18.1.2平行四边形的判定(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 平行四边形的判定 （利用边的关系） ◎ 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.（定义） ◎ 两组对边分别 的四边形是平行四边形. ◎ 一组对边 且 的四边形是平行四边形. 如图 18.1-9 ， 下列四组条件中， 不能判定四边形 ABCD 是平行四 边形的是 （ ） A. AB＝DC ， AD＝BC B. AB∥DC ， AD∥BC C. AB∥DC ， AD＝BC D. AB∥DC ， AB＝DC 【知识点 2 】 平行四边形的判定 （利用角的关系） ◎ 两组对角分别 的四边形是平行四边形. 四边形 ABCD 中， ∠A＝∠C ， ∠B＝∠D ， 则下列结论不一定正确的是 （ ） A. ∠A＝∠B B. AD∥BC C. AB＝CD D. 对角线互相平分 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.1-10 ， 已知 荀ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DE∥AC ， CE∥BD ， 若 AC＝3 ， BD＝5 ， 则四边形 OCED 的周长为 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【点拨】 根据平行四边形对角线互相平分得出 OC ， OD 的长， 再证明四边形 OCED 是平 行四边形， 即可利用平行四边形对边相等求解 . 【例 2 】 如图 18.1-11 ， 已知 △ABC 是等边三角形， 点 D ， F 分别在线段 BC ， AB 上 ， ∠EFB＝60° ， EF＝DC. （ 1 ） 求证： 四边形 EFCD 是平行四边形 . （ 2 ） 连接 BE ， 若 BF＝EF ， AD＝6 ， 求 AE 的长度 . 【点拨】 （ 1 ） 由 ∠EFB=∠ABC＝60° ， 不难证明 EF∥DC ， 再由 EF＝DC ， 即可证明四边形 EFCD 是平行四边形 . （ 2 ） 连接 BE ， 先证 △EFB 是等边三角形， 得到 EB＝EF ， ∠FBE＝60° ， 再证 △AEB≌△ADC （ SAS ）， 即可得出 AE＝AD＝6. 18.1.2 平行四边形的判定 （第一课时） 图 18.1-9 A B C D 图 18.1-10 图 18.1-11 A B C D E O A B C D E F 46 平行四边形 第十八章 夯实四基 达标闯关 1. 依据所标数据， 下列一定为平行四边形的是 （ ） 2. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB∥CD ， 若添加一个条件， 使四边形 ABCD 为平行四边 形， 则下列正确的是 （ ） A. AD＝BC B. ∠ABD＝∠BDC C. AB＝AD D. ∠A＝∠C 3. 如图， 在 △ABC 中， AB＝AC＝16 ， 点 E 是 BC 边上任意一点， 过点 E 分别作 AB ， AC 的平行线， 交 AC 于点 F ， 交 AB 于点 D ， 则四边形 ADEF 的周长是 （ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 4. 如图， AD∥BC ， AB＝BD ， 以点 B 为圆心， AD 长为半径的圆弧交 BC 于点 E ， 连接 DE. 若 ∠A＝50° ， 则 ∠BED 的度数为 （ ） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 5. 如图， 荀ABCD 中， E ， F 分别是边 BC ， AD 上的点， 有下列条件： ①AE∥CF ； ② BE＝FD ； ③∠1＝∠2 ； ④AE＝CF. 若要添加其中一个条件， 使四边形 AECF 一定是平行四边 形， 则添加的条件可以是 （填序号） . 6. 如图， AD∥BC ， AB＝BD ， 以点 B 为圆心， AD 长为半径的 圆弧交射线 BC 于点 E ， 连接 DE. 若 ∠BED＝50° ， 则 ∠DBC 的度数 为 . 7. 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠1＝∠2 ， ∠B＝∠D. 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形 . A B C D A B C D 110° 100° 80° 110° 70° 5 5 5 5 110° 70° 5 5 第 4 题图第 3 题图第 2 题图 第 5 题图 A B C D E F A B C D E A B C D E F 1 2 A B C D E 第 6 题图 第 7 题图 A B C D 1 2 47 八年级下册 （人教版）数学 8. 如图， 在由边长为 1 的小正方形组成的 5×6 的网格中， △ABC 的三个顶点均在格点 上， 请按要求解决下列问题 . （ 1 ） 通过计算判断 △ABC 的形状 . （ 2 ） 在图中确定一个格点 D ， 连接 AD ， CD ， 使四边形 ABCD 为平行四边形， 并求出 荀ABCD 的面积 . 9. 已知 △ABC 和 △ADE 均为等边三角形， 点 F ， D 分别在 AC ， BC 上， AF＝CD ， 连接 BF ， EF. 求证： （ 1 ） AD＝BF. （ 2 ） 四边形 BFED 为平行四边形 . 第 8 题图 A B C 第 9 题图 A B C D E F 48 平行四边形 第十八章 能力提升 综合拓展 10. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90° ， BD∥AC ， 点 E 为 Rt△ABC 的斜边 AB 上一点， 连接 DE ， DE＝DB ， 过点 E 作 EF⊥DE ， 交 CA 的延长线于点 F ， 且 EF＝BC ， 连接 FD. 求证： （ 1 ） ∠BDE＝2∠ABC. （ 2 ） 四边形 ABDF 为平行四边形 . 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·湖南） 如图， 在四边形 ABCD 中， AB∥CD ， 点 E 在边 AB 上， . 请从 “ ①∠B=∠AED ； ②AE=BE ， AE=CD ” 这两组条件中任选一组作为已知条件， 填在 横线上 （填序号）， 再解决下列问题 . （ 1 ） 求证： 四边形 BCDE 为平行四边形 . （ 2 ） 若 AD⊥AB ， AD=8 ， BC=10 ， 求线段 AE 的长 . 第 11 题图 A B C D E 第 10 题图 备用图 A B C D E F A B C D E F 49 八年级下册 （ 人教版 ）数学 OD ， AB∥CD ， ∴∠OBE＝∠ODF. 在 △BOE 和 △DOF 中 ， ∠OBE=∠ODF ， OB=OD ， ∠BOE=∠DOF F & & & & % & & & & ' ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ）， ∴BE＝DF. 6. （ 1 ） 解 ： ∵AE⊥BD ， ∴∠AEO＝90° . ∵∠AOE＝ 52° ， ∴∠EAO＝38°. ∵CA 平分 ∠DAE ， ∴∠DAC＝∠EAO＝ 38° . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∴ ∠ACB＝∠DAC＝38°. （ 2 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OA＝ OC. ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠AEO ＝∠CFO ＝90° . ∵ ∠AOE＝∠COF ， ∴△AEO≌△CFO （ AAS ）， ∴AE＝CF. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB ＝OD ， AB∥CD. ∴∠EBO ＝∠FDO. 又 ∵∠BOE ＝ ∠DOF ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ） . ∴OE＝OF. （ 2 ） 解 ： ①∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴OD＝ 1 2 BD＝1 ， OA＝ 1 2 AC＝ 2 姨 . 又 ∵AD＝1 ， ∴AD 2 +OD 2 ＝ OA 2 ， ∴∠ADO＝90° ， ∠AOD＝45° ， ∴α＝90°-45°＝45°. ② 由 （ 1 ） 可得 ， EF 垂直平分 AC ， ∴AF＝FC. 又 AB＝ 1 2 +2 2 姨 ＝ 5 姨 ＝CD ， ∴△ADF 的周长 ＝AD+DF+FA＝ AD+CD＝1+ 5 姨 . 8. 解 ： 如 图 ， OP 是 ∠AOB 的平分线 . 理由 ： 由 四边形 AEBF 是平行四边形 可 以 知 道 AP ＝BP. 又 OA ＝ OB ， 则 OP 是等腰 △OAB 底 边 AB 上 的 中 线 ， ∴OP 是 ∠AOB 的平分线 . 9. B 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平行 相等 平行 相等 C 【 知识点 2 】 相等 A 【 例 1 】 C 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ABC＝60° . ∵∠EFB＝60° ， ∴∠ABC＝∠EFB ， ∴EF∥DC. ∵EF＝DC ， ∴ 四边形 EFCD 是平行四 边形 . （ 2 ） 解 ： 连接 BE ， 如 图所示 . ∵BF＝EF ， ∠EFB＝ 60° ， ∴△EFB 是等边三角 形 ， ∴EB＝EF ， ∠FBE＝60°. ∵DC＝EF ， ∴EB＝DC. ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB＝ 60° ， AB ＝AC ， ∴ ∠ABE ＝ ∠ACD. 在 △AEB 和 △ADC 中 ， EB=DC ， ∠ABE=∠ACD ， AB=AC F & & & & % & & & & ' ， ∴△AEB≌△ADC （ SAS ）， ∴AE＝AD＝6. 1. D 2. D 3. A 4. C 5. ①②③ 6. 50° 7. 证明 ： 在 △ACD 和 △CAB 中 ， ∠1=∠2 ， ∠D=∠B ， AC=CA F & & & & % & & & & ' ， ∴ △ACD≌△CAB （ AAS ）， ∴AB＝CD ， AD＝BC ， ∴ 四边 形 ABCD 是平行四边形 . 8. 解 ： （ 1 ） 由题意可得 ， AB＝ 1 2 +2 2 姨 ＝ 5 姨 ， AC＝ 2 2 +4 2 姨 ＝2 5 姨 ， BC＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5. ∵ （ 5 姨 ） 2 + （ 2 5 姨 ） 2 ＝25＝5 2 ， 即 AB 2 +AC 2 ＝BC 2 ， ∴△ABC 是直角三 角形 . （ 2 ） 过 点 A 作 AD∥ BC ， 过 点 C 作 CD∥AB ， 直线 AD 和 CD 的交点就是 D 的位置 ， 格点 D 的位置 如图所示 ， ∴ 平行四边形 ABCD 的 面 积 为 AB ×AC ＝ 5 姨 ×2 5 姨 ＝10. 9. 证明 ： （ 1 ） ∵△ABC 和 △ADE 均为等边三角 形 ， ∴AB＝AC ， ∠BAF＝∠C＝60°. 又 ∵AF＝CD ， ∴△ABF≌ △CAD （ SAS ）， ∴AD＝BF. （ 2 ） 如图 ， 设 AC 与 DE 相交于点 H ， 由 （ 1 ） 知 ， BF＝AD ， ∵△ADE 是等边三 角形 ， ∴AD＝DE ， ∴BF＝DE. ∵∠C＝∠AED＝60° ， ∠DHC＝ ∠AHE ， ∴∠CDH＝∠CAE. ∵ ∠CAE+∠DAC＝∠CBF+∠ABF＝ 60° ， ∠ABF ＝∠DAC ， ∴∠CBF ＝∠CAE ， ∴∠CBF ＝ ∠CDH ， ∴BF∥DE ， ∴ 四边形 BFED 为平行四边形 . 10. 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， BD∥AC ， ∴∠DBC＝ 180°-∠ACB＝90° ， ∴∠DBE+∠ABC＝90°. ∵DE＝DB ， ∴ ∠BDE＝180°-2∠DBE＝180°-2 （ 90°-∠ABC ） ＝2∠ABC. （ 2 ） 如图 ， 过点 F 作 FH⊥EF ， 交 BA 的延长线于 点 H ， ∵EF⊥DE ， ∴∠AEF +∠DEB ＝90° . ∵∠ABC + ∠DBE＝90° ， ∠DEB＝∠DBE ， ∴∠ABC＝∠FEH. 在 △HEF A BE F O P 第 8 题答图 A B C D E F 例 2 题答图 A B C D 1 2 第 7 题答图 A B C D 第 8 题答图 A B C D E F H 第 9 题答图 62 参 考 答 案 和 △ABC 中 ， ∠HEF=∠ABC ， EF=BC ， ∠HFE=∠ACB B % % % % $ % % % % & ， ∴△HEF≌△ABC （ ASA ） ， ∴ ∠BAC＝∠H＝∠FAH ， HE＝AB ， ∴HE-AE＝AB-AE ， 即 AH＝BE. ∵BD∥AC ， ∴∠DBE＝∠DEB＝ ∠BAC＝∠FAH＝∠H. 在 △FAH 和 △DBE 中 ， ∠FAH=∠DBE ， AH=BE ， ∠H=∠DEB B % % % % B % % % % & ， ∴ △FAH ≌ △DBE （ ASA ）， ∴FA＝BD. ∵FA∥BD ， ∴ 四边形 ABDF 为平行 四边形 . 11. （ 1 ） 证明 ： 选择 ① 或 ② ， 证明如下 ： 选择 ① ， ∵∠B=∠AED ， ∴BC∥DE. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . 选择 ② ， ∵AE=BE ， AE=CD ， ∴BE=CD. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 ， 四边形 BCDE 为平行四边 形 ， ∴DE =BC =10. ∵AD ⊥AB ， ∴ ∠A =90° ， ∴AE = DE 2 -AD 2 姨 = 10 2 -8 2 姨 =6 ， 即线段 AE 的长为 6. 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 C 【 例 】 证明 ： ∵AC⊥BE ， AC⊥DF ， ∴∠BEO＝ ∠DFO＝90°. 在 △BEO 与 △DFO 中 ， ∠EOB=∠FOD ， ∠BEO=∠DFO ， BE=DF F % % % % B % % % % & ， ∴△BEO≌△DFO （ AAS ） ， ∴EO＝FO ， BO＝DO. 又 ∵AF ＝CE ， ∴AF -FO ＝CE -EO ， ∴AO ＝CO. 又 ∵BO＝DO ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 1. B 2. C 3. C 4. D 5. 2 6. OB＝OD （ 或 AD∥BC 或 AB∥CD ） 7. 平行四边形 8. 证明 ： （ 1 ） ∵AC∥BD ， ∴∠C＝∠D ， 在 △AOC 和 △BOD 中 ， ∠C=∠D ， ∠COA=∠DOB ， OA=OB B % % % % B % % % % & ， ∴ △AOC ≌ △BOD （ AAS ）， ∴OD＝OC. （ 2 ） ∵OD＝OC ， E ， F 分别是 OC ， OD 的中点 ， ∴OF＝ 1 2 OD ， OE＝ 1 2 OC ， ∴EO＝FO. 又 ∵OA＝OB ， ∴ 四 边形 AFBE 是平行四边形 . 9. 证明 ： （ 1 ） ∵∠E＝∠F ， ∴AD∥BC. ∵AD＝BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AC ， BD 互相平分 ， 即点 O 是线段 AC 的中点 . （ 2 ） ∵AD∥BC ， ∴∠EAC＝∠FCA ， 在 △OAE 和 △OCF 中 ， ∠EAO=∠FCO ， AO=CO ， ∠AOE=∠COF B % % % % B % % % % & ， ∴△OAE≌△OCF （ ASA ）， ∴OE＝OF. 又 ∵OA＝OC ， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 . 10. 解 ： （ 1 ） 正确的方案有 3 种 . （ 2 ） ① 方案甲 . 连接 AC ， 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形 ， O 为 BD 的中 点 ， ∴OB＝OD ， OA＝OC. ∵BN＝ NO ， OM＝MD ， ∴NO＝OM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案甲正确 . ② 方案乙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB＝ CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN⊥BD ， CM⊥ BD ， ∴AN∥CM ， ∠ANB＝∠CMD. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， ∠ANB=∠CMD ， AB=CD B % % % % B % % % % & ， ∴ △ABN ≌ △CDM （ AAS ） ， ∴AN＝CM. 又 ∵AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边 形 ， 故方案乙正确 . ③ 方案丙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ ∠BAD＝∠BCD ， AB＝CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN 平分 ∠BAD ， CM 平分 ∠BCD ， ∴∠BAN＝∠DCM. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， AB=CD ， ∠BAN=∠DCM B % % % % B % % % % & ， ∴△ABN≌ △CDM （ ASA ）， ∴AN＝CM ， ∠ANB＝∠CMD ， ∴∠ANM＝ ∠CMN ， ∴AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案丙正确 . 11. D 12. D 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第三课时 ） 【 知识点 】 中点 平行于 一半 1. A 2. B 3. 证明 ： 选择方法一 . ∵ 在 △ABC 中 ， E 是 边 AC 的中点 . ∴AE＝CE. 在 △AED 和 △CEF 中 ， AE=EC ， ∠AED=∠CEF ， DE=EF B % % % % B % % % % & ， ∴△AED≌△CEF （ SAS ）， ∴CF＝ AD ， ∠DAE＝∠FCE ， ∴CF∥AB. ∵ 点 D 是边 AB 的中点 ， ∴AD＝DB ， ∴CF＝DB ， ∴ 四边形 DBCF 为 平行四边形 ， ∴DF＝BC ， DF∥BC. ∵DE＝ 1 2 DF ， A B C D E F H 第 10 题答图 A B C D M N O 甲 ： 第 10 题答图 63