∠aMC= 1粉，1盖-答-."-长-吾：∠A-∠A△M☑ 第2保时及比例西量在当厘学科中的总程 ∠DAC-40°，∠CAE=∠DAE-∠DAC=25 △AM.C-常-吾设△AN的长为C△C的周长为 针对国练 7.f期，DE-区，DF=√T+-√6，EF-2,AB=T+Z-,,AC 1.B2.D3.2.4 4解，设P-专5>0以把0.1,100)代入得100一奇新得- -FT-面.B-是-答-祭-平AABCAFDF C:南可组△AiCc△AM.是-谱-普，即唱-吾G-孩 ·△AMN的师长为am 第3柔时两连点比偶且表角相羊的两个三角那相似 27.2.3相叔三角形应用举例 100.个关于S的函数解析式为-10心5>.2当S-0,25m时，》知识板夏 针对调练 、100 夫角 .元一o.·当5一A药m时，物体断受的压登是00我3)当 LC2,C3,3网 针对酒篮 =10m时5=1调a1,当p=4o0时s编-.d由周 1.C2.B3.54k1.5 4州，在按M“祭-品一高品-品-高架-品 5.解，△ABC△A'B'C.理h虹下，AB=2,C-8,A'H-12,C- 象，得%16000<<1000时，受力面研S的变化范用量Q.025<8之0.1. ”∠A=∠A.△AC么AN器=装-高C=B= 第二十七章相似 心滑--青0-是-青帶0Z∠-∠=0， ,NM=3000m,答，AM,V内地之间直线随道的长度为300m, 7,3位烈 27,1图形的相似 △A4n△A'BC 第1视时拉似国形的规金观属法 如识统理 6幅：能-言设片小品-提：∠A-∠R△Am 针对博练 相同相整称相同相等成比例相似比相等成比剑 aF提-华导-吾CF- 1.B3.A 针对练 第4球时雨角分利相等竹两个三角形材经 天解：11(2)图所 1.D2.C3C4.45l6 6.解，()两边形ABC与齿边彩A'B'D相牡，∠C=∠心=西 知识硫理 六∠I一360°一∠，A-∠D一∠C-的，2国边形A风D与国边形 相等一个锐角两组直角边发比创 针对部感 AD相侧瓷-滑-0手音=景斯得=4y=18 HC AB AD 【,C2A3A42 -43 44 第2求时平面真角桌标原中的使程 2w.2解直角三伦形及其皮用 第二：十九章投影与视图 针对雨练 球.2.1解直物三角形 9,1投影 1.C2.3t4 针对到篮 第1课时平牡授彩与中过投形 3,解：1)知图求.21（一4.一63〔一8，一） 1.C2,A3C4.62 针对调练 五每：在R△AB0中，AB-8,BC-mA一需-士∠A- 1A2.B 美解：组图所承 ∠H=0'=∠A=0',AC=AB·60mA=4v5 6瓶在△ACD中，r∠C=mAC-8A=1乎，m∠CD= Ac 第二十八章做角三角的数 -g∠CAD-0.:AD平分∠CAB.六∠BA5-∠CD-0 28.1锐角三角函数 第1深时是体 ∠CAB=矿.∠B-0-∠CAB-划，在R△AC中：anB-瓷 针对理等 钟对圳塔 -9C-viaC-g,厦 LB 2.A 3.B 心2A 4解，如图所示 28.2.2应用学例 4解在△C中，：∠C-0,A-A-6-景以- 第【课时解直角天角形的蔑单应用 针对氧婚 29.1三视图 号导-4.4-霜D-0△ABC的烟长为A+C+以 L.A1.A人a26415° 第1来时着体的三视阁 针对调练 =26+10+24一0. 5,解：过点C作CH⊥AB于点H,在R:△ACH中，AC-okm,∠CAH- 1.A2.D32 第2说时余使和正胡 J0',CH-C·m∠CAB-a0h,AH-AC·a∠CAB51,6km在 未解：细图屏示 针对训练 H △BH中，∠CA-0,6 immC25,21kn古A-AH LA2D表园 十H7,2k,答，改直后的公路A的长约为T7,2km, 4解：在R△AC中，∠C-的mA-需-停设-：降 第2深时与行角、俯角有美时解直角二角醇的旦用 左灵制 知识植理 A->0.AC---市sA-答-要-要 和角角希 针对氧照 钧灵测 第生课时南三视相想菜出意休周利 1.Z.A3200v行.45,1 针对辑辉 暴等课时特味角的三角高值 5.解，由愿意，得西边彩BCDE为矩形，DE一C'一切m,E-CD 1长方结球2，C3D4. 知识镜理 【,im,在R:△ADg中，∠ADE=线，dAB=E·an∠DE 第3课时由三视因确瓷见何缘的面积或集如 位，BmAB-A上+B15L答：建筑物A#的高度约为18鱼 竖誓 针对调练 第3环时与方位角、坡魔有美的解皇扇三角形的应用 1B 2.A 3B 针对用感 针对到都 9.3课赠学习制作立体度型 1.C2D支A4.目5.60.6.7T7.(1)1422 1.A1.DD4.9 针对调练 8,解：(1)ADL以.∠B=行.∠AD用一∠AC=O,∠BAD-5,期：延长B.交D于点D,易得∠=g.∠B=,在△AD 1.D1.D ∠=，AD-B0-在△MD中，mC提--， 中，AB=02 n mile,AD=BD-AB·n∠DA山=的监me,C 工解：制作一个条盒所需纸服的面积是立×百×行十号××0'×后×2 =20 a mile,.,DC-BD十C-80mmie.在R△ADC中，山里是厘，得 a∠=0，(2r∠AC=90,∠C=6m,AC== C严ms丽= 4C-厅干-1o0nmi%,客：A.C两，点之间的距离为100nmle -(150+75v3cm 46 47 48