专题特训六 圆中常见辅助线的作法-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版）

专题特训六 圆中常见辅助线的作法 类型①构造同弧所对的圆周角 类型③遇90°圆周角构造直径 1.如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直 5.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若 径，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数为 ⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为 A.4 A.20° B.40° B.8 C.50 D.60° C.22 D.42 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，∠ABC=90°，AD=CD,过A作⊙O (第1题图) (第2题图) 的切线交CD的延长线于点P 2.如图，在△ABC中，∠A=45°，⊙0为 (1)求∠P的度数； (2)若AB=6,BC=8,求PA,PD的长 △ABC的外接圆，如果BC=4,那么⊙O 的半径为 类型② 遇直径构造90°圆周角 3.(鞍山中考)如图，AB为⊙O的直径，C, D为⊙O上的两点.若∠ABD=54°，则 ∠C的度数为 A34° B.36 C.46° D.54° (第3题图) (第4题图) 4.如图，在以AE为直径的⊙O中，过点A 作∠A=30°，交⊙O于点B.已知AB= 8,点C为AB的中点，连结EC,则EC= ·10· 类型④利用同圆半径构造等腰三角形 类型⑥ 遇切线构造过切点的半径 7.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 10.(岳阳模拟)如图，在锐角 弦，AB,CD的延长线交于点E,若AB= △ABC中，AC=12,以 2DE,∠C=40°，求∠E及∠AOC的 AC为直径作⊙O,交BC 度数 边于点M,M是BC的中 点，过点M作⊙O的切线交AB于 点N. (1)若∠A=50°，则CM= (2)若MN=4,则tan∠BMN= 11.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦， OD⊥AC交⊙O于点D,连结BD,BC. (1)求证：BD平分∠ABC; (2)过点C作⊙O的切线交AB的延长 线于点E,AC=CE,求证：BD∥CE. 类型⑤利用垂径定理构造直角三角形 8.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过原 点O,并且分别与x轴、y轴相交于A,B 两点，已知A(-3,0),B(0,4),则⊙P的 半径为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2.5 D P /D E O (第8题图) (第9题图) 9.如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交 于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,且 ∠DEB=60°，则CD的长为 cm. ·11…专题特训五证明线的两种方法 &证明，连结CAM,过点O作ON⊥CD于点N.,图边形ACD是正方形，， ∴，∠DOg=∠0B,D-OB,OE-OE,,△DOEa△E(8AS). 1.正明：连结0L:∠B=60,∠A0C-10.∠AOP-00A-0C, ∠CD-90,CA平分∠BCD.⊙O与BC相切，六OM⊥BC又：ON1CD, ∠0E-∠0DE-90.:0B是⊙0的半径，÷直线E与⊙0相：2)设 =N,QV是⊙0的半经，D与⊙0相切 ⊙0的半经为，在△0C中，0+D心=0.+4=(+2，∴r ∠QC-∠ACP-5∠OP-a0,义AP-C,∴∠P-∠ACP-3,品 3,∴AB=2r=6,∴C=AC+AH=+6=a,由I)得△DF2△B仪深，∴DE ∠PA0-1一3一80=0..CM⊥AP.,.PA是⊙0的娇线 专题特训六圆中常见辅助线的作法 -BE在R△CE中.B十BE一CE,8+BE《4+DE,.A十DE 1B22恒3B4厘5D =(4+DED2.DE=6. 8解，》连站OE.:AB-AC,∠B-∠COF-OC,∠C 6解：1)连结AC∠AC=0.AC为⊙O的直径 -∠OFC÷,∠O℃=∠B.OF∥A且.G⊥AB,.PG1 ,∠ADC-9.HAD=CD,.∠ACD=∠CAD-452 (岸又F是半径..是⊙0的切线：〔2)连结E,过点0 第1题图) (第2题置) (第3题国) PA为回O的切线，CA⊥PA,∠PAC=o,∠P 作OH LCF于点H,,G-1,BF一3，∠BGF-9,FG- 1明：连结OB.CD为⊙0的直径，：∠CED一90，即∠C20十∠0ED 时-∠ACD-45(2》在R1△ABC中，AC- B一BG-可-2克.⊙O与AB相切于点E,∴O迟⊥AH.又”AB 90.Cm0E.∠C=∠C∠C+∠ED=0,∠PED=∠C ∠PED+∠OED-0,即∠OEP-90.,∴OE⊥PE∴.PE是回O的切线 vAB+C=√/+8=1a∠P=∠AP=4,PA=CA=10,若 ⊥GF,O⊥GF,.国边形GFOE是矩形.0E=GF-22.,OF=OC 3F明，连结OP.AB=AC,,∠B=∠C:OP=0相，.∠B=∠OPB ∠C=0,△MPD为等提直角三角看.PD-号AP=号×10=5包 2 CF.CH--Hwcm800寸-器 ∠OPB=∠C,OP∥ACPD⊥AC,OP⊥PD,PD是⊙O的切线 7.解：结00：0C-00.∠C=0,∴∠0DC-∠C 4.正明：连结ODAB为⊙O的直径，·∠ADB-时.∴∠ADC-90. CH-CP-4 ∠DE=∠DAC,,∠CDE+∠C=∠DAC+∠C=,∠AEDn90°. -0.AB-2DE,0D-是AB,六00-DE“∠00C DC=BD,OA-O8,∴OD∥AC∠ODF-∠AFD-0.OD1FFDE 是△XE的外角，∠=∠B0D=∠0C=0, 专题特训风与圆有关的综合问圆 为⊙O的切线 ∠C是△C0E的%角，.∠ACC=∠C+∠E=G+20=0. 1,C2.3 &D复21aD:2与5 3解：(1)AC=D.C=D六AB=,∠D8C ∠CBE一CE.△EBC是等覆三角形，《2)如图，作⊙O的 11.期，1)O0⊥AC,:D=.÷∠ABD=∠CBD, 直径AF,连结BF,OC.OD.,AF是⊙O的直径，，∠ABF 即BD平分∠A以：(2)连结CE为⊙)的切线.O (第4避图) 第5题图) (第6题图 90:∠P-∠ACB,mF-m∠ACB-夏-∠F ⊥CE∠OE=0,AB为直径，∠ACB=0,H 5正明：连结OD.,'AD∥CC,,∠OD-∠AD0,∠CB一∠L,O4- ∠OCA+∠0B=90,∠OC8+∠BE=0,∴.∠OCA ∠ACB=0,AB4,AF=2AH=&0M=0F=号AF=4,即⊙0的半 OD,∠ADO∠A.∠XD=∠CB又O=OC,OD=Ou,△D ∠BCE,OM=OC,CA=CE,,∠OCA-∠A,∠A=∠E.∠BCE-∠E ☑△OCBASA5).OWDC-∠OBCBC1AB,8C-90..∠OWDC- ,∠AC-∠BCE+∠E,即2∠ABD=2∠E,,∠ABD=∠E,BD/CE 径为4由(I)知∠DBC-∠ACB-3,二∠C-2∠DBC-6.4CD 90.,OD⊥CD.,CD是⊙O的切线 -鲁 18 6证明：连结5，AM是⊙O的切线，QA是⊙O的半径，∠D40=时，” 专题特训化习邀课一切线的性质与判定的塔合运用 OD/BE,.∠MOD=∠O8E,∠DE=∠OEB,CB=OE,,∠OEB 4常5胃 Q4=0E 1B2C是B41&353 6解：们)2，(2)当⊙P与边BC相切时，登切点为B,连绍 ∠OE∴∠A0-∠DOE,在△AD和△D中，∠AOD-∠D.. 6解：《1)连结OECE是⊙0的树线，OE⊥议二 PE,图PE⊥BC,ABAC,点P在边AC上，，回P与AE aD-0D. ∠OED+∠BEC=0.∠ACB=0',∠CDB+∠CBE 相切.义，⊙P与C附切于点E,,BE-AB一3.到边形 △A2△2DSAS),∠D=∠D=0.DE与⊙0相切 .'0E-O0.∴.∠OED-∠GDE:∠OE-∠CDB, ACD为平行四边形，，-AD=5C=2设AP=PE-x,则PC=4 7,证明：过点O作OE⊥AC于点E,结OD,Q凡A8与⊙O相切干点D, ∠OED=∠CDB.∴∠BEC-∠CBE,CE-C(2)设⊙O 工，在R△PE中，由幻眼定理，额十=(4一，解根 六AB⊥OD.△ABC为等服三角形，D是张边C的中成.，D是∠BAC .CD 寻，AP-音，3)当回P过点D时，盗结PD设AP-,则 的零分线，又G0上AB,OE1AC,克=OD,即常是⊙O的米径AC 的半径为”∠BC一∠CBE,m∠BEC-号，∴a∠CBD 是⊙0的切. 安CD=4.BC=点·C=8在R△OC中，OC=(0E+C,即+ PD=x,PC=4一x.在R△PCD中，由匀最定厘，得(4一x)于+ 4)=2十8.解得一6，事⊙0的半轻为6. 3F-之，新得：一登，即AP-票⊙P与平行四边形ABD四边公共点的情 7.解，(1D直线BE与⊙O相切.理由如下，连结OD.,CD与 足如下：当<AP<安爱<AP<时：有2个公共点：当AP=昌或AP-要 ⊙O制切于点D,∠ODE=9,:ADA0E,∠ADO (第7题图) (第8题图】 ∠DE:∠DO=∠R(D=OM.∠AD0=∠DAQ 时，有8个公共点：当毫<A<要时，有4个公共点 一135 -138 -137