18.1.1平行四边形的性质(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

参 考 答 案 ∵∠DAE＝45° ， ∴∠DAT＝∠DAE. ∵AD＝AD ， ∴△DAT≌ △DAE （ SAS ）， ∴DT＝DE. ∵DT 2 ＝DB 2 +EC 2 ， ∴DE 2 ＝BD 2 + EC 2 . （ 3 ） 解 ： 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角 形 . 如图 2 ， 与 （ 2 ） 类似 ， 以 CE 为一边 ， 作 ∠ECF＝∠ECB ， 在 CF 上 截 取 CF ＝CB ， 可 得 △CFE ≌ △CBE ， △DCF≌△DCA. ∴AD＝DF ， EF＝BE ， ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+ ∠B＝120°. 若使 △DFE 为等腰三角 形 ， 只需 DF＝EF ， 即 AD＝BE ， ∴ 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角形 ， 且顶角 ∠DFE 为 120°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△OAB 中 ， ∵AB＝15 m ， OA＝ 12 m ， ∴OB＝ AB 2 -OA 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴BE＝ OB+OE＝9+3＝12 （ m ） . 答 ： B 处与地面的距离是 12 m. （ 2 ） 在 Rt△OCD 中 ， ∵CD＝15 m ， OD＝OB+BD＝9+ 3 ＝12 （ m ） ， ∴OC ＝ CD 2 -OD 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴AC＝OA-OC＝12-9＝3 （ m ） . 答 ： 消防车从 A 处向着 火的楼房靠近的距离 AC 为 3 m. 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相等 55° 【 知识点 2 】 对边 对角 相等 距离 1. D 2. A 3. B 【 例 1 】 B 【 例 2 】 证明 ： ∵ 四边形 EFGH 是平行四边 形 ， ∴EF＝GH ， EF∥GH ， ∴∠EFM＝∠GHN. ∵EM⊥ FH ， GN⊥FH ， ∴∠EMF＝∠GNH＝90° . 在 △EMF 和 △GNH 中 ， ∠EFM=∠GHN ， ∠EMF=∠GNH ， EF=GH H + + + + * + + + + , ， ∴△EMF≌△GNH （ AAS ）， ∴EM＝NG. 1. D 2. D 3. A 4. （ 2 ， 2 ） 5. 5 6. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD＝ BC ， AD∥BC ， ∴∠OBF＝∠ODE. ∵AE＝CF ， ∴DE＝BF. ∵ ∠EOD＝∠FOB ， 在 △BOF 和 △DOE 中 ， ∠FOB=∠EOD ， ∠OBF=∠ODE ， BF=DE E + + + + * + + + + , ， ∴△BOF≌△DOE （ AAS ）， ∴OE＝OF. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥DF ， ∴∠BAE ＝∠AFD. ∵AD ＝DF ， ∴∠DAE ＝ ∠AFD ， ∴∠BAE＝∠DAE ， ∴AE 平分 ∠BAD. （ 2 ） 证明 ： ∵ 点 E 为 BC 的中点 ， ∴BE＝EC.∵∠BAE＝ ∠AFD ， ∠AEB＝∠FEC ， ∴△ABE≌△FCE （ AAS ） ， ∴AE＝EF. ∵AD＝DF ， ∴DE⊥AF. （ 3 ） 解 ： 如图 ， 过 点 E 作 EM⊥AD 于点 M ， 设 AM＝x ， 则 DM＝ 14-x. 根据勾股定理 得 13 2 -x 2 ＝15 2 - （ 14-x ） 2 ， 解 得 x ＝5 ， ∴EM = AE 2 -AM 2 姨 =12 ， ∴S 荀ABCD ＝EM · AD＝168. 8. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四 边形 ABCD 为平行四边 形 ， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB＝ ∠EBC. ∵BE 平分 ∠ABC ， ∴∠ABE＝∠EBC ， ∴∠ABE＝ ∠AEB ， ∴AE＝AB. （ 2 ） 解 ： AC ⊥AB ， AB ＝3 ， BC ＝5 ， ∴AC = BC 2 -AB 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4 ， 过点 F 作 FH⊥BC ， 垂足为 H ， ∵BE 平分 ∠ABC ， AC⊥AB ， ∴AF＝FH. ∵S △ABC ＝S △ABF + S △BFC ， ∴ 1 2 AB · AC= 1 2 AB · AF+ 1 2 BC · FH ， 即 1 2 ×3×4= 1 2 ×3 · AF+ 1 2 ×5 · AF ， ∴AF= 3 2 ． 9. 5 10. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥ CD ， AB＝CD ， ∴∠BAE＝∠DCF. 在 △ABE 和 △CDF 中 ， AB=CD ， ∠BAE=∠DCF ， AE=CF E + + + * + + + + , ， ∴△ABE≌△CDF （ SAS ）， ∴BE＝DF. 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 1. A 2. C 3. 17 【 例 1 】 B 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形 ， ∴OA＝OC ， AB∥CD ， ∴∠FCO＝∠EAO ， ∠CFO ＝ ∠AEO. 在 △AOE 和 △COF 中 ， ∠FCO=∠EAO ， ∠CFO=∠AEO ， OA=OC E + + + + * + + + + , ， ∴△AOE≌△COF （ AAS ） . （ 2 ） 解 ： ∵△AOE≌△COF ， ∴OE＝OF ， AE＝ CF ， ∴ 四边形 BCFE 的周长 ＝BE+CF+BC+EF＝BE+ AE+BC+2OE＝AB+BC+2OE＝8+6+2×3＝20. 1. C 2. B 3. B 4. 14.4 5. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB＝ B A C F E D 1 2 第 5 题答图 第 7 题答图 第 8 题答图 图 2 A B C D E F H A B C D E F M 61 平行四边形 第十八章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 平行四边形的定义 ◎ 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“ 荀 ”表示. 如图 18.1-1 ， 在平行四边形 ABCD 中， ∠A＝125° ， 则 ∠D 的度数为 . 【知识点 2 】 平行四边形的性质及两条平行线之间的距离 ◎ 平行四边形的性质：平行四边形的 相等；平行四边形的 相等. ◎ 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 . ◎ 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线之 间的距离. 18.1 平行四边形 第十八章 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 两组对边 分别平行 四边形 平行四边形 一个角是直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 18.1.1 平行四边形的性质 （第一课时） A B C D 图 18.1-1 37 八年级下册 （人教版）数学 1. 若平行四边形中两个内角的度数比为 1 ∶ 2 ， 则其中较大的内角是 （ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 在平行四边形 ABCD 中， AB＝2 cm ， BC＝3 cm ， 则平行四边形 ABCD 的周长为 （ ） A. 10 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 5 cm 3. 如图 18.1-2 ， 在平行四边形 ABCD 中， 若 ∠A＝132° ， 则 ∠C 等 于 （ ） A. 142° B. 132° C. 25° D. 38° 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.1-3 ， 在平面直角坐标系中， 平行四边形 PQMN 的三个 顶点坐标分别是 P （ -5 ， -10 ）， Q （ 15 ， -3 ）， M （ 6 ， 8 ）， 则 N 点坐标是 （ ） A. （ -15 ， 5 ） B. （ -14 ， 1 ） C. （ -14 ， 5 ） D. （ -15 ， 1 ） 【点拨】 根据平移点的坐标变化特征寻求解题方法 . 设 N （ x ， y ）， 根据 平行四边形的性质， 可以将线段 QP 看成平移方向和距离， 结合 P （ -5 ， -10 ）， Q （ 15 ， -3 ）， M （ 6 ， 8 ）， 得出 |x-6|＝|-5-15| ， |y+10|＝|8+3| ， 结合 N 点在第二象限得出 x ， y 的值即可推出 结果 . 【例 2 】 如图 18.1-4 ， 在平行四边形 EFGH 中， EM⊥FH ， GN⊥FH ， 求证： EM＝NG. 【点拨】 由平行四边形的性质得 EF＝GH ， EF∥GH ， 由 AAS 可判定 △EMF≌△GNH ， 再 由全等三角形的性质即可得证 . A B C D 图 18.1-2 图 18.1-3 图 18.1-4 x y O P N M Q E G F H M N 38 平行四边形 第十八章 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 平行四边形 ABCD 中， AB⊥AC ， 若 AB＝3 ， ∠B＝60° ， 则 AD 的长是 （ ） A. 4 B. 5 C. 3 3 姨 D. 6 2. 在平行四边形 ABCD 中， ∠A+∠C＝100° ， 则 ∠B 的度数为 （ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 3. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， CE 平分 ∠BCD 与 AD 交于点 E ， BF 平分 ∠ABC 与 AD 交于点 F ， 若 AD＝13 ， EF＝3 ， 则 CD 长为 （ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 16 4. 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 平行四边形 OABC 的顶点 O （ 0 ， 0 ）， B （ -2 ， 2 ）， A （ -4 ， 0 ）， 则顶点 C 的坐标是 . 5. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， ∠BCD 的平分线交 BA 的延长线于点 E. 若 AE＝1.5 ， CD＝3.5 ， 则 BC 的长为 . 6. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E ， F 分别在 AD ， BC 上， 且 AE＝CF ， EF 与 BD 交 于点 O. 求证： OE＝OF. 第 4 题图 第 5 题图 A B C O x y A B C D E 第 6 题图 A B C D E F O 第 1 题图 第 3 题图 A B C D A B C D E F 39 八年级下册 （人教版）数学 7. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 为 BC 上一点， 连接 AE 并延长交 DC 的延长线 于点 F ， AD＝DF ， 连接 DE. （ 1 ） 求证： AE 平分 ∠BAD. （ 2 ） 若点 E 为 BC 的中点， 求证： DE⊥AF. （ 3 ） 若 AE＝13 ， DE＝15 ， AD＝14 ， 求平行四边形 ABCD 的面积 . 能力提升 综合拓展 8. 在 荀ABCD 中， 对角线 AC⊥AB ， BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E ， 交 AC 于点 F． （ 1 ） 求证： AE＝AB. （ 2 ） 若 AB＝3 ， BC＝5 ， 求 AF 的长 ． 第 8 题图 第 7 题图 A B C D E F A B C D E F 40 平行四边形 第十八章 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·广州） 如图， 平行四边形 ABCD 中， BC＝2 ， 点 E 在 DA 的延长线上， BE＝3 ， 若 BA 平分 ∠EBC ， 则 DE＝ . 10. （ 2024 ·湖北） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E ， F 是对角 线 AC 上的两点， 且 AE＝CF ， 求证： BE＝DF. 第 9 题图 第 10 题图 A B C D E A B C D E F 41