专题特训四 习题课——圆心角、圆周角定理的应用&专题特训五 证明切线的两种方法-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版）

专题特训四习题课— 圆心角、圆周角定理的应用 1.如图，AB是⊙O的直径，∠D=32°，则 ∠AOC等于 A.1589 B.58 C.64° D.116° (第5题图) (第6题图) 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，BD是⊙O的直径，AB=AD,若四边 形ABCD的面积是10，则线段AC的长 (第1题图) (第2题图) 为 2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO,若 7.(广东中考)如图，四边形ABCD内接于 ∠C=25°，则∠D的度数为 ( ) ⊙O,AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB. A.30° B.40° (1)试判断△ABC的形状，并给出证明： C.50° D.60° (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度. 3.如图，A,B,C是⊙O上三点，∠ACB= 28°，则∠BAO的度数是 A.65 B.55° C.52° D.62 8 (第3题图) (第4题图) 4.如图，BD是⊙O的直径，A,C是圆上不 与点B,D重合的两个点，若∠ABD= 30°，则∠ACB的度数为 A.30° B.45 C.60 D.75 5.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，AC AB,若∠AOC=62°，则∠BDA= ·7 专题特训五 证明切线的两种方法 类型①有交点，连半径，证垂直 (二)利用平行传递证垂直 (一)利用角度转换证垂直 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为 L.如图，△ABC内接于⊙O,∠B=60°，CD 直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点 是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一 D.求证：PD是⊙O的切线. 点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的 切线. 4.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的 弦，延长BD到点C,使DC=BD,连结 AC,E为AC上一点，直线ED与AB的 2.如图，AB,CD为⊙O的直径，E为⊙O上 延长线交于点F.若∠CDE=∠DAC,求 一点，连结BE交CD于点F,过点E作直 证：DE为⊙O的切线 线EP与CD的延长线交于点P,使 ∠PED=∠C求证：PE是⊙O的切线. ·8 (三)利用全等证垂直 类型②无交点，作垂直，证半径 5.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点 7.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边 B,连结OC,弦AD∥OC.求证：CD是 BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求 ⊙O的切线， 证：AC是⊙O的切线. 6.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它 8.如图，O为正方形ABCD对角线AC上 的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM 一点，以点O为圆心，OA长为半径的 上一点，连结DE并延长交BN于点C, ⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O 分别连结OD,BE,且OD∥BE.求证： 相切. DE与⊙O相切. ·9117 新%，3号果树幼出成话率为超.4%.4号果树幼的底活米为0汉运只× &y-2+是-1 5解，(10令z-0,得一一么令3一0得子2-壹2-Q解得--2 100%=936%,通过比较，4号品种的域活率最高.2废推广4号品种 6解：(1)抛物线经过点（一3,0）和(1,0)，抛物线的表达式可投为y=a三 =4A《4.0).B(一2,0)，C0,一2D,(2》存在这静的后P,”对将拍为直线 十30(x一1).把(0，一3)代人，得一3=a×(0十3)×(0一1)，解得a=1.抛物 第28章归纳与提升 线的表式为y-(x+3)x一1)=2+2—3，(2)，y-x+2x-3=x十1)月 =1,,设P1,m)则AP=〔4-1+2=+9，=1+(w十 中考考点突酸 一4，“，教物线的对称帕为直线Γ一一1.，抛物线开口向上，“，>3时，y随1 2× 1.D2.D3.青查4D57200 的增大地大.当上一3时y-(3+1一4一12，，当x>3时y的最值枪围为 2=m十4w十5，A=:十2一20.①当AP=P℃C时，则m十9=w2十4w十 y>12 6解：00，(280-56一12--8（人），00×高-写.“C所对向形的圆 5,解得M-1:②当AC-PC时，则m+uw+5-0,解得m”一2士V:3当 AP=AC时，则m+9=20解得m=+,T,签上所述，点P的坐标为(11) 心角的度数是36.补图如图所示：(3)1600×70%一120（人，六估计被社 专遇特训二二次函数图象信息题的阳类 或0，一2+T或(1.-2-1或1.10或(1，-T) 区约有们1如人从不阀虹灯 1B2.B3C4.B5C6.A1.A8.11=1,3(21C3 6.解，(1)抛将y=2十如+c与兰轴交于A,B两点 (3》无解9，D1aCL,B2,A 人人 城黄/令 乙： A.0,8-48-0以.之1+6+=0. 18-b十c=0, 专题特训三二次函数的综合应用（选用） 该抛物线的解断式为=+2士一3：()如图，过Q作QEL主 1.1r64 轴于E,过C作CF⊥x帕于F.段P(m,O》,则PA-1一m.y-子42x一8 2解：(1)令y=0.曙2-2r一3=0，解得x=3域-1.点4(-1.00，B(3 二三左 0).将点A《一1,0)代人3一一T一十得1+一0解得一一11(2)联立方程组 1.G-1。-机09提-错-2 CF (第题图) (第B题图) y-2a8, ==1.x=2 1.C 5一0 解得人 y=-t-1, 。六点C坐标为(2，一3.六8 系解：)甲的前五学期的数学率均成情为西十0+5+0士的行〔分.乙 "5 是×3-(-11×-31=6 -是PA·CP-吉PA·Q妮-(1-m)X4-音(1-m)1-m)- 的丽五学积的数学平均城领为5士7+超+0+西-5（分：(2折线周如周 3解：(1)抛物线y-+一6其点A(一1,0)，B1,0》, 是w十1+之”一8运w<1,当网-1时，8四有最大值之AC0 新示：《3)皮该意甲司学参加竞赛理由如下，无论是从数据度化来看，还是从 @一地6-9解得0“轮物线的表达式为3一2x+让 雀积的最大值为2，此时P点坐标为（一1.0们 所线图来看，甲同学的成结逐步上升的ǜ势事常明显，且成绩使达到5分的 a+b=G=0, 6:(2)连结AC,义脑物规对称轴于点P,如需，则此时PH十P的 水平，面乙同学的成姨呈逐参下研的路，，成该选甲同学参加数学瓷赛 解11完-1,0，B3,0代人y+-,-6言- 解得 值最小令r0,则y一-瓦，C0,-6位.y-2+u6-2(a+1一8. w十3一3=0， 核心素秀专炼 抛物线的对粉轴为直线=一1设直线AC的表达式为y=:+,出 抛物线的表达式为y-2一色r一3：(2》设P(m,m2-2m一3)，Q(0, 1.C2.3600 解得一之 5m一2 一3就十w0 直线C的表达式为学=一2x一6当xm一1 w以.又A(一1,0)，B(3,0),D以PQ.AB为对角线时.Q,AB的中点重合， 专题特训答案 时y=2-6=一4，P(一1，一4) w+0=-1+3, 专题特训一利用得定系数法求二次函数表达式 4解：1)由题可知C0,-4).0C=4.:OC=08,08=LB(4.0).将 w一2w-3十超-0十0， g-3P。一3，双PA.QB为对角线时. ,ym-+4x+5 A-1oo人+一t PA.QB的中点重合，一1=+3. 2.解：最该随物的解所式为y一2十短十(，根累思意，得幕物线当y铂交于 1w2一2N一3=8 ,-.P4,D以PB. ￥一6十=0， d=-1 前物线的表达式为y--8r一4：(2)0B一0C,∴∠0CB-∠0C- 点(0,3)，则]4如十46十=-5，解得b=2。.该抛物线的表5式为y=一x :MP∥y帕，÷∠EM一45.MH⊥C,△HEM是等腰直角三角形. QA为对线时，PB,Q1的中点重合，二解得· 1w-2w一3-m, =3 EM.H肥设直线C的表达式为y一女+，÷+一0： P一4,1滚上断述，点P的果标为(2，一3)域(4,5D或（一4.21）. 十x十3 3.y-7x3-5r+10g -1,直线比的表站式为y=一4.段M,-一，期E-, 专遇特训四习图课—圆心角.圆周角定理的应用 4解：在口ABCD中，CD∥AB且D=AB=4,点D的坐标是(0,8)，点 1,D2C3D45.1625 C4,8.设抛物线的称轴与±触相交于点H,则AH一BH一2六，点A(2, .M=-+.,△MHE的周长=M+E+M=1+2)M=一(1 7.解，(1)△4C是等题直角三角形证明过程如下，“AC为⊙0的直径，“ 0》.B8,0),段批物线的表达式为y-a(一4)十8，起A(2,0)代人.得0一4a +②一2一机.？登6号当一号时，△MHE的腾长约顾大值为 ∠ADC=∠ABC=g0,∠ADB=∠CCDB,∴AH=,AB=C又 十8，解得a一2y一一2(z一4尸十8一一22+16x一24.此抛物线的表达 ∠ABC-知.，△ABC是等腰直角三角形：(2)在R△ABC中，AB-C 15+152 式为y=-2r+1r—24, ,区，AC=2在R△ADC中，AD=1,AC=2,CD√ 一32 -133- 一134 专题特训五证明线的两种方法 &证明，连结CAM,过点O作ON⊥CD于点N.,图边形ACD是正方形，， ∴，∠DOg=∠0B,D-OB,OE-OE,,△DOEa△E(8AS). 1.正明：连结0L:∠B=60,∠A0C-10.∠AOP-00A-0C, ∠CD-90,CA平分∠BCD.⊙O与BC相切，六OM⊥BC又：ON1CD, ∠0E-∠0DE-90.:0B是⊙0的半径，÷直线E与⊙0相：2)设 =N,QV是⊙0的半经，D与⊙0相切 ⊙0的半经为，在△0C中，0+D心=0.+4=(+2，∴r ∠QC-∠ACP-5∠OP-a0,义AP-C,∴∠P-∠ACP-3,品 3,∴AB=2r=6,∴C=AC+AH=+6=a,由I)得△DF2△B仪深，∴DE ∠PA0-1一3一80=0..CM⊥AP.,.PA是⊙0的娇线 专题特训六圆中常见辅助线的作法 -BE在R△CE中.B十BE一CE,8+BE《4+DE,.A十DE 1B22恒3B4厘5D =(4+DED2.DE=6. 8解，》连站OE.:AB-AC,∠B-∠COF-OC,∠C 6解：1)连结AC∠AC=0.AC为⊙O的直径 -∠OFC÷,∠O℃=∠B.OF∥A且.G⊥AB,.PG1 ,∠ADC-9.HAD=CD,.∠ACD=∠CAD-452 (岸又F是半径..是⊙0的切线：〔2)连结E,过点0 第1题图) (第2题置) (第3题国) PA为回O的切线，CA⊥PA,∠PAC=o,∠P 作OH LCF于点H,,G-1,BF一3，∠BGF-9,FG- 1明：连结OB.CD为⊙0的直径，：∠CED一90，即∠C20十∠0ED 时-∠ACD-45(2》在R1△ABC中，AC- B一BG-可-2克.⊙O与AB相切于点E,∴O迟⊥AH.又”AB 90.Cm0E.∠C=∠C∠C+∠ED=0,∠PED=∠C ∠PED+∠OED-0,即∠OEP-90.,∴OE⊥PE∴.PE是回O的切线 vAB+C=√/+8=1a∠P=∠AP=4,PA=CA=10,若 ⊥GF,O⊥GF,.国边形GFOE是矩形.0E=GF-22.,OF=OC 3F明，连结OP.AB=AC,,∠B=∠C:OP=0相，.∠B=∠OPB ∠C=0,△MPD为等提直角三角看.PD-号AP=号×10=5包 2 CF.CH--Hwcm800寸-器 ∠OPB=∠C,OP∥ACPD⊥AC,OP⊥PD,PD是⊙O的切线 7.解：结00：0C-00.∠C=0,∴∠0DC-∠C 4.正明：连结ODAB为⊙O的直径，·∠ADB-时.∴∠ADC-90. CH-CP-4 ∠DE=∠DAC,,∠CDE+∠C=∠DAC+∠C=,∠AEDn90°. -0.AB-2DE,0D-是AB,六00-DE“∠00C DC=BD,OA-O8,∴OD∥AC∠ODF-∠AFD-0.OD1FFDE 是△XE的外角，∠=∠B0D=∠0C=0, 专题特训风与圆有关的综合问圆 为⊙O的切线 ∠C是△C0E的%角，.∠ACC=∠C+∠E=G+20=0. 1,C2.3 &D复21aD:2与5 3解：(1)AC=D.C=D六AB=,∠D8C ∠CBE一CE.△EBC是等覆三角形，《2)如图，作⊙O的 11.期，1)O0⊥AC,:D=.÷∠ABD=∠CBD, 直径AF,连结BF,OC.OD.,AF是⊙O的直径，，∠ABF 即BD平分∠A以：(2)连结CE为⊙)的切线.O (第4避图) 第5题图) (第6题图 90:∠P-∠ACB,mF-m∠ACB-夏-∠F ⊥CE∠OE=0,AB为直径，∠ACB=0,H 5正明：连结OD.,'AD∥CC,,∠OD-∠AD0,∠CB一∠L,O4- ∠OCA+∠0B=90,∠OC8+∠BE=0,∴.∠OCA ∠ACB=0,AB4,AF=2AH=&0M=0F=号AF=4,即⊙0的半 OD,∠ADO∠A.∠XD=∠CB又O=OC,OD=Ou,△D ∠BCE,OM=OC,CA=CE,,∠OCA-∠A,∠A=∠E.∠BCE-∠E ☑△OCBASA5).OWDC-∠OBCBC1AB,8C-90..∠OWDC- ,∠AC-∠BCE+∠E,即2∠ABD=2∠E,,∠ABD=∠E,BD/CE 径为4由(I)知∠DBC-∠ACB-3,二∠C-2∠DBC-6.4CD 90.,OD⊥CD.,CD是⊙O的切线 -鲁 18 6证明：连结5，AM是⊙O的切线，QA是⊙O的半径，∠D40=时，” 专题特训化习邀课一切线的性质与判定的塔合运用 OD/BE,.∠MOD=∠O8E,∠DE=∠OEB,CB=OE,,∠OEB 4常5胃 Q4=0E 1B2C是B41&353 6解：们)2，(2)当⊙P与边BC相切时，登切点为B,连绍 ∠OE∴∠A0-∠DOE,在△AD和△D中，∠AOD-∠D.. 6解：《1)连结OECE是⊙0的树线，OE⊥议二 PE,图PE⊥BC,ABAC,点P在边AC上，，回P与AE aD-0D. ∠OED+∠BEC=0.∠ACB=0',∠CDB+∠CBE 相切.义，⊙P与C附切于点E,,BE-AB一3.到边形 △A2△2DSAS),∠D=∠D=0.DE与⊙0相切 .'0E-O0.∴.∠OED-∠GDE:∠OE-∠CDB, ACD为平行四边形，，-AD=5C=2设AP=PE-x,则PC=4 7,证明：过点O作OE⊥AC于点E,结OD,Q凡A8与⊙O相切干点D, ∠OED=∠CDB.∴∠BEC-∠CBE,CE-C(2)设⊙O 工，在R△PE中，由幻眼定理，额十=(4一，解根 六AB⊥OD.△ABC为等服三角形，D是张边C的中成.，D是∠BAC .CD 寻，AP-音，3)当回P过点D时，盗结PD设AP-,则 的零分线，又G0上AB,OE1AC,克=OD,即常是⊙O的米径AC 的半径为”∠BC一∠CBE,m∠BEC-号，∴a∠CBD 是⊙0的切. 安CD=4.BC=点·C=8在R△OC中，OC=(0E+C,即+ PD=x,PC=4一x.在R△PCD中，由匀最定厘，得(4一x)于+ 4)=2十8.解得一6，事⊙0的半轻为6. 3F-之，新得：一登，即AP-票⊙P与平行四边形ABD四边公共点的情 7.解，(1D直线BE与⊙O相切.理由如下，连结OD.,CD与 足如下：当<AP<安爱<AP<时：有2个公共点：当AP=昌或AP-要 ⊙O制切于点D,∠ODE=9,:ADA0E,∠ADO (第7题图) (第8题图】 ∠DE:∠DO=∠R(D=OM.∠AD0=∠DAQ 时，有8个公共点：当毫<A<要时，有4个公共点 一135 -138 -137