专题特训三 圆中常见辅助线的作法生形-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年九年级下册数学（沪科版）

美旺明.连楼OP.,AB-AC,∠B-∠C0P=OB.∠B-∠0PR,7.解：连接O0.,0C-0D,∠C=40,·∠0DC-∠C 专题特训五圆中的分类讨论思想 ∠OPB=∠C,P∥AC#PD⊥ACOP⊥PDPD是⊙O的切战 -4.AB-2DE,OD-AB,∴CD-DE∠GC 1.C2.C 3解：连接Q4,O服P4,PB是⊙0的两条切线， 是△D0E的外角.“∠E-∠BOD-∠0DC-w.: ∠P0=∠P0=0°，∠APB=0'.∠班= ∠AC是△QOE的外角，'∠AOC-∠C+∠E-0+2-0 I3C.当点C在优氧AB上时，∠AC闭-专∠AOB-45 (第3题图) 《第4题图) D261aa号xz3- 当点C在劣线AB上时∠ACB-号×(360-10)=11，∠ACB的度数 4证明：连接O”AB为⊙0的直整，∠ADB=90,∠ADC=90,” 11.旺期，100⊥AC,÷D=.占∠AD=∠CBD, ∠CDE-∠DAC,·∠CDE+∠C-∠DAC+∠C-w.∴∠AED-0H 为每减15 即BD平分∠AC:2)连接(CCE为⊙O的切线，，O C=BD,0A=沿，，OD/AC,∠GDF-∠AED=0°.，OD⊥EF.,DE 4.C54+7孩4-7 ⊥CB∠OCE-9.AB为直径，∠ACB-. 为回0的切线 6解：当点O在△AC内部时，如图心，连接（两，0A,延长AO交C于D, ∠OCM+∠0CB=0',∠OCH+∠BCE=0,∠0CA= 5.证n:连接O0.,AD∥OC,.∠D=∠ADO,∠COB ∠EM=(C,CA=CE,∠CA∠A,∠A=∠E∠E=∠E ⊙O是等腰△ABC的外接圆，BC-8,÷ADLC,BD-DC-是BC-4.在 ∠A.M=(D,∠AD0=∠A,∠C0=∠C退又O -OC,OD-08,△C2△OCB(5AS),.∠ODC=∠0BC ∠AC∠BCE+∠E,即2∠ABD=∠E,÷∠ABD-∠E..BD/CE R△CD中，由勾段定理得()m√一4■3，C边上的高AD=O十 C⊥AB,.∠0C=90.,∠0DC=0 OD LCD,CD OD=5十3=8：当点D在△AC外器时，如图②，此时AD一AO一OD一33 是⊙O的切线 专恩特训四习愿课一切战的性质与判定的综合运用 ■2，BC边上的高为8减2 系正明，连接O忠.？AM是回O的切线，QM是回O的半径. ∠DAD-0.HD∥BE,÷∠AOD-∠OBE,∠D0E 1B2CB41&15-8 ∠是k(B=OE,.∠EB=∠OBE∠AD=∠DE 6解：1)援OE?CE是⊙O的切线，.OE⊥C 0A-0E, ∠OED十∠BC=90,,∠ACB=90',.∠TDB+∠CBE 90,O悲0D.,∠OED■∠DE∠ODE=∠CDB, 围D 图 在△AOD和△ED中，〈∠A0D=∠OD,.△AO0a 7.相切域相交8.0m或0cm OD-OD. ∠OED=∠CDR,∠BEC=∠CBE.,CE-BC:(2)设⊙O 生，解：当线Λ绕点B按顺时针方向旋钟0成1如时与 △DD3AS).∠DAO-∠DPO-0”.∴.DE与⊙O相切 的半径为r.:∠BEC-∠CEE,1m∠BEC= ∴m∠cB0-全是 D ⊙O相螺到由如下：如图，当场点在C上方时，设切点为 7,证明：过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,QL.AH与⊙O相相于点D, AB⊥OD,"△ABC为等腰三角形，O是蜜边C的中点.AO是∠BAC 是CD-4,BC-意4EC-8在R△OEC中，OC-OE+EC,即(r+ 下，连接0OF,则0e上BR在△0BF中，n∠0BF-8器 的平分线.又：OD LAB,0E⊥AC,.0E=OD,即C第是⊙0的半径，AC 《)=十+8.解得一6，释⊙0的半径为6. 是⊙0的切线 室六∠0BF-0,·∠A8F-0.当切点在BC下方时.如 7.解：(1)直线E与回0相切.理由如下：壶接D:CD与 图，设切点为F,连接0P,易得∠AF一90+3切°一120，，当谢线BA能点 ⊙0相切于点D,∠(E■90，ADE.∠AD) H授聪时针方（旋转60或10时与回O相切. ∠DOE,∠DA0=∠2O服O0=0M.“:∠ADO=∠DAO I0.解，如图①，AB=10m,(0Mr01=35,Of=3mAM=2c ,.∠DOE=∠0.，OD=0B,0E-E,,△D0E@ CM-C-Cf-4m∴，AC-,√M+Af-25cm (第T题图》 (第多题图) △SAS)..∠CBE-∠DE-0时.C湖是回O的布径，'.直线BE与 ⊙0图制，(2)段⊙0的半轻为r,在我△(C中，行+D=0,+4 如图②，AM-OA+0M-8m,AC-/C+UF-45m笨上，效AC 保证明：连接W,过点O作ONLD于点N,:四边形AD是正方那， ∠BCD-0',CA平分∠BCD.⊙O与BC相切，OM⊥BC.又ON⊥CD, =(r+2)2。r=3.AB=2r=6.C=AC十A自=2+6=&南《I)得 的长为25■或4v5m (M(Y.ON是⊙O的半径D与⊙)相切 △DOA△BOE,,DE-BE在R△，BCE中，BC+BE=CF,,8+B四 -(4+DEP.M十DE=(4十DE,,DE一8. 专题特训三圆中常见辅助线的作法 8解：(1)连接F,AB=AC.∠B=∠G:=C,∠C 1.B22w23B41项D ∠是C∠(O异℃=∠H,(∥A&G⊥AH,G⊥ O艰.又，QF是半径，，G是⊙O的切线：《2)连楼OE,过点O 第10随图》 (第11想图) (第12题图) 6.解，(1》连接AC∠AC=0,AC为⊙O的直径， 作OW⊥CF于点.BG-1,BF-s,∠EGF-o°，G= 1L,解，如图，作OELAB于E,长0交CD于F,则AE-3mCF=4m ·∠AC-0.AD-CD.∴∠ACD=∠CAD=45. √HF一度？=√9一1=2V反：⊙0与AB相切于点E,E⊥AR又AB C5-5一了-4(m).Gf-,一下一3(m》.当丙平行弦AB,CD在圆 PA为⊙O的切战，，CA⊥PA,∠PAC=90.∠P ⊥GF,Of⊥GF,四边形GO呢是每形.OE-GP-2反O成-OC 心O的同朝时，AB与D之间的使离为EF=(常一(=4一3=1(m),当两 90°一∠AD=5:(2)在R:△ABC中：AC■ 平行弦AB,CD在图心O的异到时，AB与CD之间的离为EF一O虑+O原一 VAF+C-干8-10.：∠P-∠ACP-45,·PA=CA-1a 2及又01kG-m6-m8喂-部.号-得· 4十3=7(m》,AB与C7D之闻的克离为1m复7m ∠AC-0,△APD为等段直角三角形.PD-要AP-受×0-5，元 C- 12.解：如图，分别休OD.LAB于D,OELAC于E.AD-BD-号AE-CE 一124 125 120专题特训三 圆中常见辅助线的作法 类型① 构造同狐所对的圆周角 类型③遇90{圆周角构造直径 1.如图,AB为△ADC的外接圆O的直 5.如图,O是正方形ABCD的外接圆,若 O的半径为4,则正方形ABCD的边长为 径,若 BAD50*,则 ACD的度数为 ( _ _。 A.4 A.20* B.40* B.8 C.50* D.60* C.22 D.4v2 6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边 形, ABC=90*,AD=CD,过A作C (第1题图) (第2题图) 的切线交CD的延长线于点P 2.如图,在△ABC中,A=45{*},O为 (1)求 P的度数 八ABC的外接圆,如果BC三4,那么C (2)若AB-6,BC-8,求PA,PD的长 的半径为 类型② 遇直径构造90圆周角 3.(鞍山中考)如图,AB为⊙O的直径,C D为⊙O上的两点,若 ABD=54^{*,则 。 C的度数为 _。 A.34* B.36* C.46* D.54* (第3题图) (第4题图) 4.如图,在以AE为直径的⊙O中,过点A 作 A=30{*},交O于点B.已知AB 8,点C为AB的中点,连接EC,则EC .4. 类型 利用同圆半径构造等腰三角形 类型 遇切线构造过切点的半径 7.如图,AB是O的直径,CD是O的 10.(岳阳模拟)如图,在锐角 弦,AB,CD的延长线交于点E,若AB △ABC中,AC三12,以 2DE,C-40,求E及AOC的 AC为直径作⊙O,交BC 度数. 边于点M,M是BC的中 点,过点M作O的切线交AB于 点N. (1)若 A-50{*},则CM (2)若MN-4,则tan BMN- 11.如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦 OD|AC交O于点D,连接BD,BC. (1)求证:BD平分ABC; (2)过点C作⊙O的切线交AB的延长 线于点E,AC=CE,求证:BD//CE 类型 利用垂径定理构造直角三角形 8.如图,在平面直角坐标系中,P经过原 点O,并目分别与x轴、v轴相交于A,B 两点,已知A(-3,0),B(0,4),则P的 半径为 ( A.5 C.3 B.4 D.2.5 (第8题图) (第9题图) 9.如图,在⊙O中,直径AB和弦CD相交 于点E,已知AE-1cm,EB=5cm,且 DEB一60{,则CD的长为 cm. .5.