17.2 勾股定理的逆定理(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

勾 股 定 理 第十七章 知识梳理 形成联系 【知识点】 勾股定理及逆定理的实际应用 ◎ 勾股数：满足 a 2+ b 2= c 2的三个 ，称为勾股数. ◎ 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，那么 a 2+ b 2= c 2. ◎ 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2+ b 2= c 2，那么这个三角形是直 角三角形. 1. 下列各组数为勾股数的是 （ ） A. 7 ， 12 ， 13 B. 3 ， 4 ， 7 C. 0.3 ， 0.4 ， 0.5 D. 8 ， 15 ， 17 2. 如图 17.2-2 ， 长方形 BCFG 是一块草地， 折线 ABCDE 是一条人 行道， BC＝12 m ， CD＝5 m. 为了避免行人穿过草地 （走虚线 BD ）， 践 踏绿草， 管理部门分别在 B ， D 处各挂了一块牌子， 牌子上写着 “少走 （ ） 米， 踏之何忍” . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例题点拨 素养导向 【例】 学校在校园一角开辟了一块四边形的 “试验田”， 学生们在课堂上学习理论之余， 还可以到 “试验田” 实际操练， 对生物的发展规律有了更为直观的认识 . 如图 17.2-3 ， 四边 形 ABCD 是规划好的 “试验田”， 经过测量得知 ∠B＝90° ， AB＝24 m ， BC＝7 m ， CD＝15 m ， AD＝20 m. （ 1 ） 求 ∠D 的度数 . （ 2 ） 求四边形 ABCD 的面积 . 【点拨】 （ 1 ） 利用勾股定理计算 AC ， 再利用勾股定理的逆定理判断 △ADC 是直角三角 形 . （ 2 ） 根据 S 四边形 ABCD ＝S △ADC +S △ABC 计算四边形的面积 . 本题考查了勾股定理及其逆定理， 灵活 运用勾股定理及其逆定理是解题的关键 . 17.2 勾股定理的逆定理 （第二课时） A B C D E F G 图 17.2-2 20 m 15 m 24 m D A C B 7 m 图 17.2-3 33 八年级下册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分， 若棋盘中每个小正方形的边长为 1 ， 则 “車” “炮” 两棋子所在格点之间的距离为 （ ） A. 5 姨 B. 3 C. 10 姨 D. 4 10 姨 2. 如图， 在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A ， 在水塔的东南方向 24 m 处有一 建筑工地 B ， 在 AB 间建一条直水管， 则水管的长为 . 3. 为倡导全民运动， 健康成长， 某中学计划翻修学校体育馆 . 有一条从楼顶垂下的绳子， 绳子顶端 A 固定在楼顶部， 绳子自然垂下至楼底还余 2 m ， 当绳子的下端从点 C 拉开 6 m 至点 B 时， 发现绳子下端刚好接触地面 . 求体育馆楼高 AC 的值 . 楚河 界 汉 車 帥 炮 西 东 北 南 O A B 第 2 题图第 1 题图 A B C 第 3 题图 34 勾 股 定 理 第十七章 4. 如图， 在一条东西走向的河的一侧有一村庄 C. 河边原有两个取水点 A ， B ， 其中 AB＝ AC ， 由于某种原因， 由 C 到 A 的路现在已经不通， 该村为方便村民取水， 决定在河边新建 一个取水点 H （点 A ， H ， B 在一条直线上）， 并新修一条路 CH ， 测得 CB＝100 m ， CH＝80 m ， HB＝60 m. （ 1 ） CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路线？ 请通过计算加以说明 . （ 2 ） 求原来的路线 AC 的长 . 能力提升 综合拓展 5. 请阅读下列材料： 如图 1 ， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC＝90° ， AB＝AC ， 点 D ， E 分别为线 段 BC 上两动点， 若 ∠DAE＝45°. 探究线段 BD ， DE ， EC 三条线段之间的数量关系 . 小明的思 路是： 把 △AEC 绕点 A 顺时针旋转 90° ， 得到 △ABE′ ， 连接 E′D ， 使问题得到解决 . 请你参 考小明的思路探究并解决下列问题 . （ 1 ） 猜想 BD ， DE ， EC 三条线段之间存在的数量关系， 直接写出你的猜想 . （ 2 ） 当动点 E 在线段 BC 上， 动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时， 如图 2 ， 其他条件 不变， （ 1 ） 中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明 . （ 3 ） 如图 3 ， 等边 △ABC 中， 点 D ， E 在边 AB 上， 且 ∠DCE＝30° ， 请你找出一个条件， 使线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角形， 并求出此时等腰三角形顶角的度数 . A B H C 第 4 题图 第 5 题图 B A CD E A CD EB B A C D E 图 1 图 2 图 3 35 八年级下册 （人教版）数学 中考链接 真题演练 6. （ 2023 ·辽阳） 消防车上的云梯示意图如图 1 所示， 云梯最多只能伸长到 15 m ， 消防 车高 3 m. 如图 2 ， 某栋楼发生火灾， 在这栋楼的 B 处有一老人需要救援， 救人时消防车上 的云梯伸长至最长， 此时消防车的位置 A 与楼房的距离为 12 m. （ 1 ） 求 B 处与地面的距离 . （ 2 ） 完成 B 处的救援后， 消防员发现在 B 处的上方 3 m 的 D 处有一名儿童没有及时撤 离， 为了能成功地救出儿童， 则消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离 AC 为多少米？ A 消防车 C O B D 楼 房 E F 地面 图 1 图 2 第 6 题图 36 八年级下册 （ 人教版 ）数学 6 姨 -1. ∵∠BCE＝90° ， ∴DE＝ CD 2 +CE 2 姨 ＝ 8-2 6 姨姨 . ② 点 D 在线段 BC 的延长线上时 ， 如图 2 ， ∵AB＝ AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 +1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE＝BD＝ 6 姨 +1. ∵∠BCE＝90° ， ∴∠ECD＝ 90° ， ∴DE ＝ 1 2 + （ 6 姨 +1 ） 2 姨 ＝ 8+2 6 姨姨 . 综上所述 ， DE 的 长为 8-2 6 姨姨 或 8+2 6 姨姨 . 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相反 互逆 逆命题 证明 逆 定理 1. D 2. A 【 知识点 2 】 a 2 +b 2 =c 2 1. D 2. C 【 例 】 证明 ： ∵E 为 BC 的中点 ， AB＝BC＝CD＝ DA ， AB＝4 ， ∴BE＝CE＝2 ， BC＝CD＝DA＝4. ∵CF＝1 ， ∴DF＝3. ∵∠B＝∠C＝∠D＝90° ， ∴AE＝ AB 2 +BE 2 姨 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， EF ＝ CE 2 +CF 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 ， AF＝ AD 2 +DF 2 姨 ＝ 4 2 +3 2 姨 ＝5. ∵AE 2 +EF 2 ＝ 20+5＝25 ， AF 2 ＝5 2 ＝25 ， ∴AE 2 +EF 2 ＝AF 2 ， ∴∠AEF＝ 90°. 1. 两个角相等的三角形是等腰三角形 真 2. C 3. 解 ： 如图 ， 连接 AB ， ∵∠ACB＝90° ， AC＝4 ， BC＝3 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =5. 又 ∵BD＝ 12 ， AD＝13 ， ∴AB 2 +BD 2 ＝169＝ AD 2 ， ∴∠ABD＝90° ， ∴△ABD 是直角三角形 ， ∴ 阴影部分的 面积为 1 2 ×AB×BD- 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×5×12- 1 2 ×4×3=24. 4. 解 ： 设 AB ＝3x cm ， CB ＝4x cm ， CA ＝5x cm ， ∴3x+4x+5x＝72 ， ∴x＝6 ， ∴AB＝18 cm ， CB＝24 cm ， CA＝ 30 cm. ∵AB 2 +CB 2 ＝18 2 +24 2 ＝900 ， CA 2 ＝30 2 ＝900 ， ∴AB 2 + CB 2 ＝CA 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠B＝90°. 当 t＝ 4 时 ， BM＝AB-AM＝18-2×4＝10 （ cm ） ， BN＝3×4＝ 12 （ cm ）， ∴S △BMN = 1 2 BM · BN=60 cm 2 ， ∴ 经过 4 s 时 ， △BMN 的面积为 60 cm 2 . 5. （ 1 ） 证明 ： ∵∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAC- ∠DAC＝∠DAE-∠DAC ， ∴∠EAC＝∠BAD. ∵AB＝AC ， AD＝AE ， ∴△ACE≌△ABD （ SAS ）， ∴CE＝BD. （ 2 ） 解 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴BD＝EC＝4. ∵BC 2 ＝ AC 2 +AB 2 ＝2 2 +2 2 ＝8 ， CD 2 ＝ （ 2 2 姨 ） 2 ＝8 ， BD 2 ＝4 2 ＝16 ， ∴BC 2 + CD 2 ＝BD 2 ， ∴∠BCD＝90°. ∵∠ACB＝45° ， ∴∠ACD＝∠BCD+ ∠ACB＝135°. （ 3 ） 2 10 姨 . 6. 解 ： （ 1 ） ∵AB 2 +AC 2 ＝20 2 +15 2 ＝625 ， BC 2 ＝25 2 ＝ 625 ， ∴AB 2 +AC 2 ＝BC 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠BAC＝ 90° . ∵∠MAC＝40° ， ∴∠NAB＝180°-∠BAC-∠MAC＝ 180°-90°-40°＝50°. （ 2 ） ∵AD⊥BC ， ∴S △ABC ＝ 1 2 BC · AD＝ 1 2 AC · AB ， ∴ 1 2 ×25AD＝ 1 2 ×15×20 ， ∴AD＝12. 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 正整数 1. D 2. B 【 例 】 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， AB＝24 m ， BC＝7 m ， ∴AC= 24 2 +7 2 姨 =25 （ m ） . 在 △ADC 中 ， CD＝15 m ， AD＝20 m ， AC＝25 m ， ∵CD 2 +AD 2 ＝ 15 2 +20 2 ＝25 2 ＝AC 2 ， ∴△ADC 为直角三角形 ， ∴ ∠D＝90°. （ 2 ） ∵△ADC 是直角三角形 ， ∴S △ADC = 1 2 × AD×DC= 1 2 ×20×15=150 （ m 2 ） . ∵S △ABC = 1 2 ×AB× BC= 1 2 ×24×7=84 （ m 2 ）， ∴S 四边形 ABCD =S △ADC +S △ABC = 150+84=234 （ m 2 ） . 1. C 2. 40 m 3. 解 ： 设体育馆楼高 AC＝x m ， 则绳子长为 AB＝ （ x+2 ） m ， 在 Rt△ABC 中 ， AB 2 ＝AC 2 +BC 2 ， ∴ （ x+2 ） 2 ＝ x 2 +6 2 ， 解得 x＝8. 答 ： 体育馆楼高 AC 的值为 8 m. 4. 解 ： （ 1 ） 是 . 理由 ： 在 △CHB 中 ， ∵CH 2 +BH 2 ＝ 60 2 +80 2 ＝100 2 ， BC 2 ＝100 2 ， ∴CH 2 +BH 2 ＝BC 2 ， ∴CH⊥AB ， ∴CH 是从村庄 C 到河边的最近路线 . （ 2 ） 设 AC＝x m ， 在 Rt△ACH 中 ， 由已知得 AC＝ x ， AH＝x-60 ， CH＝80 ， 由勾股定理得 AC 2 ＝AH 2 +CH 2 ， ∴x 2 ＝ （ x-60 ） 2 +80 2 ， 解得 x＝ 250 3 . 答 ： 原来的路线 AC 的 长为 250 3 m. 5. （ 1 ） 解 ： DE 2 ＝BD 2 +EC 2 . （ 2 ） 证明 ： DE 2 ＝BD 2 + EC 2 仍然成立 . 如图 1 ， 将 △EAC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △TAB ， 连接 DT ， ∴∠ABT ＝∠C ＝45° ， AT ＝ AE ， ∠TAE＝90°. ∵∠ABC＝ 45° ， ∴∠TBC＝∠TBD＝90°. C A B E D 图 2 第 6 题答图 A C DB 第 3 题答图 T A CD EB 图 1 60 参 考 答 案 ∵∠DAE＝45° ， ∴∠DAT＝∠DAE. ∵AD＝AD ， ∴△DAT≌ △DAE （ SAS ）， ∴DT＝DE. ∵DT 2 ＝DB 2 +EC 2 ， ∴DE 2 ＝BD 2 + EC 2 . （ 3 ） 解 ： 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角 形 . 如图 2 ， 与 （ 2 ） 类似 ， 以 CE 为一边 ， 作 ∠ECF＝∠ECB ， 在 CF 上 截 取 CF ＝CB ， 可 得 △CFE ≌ △CBE ， △DCF≌△DCA. ∴AD＝DF ， EF＝BE ， ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+ ∠B＝120°. 若使 △DFE 为等腰三角 形 ， 只需 DF＝EF ， 即 AD＝BE ， ∴ 当 AD＝BE 时 ， 线段 DE ， AD ， EB 能构成一个等腰三角形 ， 且顶角 ∠DFE 为 120°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△OAB 中 ， ∵AB＝15 m ， OA＝ 12 m ， ∴OB＝ AB 2 -OA 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴BE＝ OB+OE＝9+3＝12 （ m ） . 答 ： B 处与地面的距离是 12 m. （ 2 ） 在 Rt△OCD 中 ， ∵CD＝15 m ， OD＝OB+BD＝9+ 3 ＝12 （ m ） ， ∴OC ＝ CD 2 -OD 2 姨 ＝ 15 2 -12 2 姨 ＝9 （ m ）， ∴AC＝OA-OC＝12-9＝3 （ m ） . 答 ： 消防车从 A 处向着 火的楼房靠近的距离 AC 为 3 m. 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相等 55° 【 知识点 2 】 对边 对角 相等 距离 1. D 2. A 3. B 【 例 1 】 B 【 例 2 】 证明 ： ∵ 四边形 EFGH 是平行四边 形 ， ∴EF＝GH ， EF∥GH ， ∴∠EFM＝∠GHN. ∵EM⊥ FH ， GN⊥FH ， ∴∠EMF＝∠GNH＝90° . 在 △EMF 和 △GNH 中 ， ∠EFM=∠GHN ， ∠EMF=∠GNH ， EF=GH H + + + + * + + + + , ， ∴△EMF≌△GNH （ AAS ）， ∴EM＝NG. 1. D 2. D 3. A 4. （ 2 ， 2 ） 5. 5 6. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD＝ BC ， AD∥BC ， ∴∠OBF＝∠ODE. ∵AE＝CF ， ∴DE＝BF. ∵ ∠EOD＝∠FOB ， 在 △BOF 和 △DOE 中 ， ∠FOB=∠EOD ， ∠OBF=∠ODE ， BF=DE E + + + + * + + + + , ， ∴△BOF≌△DOE （ AAS ）， ∴OE＝OF. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥DF ， ∴∠BAE ＝∠AFD. ∵AD ＝DF ， ∴∠DAE ＝ ∠AFD ， ∴∠BAE＝∠DAE ， ∴AE 平分 ∠BAD. （ 2 ） 证明 ： ∵ 点 E 为 BC 的中点 ， ∴BE＝EC.∵∠BAE＝ ∠AFD ， ∠AEB＝∠FEC ， ∴△ABE≌△FCE （ AAS ） ， ∴AE＝EF. ∵AD＝DF ， ∴DE⊥AF. （ 3 ） 解 ： 如图 ， 过 点 E 作 EM⊥AD 于点 M ， 设 AM＝x ， 则 DM＝ 14-x. 根据勾股定理 得 13 2 -x 2 ＝15 2 - （ 14-x ） 2 ， 解 得 x ＝5 ， ∴EM = AE 2 -AM 2 姨 =12 ， ∴S 荀ABCD ＝EM · AD＝168. 8. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四 边形 ABCD 为平行四边 形 ， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB＝ ∠EBC. ∵BE 平分 ∠ABC ， ∴∠ABE＝∠EBC ， ∴∠ABE＝ ∠AEB ， ∴AE＝AB. （ 2 ） 解 ： AC ⊥AB ， AB ＝3 ， BC ＝5 ， ∴AC = BC 2 -AB 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4 ， 过点 F 作 FH⊥BC ， 垂足为 H ， ∵BE 平分 ∠ABC ， AC⊥AB ， ∴AF＝FH. ∵S △ABC ＝S △ABF + S △BFC ， ∴ 1 2 AB · AC= 1 2 AB · AF+ 1 2 BC · FH ， 即 1 2 ×3×4= 1 2 ×3 · AF+ 1 2 ×5 · AF ， ∴AF= 3 2 ． 9. 5 10. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥ CD ， AB＝CD ， ∴∠BAE＝∠DCF. 在 △ABE 和 △CDF 中 ， AB=CD ， ∠BAE=∠DCF ， AE=CF E + + + * + + + + , ， ∴△ABE≌△CDF （ SAS ）， ∴BE＝DF. 18.1.1 平行四边形的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 1. A 2. C 3. 17 【 例 1 】 B 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形 ， ∴OA＝OC ， AB∥CD ， ∴∠FCO＝∠EAO ， ∠CFO ＝ ∠AEO. 在 △AOE 和 △COF 中 ， ∠FCO=∠EAO ， ∠CFO=∠AEO ， OA=OC E + + + + * + + + + , ， ∴△AOE≌△COF （ AAS ） . （ 2 ） 解 ： ∵△AOE≌△COF ， ∴OE＝OF ， AE＝ CF ， ∴ 四边形 BCFE 的周长 ＝BE+CF+BC+EF＝BE+ AE+BC+2OE＝AB+BC+2OE＝8+6+2×3＝20. 1. C 2. B 3. B 4. 14.4 5. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB＝ B A C F E D 1 2 第 5 题答图 第 7 题答图 第 8 题答图 图 2 A B C D E F H A B C D E F M 61