18.2.2 菱形(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （ 人教版 ）数学 ∴∠FEG＝∠EFH ， ∴EG∥HF ， ∴ 四边形 EGFH 是平行 四边形 . （ 2 ） 如图 1 ， 连 接 GH ， 由 （ 1 ） 得 AG＝BH ， AG∥BH ， ∠B＝ 90° ， ∴ 四 边 形 ABHG 是 矩 形 ， ∴GH＝AB＝6. ① 如图 1 ， 当四边形 EGFH 是矩形时 ， EF＝GH＝6. ∵AE＝CF＝t ， ∴EF＝10-2t＝6 ， ∴t＝2. ② 如图 2 ， 当四边形 EGFH 是矩形时 ， ∵EF＝GH＝6 ， AE＝CF＝ t ， ∴EF＝t +t-10＝2t-10＝6 ， ∴t＝8. 综上 ， 四边形 EGFH 为矩形时 t＝2 或 t＝8. 12. （ 1 ） 证明 ： 连接 DE ， 在 Rt△ADB 中 ， 点 E 是 AB 的中点 ， ∴DE＝ 1 2 AB ＝ AE . ∵CD ＝ AE ， ∴DE ＝DC. 又 DG ⊥CE ， ∴CG＝EG. （ 2 ） 解 ： 作 EF⊥BC 于点 F ， ∵BC＝13 ， CD＝5 ， ∴BD＝13-5＝8. ∵DE＝BE ， EF⊥BC ， ∴DF＝BF＝4 ， ∴EF＝ DE 2 -DF 2 姨 ＝ 5 2 -4 2 姨 ＝3 ， ∴S △EDC ＝ 1 2 ×CD×EF＝ 1 2 ×5×3＝ 7.5. 13. 证明 ： 由题可知 ， ∵O 是边 AB 的中点 ， ∴OA＝ OB. 在 △AOD 和 △BOC 中 ， ∠AOD=∠BOC ， OA=OB ， ∠A=∠B B ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴△AOD≌ △BOC （ ASA ）， ∴DA＝CB. ∵∠A＝∠B＝90° ， ∴DA∥CB ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵∠A＝90° ， ∴ 四边 形 ABCD 是矩形 . 14. （ 1 ） 证明 ： ∵ 在 △ABC 中 ， AB＝AC ， D 是 BC 的中点 ， ∴AD⊥BC ， 即 ∠ADC＝∠ADB＝90° . ∵CE∥ AD ， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°. ∵AE⊥AD ， ∴∠EAD＝90° ， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90° ， ∴ 四边形 ADCE 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 在 △ABC 中 ， AB＝AC ， D 是 BC 的中 点 ， BC＝4 ， ∴BD＝CD＝ 1 2 BC＝2. 由 （ 1 ） 可知 ， 四边形 ADCE 是矩形 ， ∴AE＝CD＝2 ， ∠AEC＝90°. 在 Rt△AEC 中 ， AE＝2 ， CE＝3 ， 由勾股定理得 ， AC＝ AE 2 +CE 2 姨 ＝ 13 姨 . ∵EF⊥AC ， 由三角形的面积公式得 ， S △AEC ＝ 1 2 AC · EF＝ 1 2 AE · CE ， ∴EF＝ AE · CE AC ＝ 2×3 13 姨 = 6 13 姨 13 . 18.2.2 菱形 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 邻边 四条边 垂直 对角 1. A 2. D 3. 30° 【 例 1 】 55° 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为菱形 ， ∴BA＝BC ， ∠ABD＝∠CBD. 在 △ABE 和 △CBE 中 ， BA=BC ， ∠ABD=∠CBD ， BE=BE E ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌△CBE （ SAS ）， ∴AE＝ CE. （ 2 ） 解 ： 设 ∠BAP＝α. ∵△ABE≌△CBE ， ∴ ∠BAP＝∠BCE＝α. ∵AE＝PC ， AE＝CE ， ∴PC＝CE ， ∴∠CPE＝∠CEP＝ 1 2 （ 180°-∠BCE ） ＝90°- 1 2 α. ∵ ∠CPE 是 △ABP 的一个外角 ， ∠ABC＝45° ， ∴ ∠CPE＝∠ABC+∠BAP ， ∴90°- 1 2 α＝45°+α ， ∴α＝ 30° ， ∴∠BAP＝α＝30°. 1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. 4.8 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB＝AD ， ∠B＝ ∠D. 在 △ABE 和 △ADF 中 ， ∠B=∠D ， ∠AEB=∠AFD ， AB=AD B ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌ △ADF （ AAS ）， ∴BE＝DF. 8. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD∥ BC ， BC＝AD ， ∴∠D＝∠ECF ， ∠DAE＝∠F. ∵E 是 CD 的中点 ， ∴DE＝CE ， ∴△ADE≌△FCE （ AAS ）， ∴AD＝ CF ， ∴BC＝CF. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 BC＝CF ， ∵BC＝AB＝2 ， ∴BF＝ 2BC＝4. ∵AE⊥AB ， ∴∠BAF＝90° ， ∴AF＝ BF 2 -AB 2 姨 ＝2 3 姨 ， ∴S △ABF ＝ 1 2 AB · AF＝2 3 姨 . 9. B 10. 3 姨 +1 11. 解 ： （ 1 ） 如图 1 ， 连接 BD ， 交 AC 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴BO＝DO ， AO＝ 1 2 AC＝4 5 姨 ， AC⊥BD ， ∴OD＝ AD 2 -AO 2 姨 ＝ 10 2 - （ 4 5 姨 ） 2 姨 ＝2 5 姨 ， ∴BD＝4 5 姨 ， ∴S 菱形 ABCD ＝ 1 2 GA D CHB E F 图 2 第 12 题答图 O E D C B FA 图 1 第 11 题答图 G C D F B E A GA D CHB F E 图 1 66 参 考 答 案 ×8 5 姨 ×4 5 姨 ＝80. （ 2 ） ① 当 ∠EFB＝90° 时 ， 如图 2 ， ∵∠EFB＝90° ， ∴S 菱 形 ABCD ＝10 ×DF ＝80 ， ∴DF ＝8 ， ∴AF ＝ AD 2 -DF 2 姨 ＝ 100-64 姨 ＝6 ， ∴BF＝4. ∵AC 垂直平分 BD ， ∴DE＝BE. ∵BE 2 ＝EF 2 +BF 2 ， ∴EF 2 +4 2 ＝ （ 8-EF ） 2 ， 得 EF＝3. 在 △AEF 中 ， AE＝ 6 2 +3 2 姨 ＝3 5 姨 . ② 当 ∠BEF＝90° 时 ， 如图 3 ， 连接 BD 交 AC 于点 O ， 则 △EDB 是等腰 直 角 三 角 形 ， BD ＝ 4 5 姨 ， ∴OE＝2 5 姨 ， ∴AE＝2 5 姨 . ③ 当 ∠FBE＝90° 时 ， 如图 4 ， ∵AE 2 ＝BE 2 +AB 2 ， AE · OB＝BA · BE ， ∴AE 2 ＝BE 2 +100 ， 2 5 姨 AE＝10BE ， ∴AE＝ 5 5 姨 . 综上 ， AE 的长为 3 5 姨 或 2 5 姨 或 5 5 姨 . 12. D 13. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD＝CD ， ∵AE⊥CD ， CF⊥AD ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. 在 △AED 与 △CFD 中 ， ∠AED=∠CFD ， ∠D=∠D ， AD=CD D ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△AED≌△CFD （ AAS ）， ∴DE＝DF ， ∴AD-DF＝CD-DE ， ∴AF＝CE. 18.2.2 菱形 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 相等 互相垂直 四条边相等 1. B 2. A 3. 24 【 例 1 】 B 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵AB∥CD ， ∴∠CAB＝ ∠DCA. ∵AC 为 ∠DAB 的 平 分 线 ， ∴∠CAB ＝ ∠DAC ， ∴∠DCA＝∠DAC ， ∴CD＝AD. ∵AB＝AD ， ∴AB＝CD. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四 边形 . ∵AD＝AB ， ∴荀ABCD 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， ∴AC⊥BD ， OA＝OC＝ 1 2 AC ， OB＝OD＝ 1 2 BD ， ∴OB＝ 1 2 BD＝3. 在 Rt△AOB 中 ， ∠AOB ＝90° ， ∴OA ＝ AB 2 -OB 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∵CE⊥AB ， ∴∠AEC＝90°. 在 Rt△AEC 中 ， ∠AEC＝ 90° ， O 为 AC 中点 ， ∴OE= 1 2 AC=OA＝4. 1. A 2. A 3. D 4. D 5. 2 3 姨 6. （ 1 ） 证明 ： ∵ 点 D 是 BC 的中点 ， ∴BD＝CD. ∵DF＝ED ， ∴ 四边形 BFCE 是平行四边形 . ∵ 点 D ， E 分别是边 BC ， AC 的中点 ， ∴DE 是 △ABC 的中位线 ， ∴DE∥AB ， ∴∠CDE＝∠ABC＝90° ， 即 DE⊥BC ， ∴ 四边 形 BFCE 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵BC＝6 ， EF＝3 ， ∴BD= 1 2 BC=3 ， ED= 1 2 EF= 3 2 . ∵DE 是 △ABC 的中位线 ， ∴AB＝2DE＝3 ， ∴AD= AB 2 +BD 2 姨 =3 2 姨 . 7. （ 1 ） 证明 ： 在 △ABC 中 ， ∠ABC＝90° ， 点 D 为 AC 的中点 ， ∴AD＝BD＝CD＝ 1 2 AC. ∵ 四边形 BCDE 是平 行四边形 ， ∴BE＝CD ， BE∥CD ， ∴BE＝AD ， BE∥AD ， ∴ 四边形 AEBD 是平行四边形 . ∵AD＝BD ， ∴ 四边形 AEBD 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵BC=4 3 姨 ， 四边形 BCDE 是平行四边 形 ， ∴DE＝BC＝4 3 姨 . ∵ 四边形 AEBD 是菱形 ， ∴AB⊥ DE ， OE＝ 1 2 DE＝2 3 姨 ， ∠EAO＝ 1 2 ∠DAE＝60° ， ∴ ∠AEO＝30° ， ∴AE＝2AO. ∵AE 2 ＝AO 2 +OE 2 ， ∴ （ 2AO ） 2 ＝ AO 2 + （ 2 3 姨 ） 2 ， ∴AO＝2 ， ∴AB＝4 ， ∴S 菱 形 AEBD ＝ 1 2 AB · DE= 1 2 ×4×4 3 姨 =8 3 姨 . 8. D 9. C 10. （ 1 ） 证明 ： ∵AE∥BF ， ∴∠BCA＝∠CAD. ∵AC 平分 ∠BAD ， ∴∠BAC＝∠CAD ， ∴∠BCA＝∠BAC ， ∴ △BAC 是等腰三角形 ， ∴AB＝CB. ∵∠CBD＝∠ABD＝ ∠BDA ， ∴△ABD 也是等腰三角形 ， ∴AB＝AD ， ∴DA＝ O E D C B FA O E D C B FA 图 2 D C A O E B F 图 3 图 4 第 11 题答图 67 平行四边形 第十八章 知识梳理 形成联系 【知识点】 菱形的定义与性质 ◎ 菱形的定义：有一组 相等的平行四边形是菱形. ◎ 菱形的性质：菱形的 都相等. ◎ 菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线平分一组 . 1. 如图 18.2-12 ， 在菱形 ABCD 中， P ， Q 分别是 AD ， AC 的中点， 如果 PQ＝2 ， 那么菱形 ABCD 的周长是 （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 菱形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 如图 18.2-13 ， 菱形 ABCD 中， ∠1＝15° ， 则 ∠BAD＝ . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.2-14 ， 菱形 ABCD 中， ∠B＝70° ， AB 的垂直平分线交 对角线 AC 于点 E ， 连接 DE ， 则 ∠ADE 的度数是 . 【点拨】 根据菱形的性质可得 ∠DAB＝180°-70°＝110° ， ∠DAC＝∠BAC＝ 55° ， 再证明 ∠EAB＝∠EBA＝55° ， 最后结合菱形的轴对称的性质可得答案 . 【例 2 】 如图 18.2-15 ， 在菱形 ABCD 中， 点 P 是 BC 边上的点， 连接 AP 交对角线 BD 于 点 E ， 连接 EC. （ 1 ） 求证： AE＝CE. （ 2 ） 若 ∠ABC＝45° ， AE＝PC ， 求 ∠BAP 的度数 . 【点拨 】 （ 1 ） 根据菱形性质得 BA＝BC ， ∠ABD＝∠CBD ， 进而可依据 “ SAS ” 判定 △ABE 和 △CBE 全等 ， 然后根据全等三角形的性质可得出结论 . （ 2 ） 设 ∠BAP＝α ， 由 △ABE≌△CBE ， 得 ∠BAP＝∠BCE＝α ， 根据 AE＝PC ， AE＝CE ， 得 PC＝CE ， 则 ∠CPE＝∠CEP＝ 1 2 （ 180°-∠BCE ） ＝90°- 1 2 α ， 再根据三角形外角定理 ∠CPE＝∠ABC+∠BAP ， 得 90°- 1 2 α＝45° +α ， 解出 α 即可得出 ∠BAP 的度数 . 18.2.2 菱形 （第一课时） 图 18.2-12 图 18.2-13 A B C D P Q 1 A B C D 图 18.2-14 A B C D E M 图 18.2-15 A B C D E P 69 八年级下册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 菱形 PQRS 中， PR＝8 ， SQ＝6 ， 则菱形 PQRS 的边长为 （ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 2. 如图， 菱形 ABCD 的边长为 4 ， ∠B＝120° ， 则菱形 ABCD 的面积为 （ ） A. 6 B. 4 3 姨 C. 8 3 姨 D. 12 3. 在菱形 ABCD 中， ∠ABC＝80° ， BA＝BE ， 则 ∠BAE＝ （ ） A. 70° B. 40° C. 75° D. 30° 4. 如图， 在菱形 ABCD 中， ∠A＝100° ， 点 E ， F 分别是边 AB ， BC 的中点， EP⊥CD 于 点 P ， 则 ∠FPC 的度数是 （ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 30° 5. 如图， 在菱形 ABCD 中， CE 垂直平分 AB ， 若 AE＝4 ， 则 BD 的长为 （ ） A. 8 B. 8 2 姨 C. 8 3 姨 D. 6 3 姨 6. 如图， 四边形 ABCD 为菱形， BD＝6 cm ， AC＝8 cm ， 过点 O 作 EF⊥AB 分别交 AB ， CD 于点 E ， F ， 则 EF 的长为 cm. 7. 如图， 在菱形 ABCD 中， 点 E ， F 分别在边 BC 和 CD 上， 且 ∠AEB＝∠AFD. 求证： BE＝DF. 第 3 题图第 2 题图第 1 题图 S P Q R A B C D A B C D E 第 6 题图第 5 题图第 4 题图 A B C D E F P A B C D E A B C D E F O 第 7 题图 A B C D E F 70 平行四边形 第十八章 8. 如图， 在菱形 ABCD 中， E 是 CD 的中点， 连接 AE 并延长， 交 BC 的延长线于点 F. （ 1 ） 求证： BC＝CF. （ 2 ） 若 AB＝2 ， AE⊥AB ， 求 △ABF 的面积 . 能力提升 综合拓展 9. 如图， 菱形 ABCD 的边长为 2 ， ∠A＝45° ， 分别以点 A 和点 D 为圆心， 大于 1 2 AD 的 长为半径作弧， 两弧相交于 M ， N 两点， 直线 MN 交 AB 于点 E ， 连接 CE ， 则 CE 的长为 （ ） A. 4 B. 6 姨 C. 2 2 姨 D. 10 姨 10. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 边长为 2 的菱形 ABCD 的顶点 A ， B 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上移动， 若 ∠ABC＝60° ， 则 OC 的最大值是 . A B C D E F 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 A B C D O x y A B C D E M N 71 八年级下册 （人教版）数学 11. 如图， 点 E 为菱形 ABCD 对角线 AC 上一点， 直线 DE 交射线 AB 于点 F ， AD＝10 ， AC＝8 5 姨 . （ 1 ） 求此菱形的面积 . （ 2 ） 当 △BEF 是直角三角形时， 求 AE 的长 . 中考链接 真题演练 12. （ 2024 ·海南） 如图 ， 菱形 ABCD 的边长为 2 ， ∠ABC＝ 120° ， 边 AB 在数轴上， 将 AC 绕点 A 顺时针旋转， 点 C 落在数 轴上的点 E 处， 若点 E 表示的数是 3 ， 则点 A 表示的数是 （ ） A. 1 B. 1- 3 姨 C. 0 D. 3-2 3 姨 13. （ 2024 ·济南） 如图， 在菱形 ABCD 中， AE⊥CD ， 垂足为点 E ， CF⊥AD ， 垂足为点 F. 求证： AF＝CE. 第 12 题图 第 13 题图 A B C D E A B C D E F 备用图 A B C D E F A B C D E F 第 11 题图 72