18.1.1 平行四边形的性质(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

参 考 答 案 ∵∠DAE＝45° ， ∴∠DAT＝∠DAE. ∵AD＝AD ， ∴△DAT≌ △DAE （ SAS ）， ∴DT＝DE. ∵DT 2 ＝DB 2 +EC 2 ， ∴DE 2 ＝BD 2 + EC 2 . （ 3 ） 解 ： 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角 形 . 如图 2 ， 与 （ 2 ） 类似 ， 以 CE 为一边 ， 作 ∠ECF＝∠ECB ， 在 CF 上 截 取 CF ＝CB ， 可 得 △CFE ≌ △CBE ， △DCF≌△DCA. ∴AD＝DF ， EF＝BE ， ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+ ∠B＝120°. 若使 △DFE 为等腰三角 形 ， 只需 DF＝EF ， 即 AD＝BE ， ∴ 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角形 ， 且顶角 ∠DFE 为 120°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△OAB 中 ， ∵AB＝15 m ， OA＝ 12 m ， ∴OB＝ AB 2 -OA 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴BE＝ OB+OE＝9+3＝12 （ m ） . 答 ： B 处与地面的距离是 12 m. （ 2 ） 在 Rt△OCD 中 ， ∵CD＝15 m ， OD＝OB+BD＝9+ 3 ＝12 （ m ） ， ∴OC ＝ CD 2 -OD 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴AC＝OA-OC＝12-9＝3 （ m ） . 答 ： 消防车从 A 处向着 火的楼房靠近的距离 AC 为 3 m. 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相等 55° 【 知识点 2 】 对边 对角 相等 距离 1. D 2. A 3. B 【 例 1 】 B 【 例 2 】 证明 ： ∵ 四边形 EFGH 是平行四边 形 ， ∴EF＝GH ， EF∥GH ， ∴∠EFM＝∠GHN. ∵EM⊥ FH ， GN⊥FH ， ∴∠EMF＝∠GNH＝90° . 在 △EMF 和 △GNH 中 ， ∠EFM=∠GHN ， ∠EMF=∠GNH ， EF=GH H + + + + * + + + + , ， ∴△EMF≌△GNH （ AAS ）， ∴EM＝NG. 1. D 2. D 3. A 4. （ 2 ， 2 ） 5. 5 6. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD＝ BC ， AD∥BC ， ∴∠OBF＝∠ODE. ∵AE＝CF ， ∴DE＝BF. ∵ ∠EOD＝∠FOB ， 在 △BOF 和 △DOE 中 ， ∠FOB=∠EOD ， ∠OBF=∠ODE ， BF=DE E + + + + * + + + + , ， ∴△BOF≌△DOE （ AAS ）， ∴OE＝OF. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥DF ， ∴∠BAE ＝∠AFD. ∵AD ＝DF ， ∴∠DAE ＝ ∠AFD ， ∴∠BAE＝∠DAE ， ∴AE 平分 ∠BAD. （ 2 ） 证明 ： ∵ 点 E 为 BC 的中点 ， ∴BE＝EC.∵∠BAE＝ ∠AFD ， ∠AEB＝∠FEC ， ∴△ABE≌△FCE （ AAS ） ， ∴AE＝EF. ∵AD＝DF ， ∴DE⊥AF. （ 3 ） 解 ： 如图 ， 过 点 E 作 EM⊥AD 于点 M ， 设 AM＝x ， 则 DM＝ 14-x. 根据勾股定理 得 13 2 -x 2 ＝15 2 - （ 14-x ） 2 ， 解 得 x ＝5 ， ∴EM = AE 2 -AM 2 姨 =12 ， ∴S 荀ABCD ＝EM · AD＝168. 8. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四 边形 ABCD 为平行四边 形 ， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB＝ ∠EBC. ∵BE 平分 ∠ABC ， ∴∠ABE＝∠EBC ， ∴∠ABE＝ ∠AEB ， ∴AE＝AB. （ 2 ） 解 ： AC ⊥AB ， AB ＝3 ， BC ＝5 ， ∴AC = BC 2 -AB 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4 ， 过点 F 作 FH⊥BC ， 垂足为 H ， ∵BE 平分 ∠ABC ， AC⊥AB ， ∴AF＝FH. ∵S △ABC ＝S △ABF + S △BFC ， ∴ 1 2 AB · AC= 1 2 AB · AF+ 1 2 BC · FH ， 即 1 2 ×3×4= 1 2 ×3 · AF+ 1 2 ×5 · AF ， ∴AF= 3 2 ． 9. 5 10. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥ CD ， AB＝CD ， ∴∠BAE＝∠DCF. 在 △ABE 和 △CDF 中 ， AB=CD ， ∠BAE=∠DCF ， AE=CF E + + + * + + + + , ， ∴△ABE≌△CDF （ SAS ）， ∴BE＝DF. 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 1. A 2. C 3. 17 【 例 1 】 B 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形 ， ∴OA＝OC ， AB∥CD ， ∴∠FCO＝∠EAO ， ∠CFO ＝ ∠AEO. 在 △AOE 和 △COF 中 ， ∠FCO=∠EAO ， ∠CFO=∠AEO ， OA=OC E + + + + * + + + + , ， ∴△AOE≌△COF （ AAS ） . （ 2 ） 解 ： ∵△AOE≌△COF ， ∴OE＝OF ， AE＝ CF ， ∴ 四边形 BCFE 的周长 ＝BE+CF+BC+EF＝BE+ AE+BC+2OE＝AB+BC+2OE＝8+6+2×3＝20. 1. C 2. B 3. B 4. 14.4 5. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB＝ B A C F E D 1 2 第 5 题答图 第 7 题答图 第 8 题答图 图 2 A B C D E F H A B C D E F M 61 八年级下册 （ 人教版 ）数学 OD ， AB∥CD ， ∴∠OBE＝∠ODF. 在 △BOE 和 △DOF 中 ， ∠OBE=∠ODF ， OB=OD ， ∠BOE=∠DOF F & & & & % & & & & ' ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ）， ∴BE＝DF. 6. （ 1 ） 解 ： ∵AE⊥BD ， ∴∠AEO＝90° . ∵∠AOE＝ 52° ， ∴∠EAO＝38°. ∵CA 平分 ∠DAE ， ∴∠DAC＝∠EAO＝ 38° . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∴ ∠ACB＝∠DAC＝38°. （ 2 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OA＝ OC. ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠AEO ＝∠CFO ＝90° . ∵ ∠AOE＝∠COF ， ∴△AEO≌△CFO （ AAS ）， ∴AE＝CF. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB ＝OD ， AB∥CD. ∴∠EBO ＝∠FDO. 又 ∵∠BOE ＝ ∠DOF ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ） . ∴OE＝OF. （ 2 ） 解 ： ①∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴OD＝ 1 2 BD＝1 ， OA＝ 1 2 AC＝ 2 姨 . 又 ∵AD＝1 ， ∴AD 2 +OD 2 ＝ OA 2 ， ∴∠ADO＝90° ， ∠AOD＝45° ， ∴α＝90°-45°＝45°. ② 由 （ 1 ） 可得 ， EF 垂直平分 AC ， ∴AF＝FC. 又 AB＝ 1 2 +2 2 姨 ＝ 5 姨 ＝CD ， ∴△ADF 的周长 ＝AD+DF+FA＝ AD+CD＝1+ 5 姨 . 8. 解 ： 如 图 ， OP 是 ∠AOB 的平分线 . 理由 ： 由 四边形 AEBF 是平行四边形 可 以 知 道 AP ＝BP. 又 OA ＝ OB ， 则 OP 是等腰 △OAB 底 边 AB 上 的 中 线 ， ∴OP 是 ∠AOB 的平分线 . 9. B 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平行 相等 平行 相等 C 【 知识点 2 】 相等 A 【 例 1 】 C 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ABC＝60° . ∵∠EFB＝60° ， ∴∠ABC＝∠EFB ， ∴EF∥DC. ∵EF＝DC ， ∴ 四边形 EFCD 是平行四 边形 . （ 2 ） 解 ： 连接 BE ， 如 图所示 . ∵BF＝EF ， ∠EFB＝ 60° ， ∴△EFB 是等边三角 形 ， ∴EB＝EF ， ∠FBE＝60°. ∵DC＝EF ， ∴EB＝DC. ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB＝ 60° ， AB ＝AC ， ∴ ∠ABE ＝ ∠ACD. 在 △AEB 和 △ADC 中 ， EB=DC ， ∠ABE=∠ACD ， AB=AC F & & & & % & & & & ' ， ∴△AEB≌△ADC （ SAS ）， ∴AE＝AD＝6. 1. D 2. D 3. A 4. C 5. ①②③ 6. 50° 7. 证明 ： 在 △ACD 和 △CAB 中 ， ∠1=∠2 ， ∠D=∠B ， AC=CA F & & & & % & & & & ' ， ∴ △ACD≌△CAB （ AAS ）， ∴AB＝CD ， AD＝BC ， ∴ 四边 形 ABCD 是平行四边形 . 8. 解 ： （ 1 ） 由题意可得 ， AB＝ 1 2 +2 2 姨 ＝ 5 姨 ， AC＝ 2 2 +4 2 姨 ＝2 5 姨 ， BC＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5. ∵ （ 5 姨 ） 2 + （ 2 5 姨 ） 2 ＝25＝5 2 ， 即 AB 2 +AC 2 ＝BC 2 ， ∴△ABC 是直角三 角形 . （ 2 ） 过 点 A 作 AD∥ BC ， 过 点 C 作 CD∥AB ， 直线 AD 和 CD 的交点就是 D 的位置 ， 格点 D 的位置 如图所示 ， ∴ 平行四边形 ABCD 的 面 积 为 AB ×AC ＝ 5 姨 ×2 5 姨 ＝10. 9. 证明 ： （ 1 ） ∵△ABC 和 △ADE 均为等边三角 形 ， ∴AB＝AC ， ∠BAF＝∠C＝60°. 又 ∵AF＝CD ， ∴△ABF≌ △CAD （ SAS ）， ∴AD＝BF. （ 2 ） 如图 ， 设 AC 与 DE 相交于点 H ， 由 （ 1 ） 知 ， BF＝AD ， ∵△ADE 是等边三 角形 ， ∴AD＝DE ， ∴BF＝DE. ∵∠C＝∠AED＝60° ， ∠DHC＝ ∠AHE ， ∴∠CDH＝∠CAE. ∵ ∠CAE+∠DAC＝∠CBF+∠ABF＝ 60° ， ∠ABF ＝∠DAC ， ∴∠CBF ＝∠CAE ， ∴∠CBF ＝ ∠CDH ， ∴BF∥DE ， ∴ 四边形 BFED 为平行四边形 . 10. 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， BD∥AC ， ∴∠DBC＝ 180°-∠ACB＝90° ， ∴∠DBE+∠ABC＝90°. ∵DE＝DB ， ∴ ∠BDE＝180°-2∠DBE＝180°-2 （ 90°-∠ABC ） ＝2∠ABC. （ 2 ） 如图 ， 过点 F 作 FH⊥EF ， 交 BA 的延长线于 点 H ， ∵EF⊥DE ， ∴∠AEF +∠DEB ＝90° . ∵∠ABC + ∠DBE＝90° ， ∠DEB＝∠DBE ， ∴∠ABC＝∠FEH. 在 △HEF A BE F O P 第 8 题答图 A B C D E F 例 2 题答图 A B C D 1 2 第 7 题答图 A B C D 第 8 题答图 A B C D E F H 第 9 题答图 62 八年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 平行四边形的性质 ◎ 平行四边形对角线 . 1. 如图 18.1-5 ， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， 若 AD＝5 ， AC＝10 ， BD＝6 ， 则 △BOC 的周长为 （ ） A. 13 B. 16 C. 18 D. 21 2. 若平行四边形的一边长为 8 cm ， 一条对角线的长为 6 cm ， 则 另一条对角线长 x 的取值范围为 （ ） A. 2 cm＜x＜14 cm B. 5 cm＜x＜11 cm C. 10 cm＜x＜22 cm D. 4 cm＜x＜28 cm 3. 如图 18.1-6 ， 在平行四边形 ABCD 中， EF 过两条对角线的交 点 O ， 若 AB＝4 ， BC＝7 ， OE＝3 ， 则四边形 EFCD 的周长是 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.1-7 ， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相 交于点 O ， 过点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于点 E ， 若 AE＝4 ， DE＝3 ， AB＝5 ， 则 AC 的长为 （ ） A. 3 2 姨 B. 4 2 姨 C. 5 2 姨 D. 5 2 姨 2 【点拨】 连接 EC ， 根据已知条件证明 △EDC 是直角三角形， 进而可得 △AEC 是等腰直角 三角形， 根据勾股定理即可求解 . 【例 2 】 如图 18.1-8 ， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 过点 O 任 作一条直线分别交 AB ， CD 于点 E ， F. （ 1 ） 求证： △AOE≌△COF. （ 2 ） 若 AB＝8 ， BC＝6 ， OE＝3 ， 求四边形 BCFE 的周长 . 【点拨 】 （ 1 ） 根据平行四边形的性质得出 OA＝OC ， AB∥CD ， 则 ∠FCO＝∠EAO ， ∠CFO＝∠AEO ， 即可根据 AAS 证明 △AOE≌△COF. （ 2 ） 根据全等三角形的性质得出 OE＝ OF ， AE＝CF ， 从而可求出四边形 BCFE 的周长 . 18.1.1 平行四边形的性质 （第二课时） 图 18.1-5 图 18.1-6 A B C D O A B C D E F O A B C D E O 图 18.1-7 A B C D E F O 图 18.1-8 42 平行四边形 第十八章 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 则下列结论错误的是 （ ） A. AB ∥ = CD B. OB＝OD C. AB＝AD D. ∠ABC＝∠ADC 2. 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AC＝6 ， BD＝12 ， 则 AD 边的长 度 x 的取值范围是 （ ） A. 2＜x＜6 B. 3＜x＜9 C. 1＜x＜9 D. 2＜x＜8 3. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， 已知 AC+BD＝14 ， CD＝5 ， 则 △AOB 的周长为 （ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 4. 如图， 在 △ABC 中， AB＝BC＝15 ， AC＝18 ， D 是 BC 边上任意一点， 连接 AD ， 以 AD ， CD 为邻边作平行四边形 ADCE ， 连接 DE ， 则 DE 长的最小值为 ________. 5. 如图， 点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 的交点， 经过点 O 的直线分别与 BA 的延长线和 DC 的延长线交于点 E ， F. 求证： BE＝DF. 第 1 题图 A B C D O 第 3 题图 第 4 题图 A B C D O A B C D E 第 5 题图 A B C D E F O 43 八年级下册 （人教版）数学 6. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 分别过点 A ， C 作 AE⊥BD ， CF⊥BD ， 垂足分别为点 E ， F ， AC 平分 ∠DAE. （ 1 ） 若 ∠AOE＝52° ， 求 ∠ACB 的度数 . （ 2 ） 求证： AE＝CF. 能力提升 综合拓展 7. 如图 1 ， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ， EF 过点 O 且与边 AB ， CD 分别相交于点 E 和点 F. （ 1 ） 求证： OE＝OF. （ 2 ） 如图 2 ， 已知 AD＝1 ， BD＝2 ， AC＝2 2 姨 ， ∠DOF＝α. ① 当 α 为多少度时， EF⊥AC ？ ② 在 ① 的条件下， 连接 AF ， 求 △ADF 的周长 . 第 7 题图 图 1 图 2 A B C D E F O A B C D E F O α 第 6 题图 A B C D E F O 44 平行四边形 第十八章 8. 如图， 已知 ∠AOB ， OA＝OB ， 点 E 在 OB 上， 且四边形 AEBF 是平行四边形， 请你只 用无刻度的直尺在图中画出 ∠AOB 的平分线 （保留画图痕迹， 不写画法）， 并说明理由 . 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·贵州） 如图， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 则下列结论 一定正确的是 （ ） A. AB＝BC B. AD＝BC C. OA＝OB D. AC⊥BD 第 8 题图 第 9 题图 A BE F O A B C D O 45