17.1 勾股定理(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

参 考 答 案 分 ∠CAB ， ∴DE＝DC. 在 △ABC 中 ， ∵∠C＝90° ， BC＝8 ， AC＝6 ， ∴AB＝10. 设 CD＝x ， 则 DE＝CD＝x ， BD＝8-x ， 在 Rt△ACD 与 Rt△AED 中 ， ∵ CD=DE ， AD=AD D ， ∴Rt△ACD≌ Rt△AED （ HL ）， ∴AE＝AC＝6 ， ∴BE＝4. 在 Rt△BED 中 ， ∵DE 2 +EB 2 ＝DB 2 ， 即 x 2 +4 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝3 ， ∴S △ABD ＝ 1 2 AB · DE＝ 1 2 ×10×3＝15. 6. 解 ： 此车没有超速 . 理由如下 ： 如图 ， 过点 C 作 CH⊥MN 于点 H ， ∵∠CBN＝ 60° ， ∴∠BCH ＝30° . ∵BC ＝ 200 m ， ∴BH＝100 m. ∵CH 2 + BH 2 =BC 2 ， ∴CH=100 3 姨 m. ∵∠CAN ＝45° ， ∴AH =CH = 100 3 姨 m ， ∴AB=100 3 姨 -100≈73 （ m ） . ∵60 km/h＝ 50 3 m/s 且 73 6 < 50 3 ， ∴ 此车没有超速 . 17.1 勾股定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. D 2. B 3. C 4. D 5. 解 ： ∵CB ＝60 m ， AC ＝20 m ， AC⊥AB ， ∴AB＝ 60 2 -20 2 姨 ＝40 2 姨 （ m ） . 【 例 】 解 ： ∵AB ＝DE ＝2.5 m ， BC ＝1.5 m ， ∠C ＝90 ° ， ∴AC ＝ AB 2 -BC 2 姨 ＝ 2 . 5 2 -1 . 5 2 姨 ＝ 2 （ m ） . 设 AE 的长为 x m ， 依题意得 CE＝AC-x= 2 -x. ∵BD ＝0.5 m ， ∴CD=CB+BD=2 m ， ∴ 在 Rt△ECD 中 ， CE＝ DE 2 -CD 2 姨 ＝ 2.5 2 - （ 1.5+0.5 ） 2 姨 ＝1.5 （ m ） ， ∴2 -x＝1.5 ， ∴x＝0.5 ， 即 AE＝0.5 m. 答 ： 滑杆顶端 A 下滑 0.5 m. 1. A 2. D 3. C 4. 解 ： 设 AB＝x m ， ∵∠ABD＝ 90° ， ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 根据勾股定理得 x 2 +5 2 ＝ （ x+1 ） 2 ， 解得 x＝12 ， ∴AB 的长为 12 m. 答 ： 旗杆 AB 的长为 12 m. 5. 解 ： 展开后由题意得 ∠C＝90° ， AC＝3×10+3×6＝48 ， BC＝55 ， 由勾股 定理得 AB＝ AC 2 +BC 2 姨 ＝ 48 2 +55 2 姨 ＝ 73 （ cm ） . 答 ： 最短路线的距离为 73 cm. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， BC= AB 2 -AC 2 姨 = 324-24 姨 =10 3 姨 （ m ） . 答 ： 该斜 坡的坡高 BC 长为 10 3 姨 m. （ 2 ） ∵∠α＝60° ， ∴∠AMN＝ 30° ， ∴AM＝2AN. ∵ 在 Rt△AMN 中 ， AN 2 +MN 2 ＝AM 2 ， ∴AN 2 +300＝4AN 2 ， ∴AN＝10 m ， ∴AM＝20 m ， ∴AM-AB＝ 20-18＝2 （ m ） . 答 ： 长度增加了 2 m. 17.1 勾股定理 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 1. B 2. A 【 知识点 2 】 1. D 2. 解 ： 由已知 ， △ADE 沿 DE 翻折 ， A ， B 两点重合 ， ∴AE=BE. 设 CE＝x ， 则 AE＝BE＝8-x. 在 Rt△BCE 中 ， BC 2 +CE 2 ＝BE 2 ， ∴6 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝ 7 4 . 答 ： CE 的长为 7 4 . 【 例 】 解 ： 设 EC 的长为 x cm ， 则 DE＝ （ 8-x ） cm. ∵△ADE 折叠后的图形是 △AFE ， ∴AD＝AF ， ∠D ＝∠AFE. 又 ∵AE =AE ， ∴△AFE≌△ADE ， ∴DE＝EF. ∵AD＝BC＝10 cm ， ∴AF＝AD＝10 cm. 又 ∵AB＝8 cm ， 在 Rt△ABF 中 ， 根据勾股定理 ， 得 AB 2 +BF 2 ＝AF 2 ， ∴8 2 +BF 2 ＝10 2 ， ∴BF＝6 cm. ∴FC＝ BC-BF＝10-6＝4 （ cm ） . 在 Rt△EFC 中 ， 根据勾 股定理 ， 得 FC 2 +EC 2 ＝EF 2 ， ∴4 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， ∴x＝3. 答 ： EC 的长为 3 cm. 1. C 2. 2 6 姨 3. 3 4. D 5. 解 ： 连接 DF ， 在长 方形 ABCD 中 ， ∵AE 平分 ∠BAD ， ∴BE＝AB＝4 ， CE＝ BC -BE ＝7 -4 ＝3 ， 则 在 Rt△CDE 中 ， DE＝ CE 2 +DC 2 姨 ＝5. 在 Rt△AFD 中 ， AF 2 +AD 2 ＝DF 2 ， 即 AF 2 +7 2 ＝DF 2 ， ① 在 Rt△BEF 中 ， （ 4-AF ） 2 +4 2 ＝EF 2 ， ② 在 Rt△EFD 中 ， DF 2 ＝EF 2 +5 2 ， ③ 化简可得 AF 2 ＝1 ， 即 AF＝1 ， ∴BF＝3. 则 在 Rt△BEF 中 ， EF＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰直角 三角 形 ， ∴AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAD＝∠CAE. 在 △ACE 和 △ABD 中 ， AC=AB ， ∠CAE=∠BAD ， AE=AD D * * * * ) * * * * + ， ∴△ACE≌△ABD. （ 2 ） 解 ： 不变 . 理由如下 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴ ∠ACE＝∠ABD＝45° ， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45° ＝90° ， ∴∠BCE 的度数不变 ， 为 90°. （ 3 ） 解 ： ① 点 D 在线段 BC 上时 ， 如图 1 ， ∵AB＝AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ AB 2 +AC 2 姨 = 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 -1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE ＝BD ＝ 第 6 题答图 A B C 第 5 题答图 B α A CN l 1 M l 2 第 6 题答图 第 5 题答图 D E C A B 图 1 D C B F A E 45° 60° M A B N C H 59 八年级下册 （ 人教版 ）数学 6 姨 -1. ∵∠BCE＝90° ， ∴DE＝ CD 2 +CE 2 姨 ＝ 8-2 6 姨姨 . ② 点 D 在线段 BC 的延长线上时 ， 如图 2 ， ∵AB＝ AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 +1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE＝BD＝ 6 姨 +1. ∵∠BCE＝90° ， ∴∠ECD＝ 90° ， ∴DE ＝ 1 2 + （ 6 姨 +1 ） 2 姨 ＝ 8+2 6 姨姨 . 综上所述 ， DE 的 长为 8-2 6 姨姨 或 8+2 6 姨姨 . 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相反 互逆 逆命题 证明 逆 定理 1. D 2. A 【 知识点 2 】 a 2 +b 2 =c 2 1. D 2. C 【 例 】 证明 ： ∵E 为 BC 的中点 ， AB＝BC＝CD＝ DA ， AB＝4 ， ∴BE＝CE＝2 ， BC＝CD＝DA＝4. ∵CF＝1 ， ∴DF＝3. ∵∠B＝∠C＝∠D＝90° ， ∴AE＝ AB 2 +BE 2 姨 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， EF ＝ CE 2 +CF 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 ， AF＝ AD 2 +DF 2 姨 ＝ 4 2 +3 2 姨 ＝5. ∵AE 2 +EF 2 ＝ 20+5＝25 ， AF 2 ＝5 2 ＝25 ， ∴AE 2 +EF 2 ＝AF 2 ， ∴∠AEF＝ 90°. 1. 两个角相等的三角形是等腰三角形 真 2. C 3. 解 ： 如图 ， 连接 AB ， ∵∠ACB＝90° ， AC＝4 ， BC＝3 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =5. 又 ∵BD＝ 12 ， AD＝13 ， ∴AB 2 +BD 2 ＝169＝ AD 2 ， ∴∠ABD＝90° ， ∴△ABD 是直角三角形 ， ∴ 阴影部分的 面积为 1 2 ×AB×BD- 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×5×12- 1 2 ×4×3=24. 4. 解 ： 设 AB ＝3x cm ， CB ＝4x cm ， CA ＝5x cm ， ∴3x+4x+5x＝72 ， ∴x＝6 ， ∴AB＝18 cm ， CB＝24 cm ， CA＝ 30 cm. ∵AB 2 +CB 2 ＝18 2 +24 2 ＝900 ， CA 2 ＝30 2 ＝900 ， ∴AB 2 + CB 2 ＝CA 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠B＝90°. 当 t＝ 4 时 ， BM＝AB-AM＝18-2×4＝10 （ cm ） ， BN＝3×4＝ 12 （ cm ）， ∴S △BMN = 1 2 BM · BN=60 cm 2 ， ∴ 经过 4 s 时 ， △BMN 的面积为 60 cm 2 . 5. （ 1 ） 证明 ： ∵∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAC- ∠DAC＝∠DAE-∠DAC ， ∴∠EAC＝∠BAD. ∵AB＝AC ， AD＝AE ， ∴△ACE≌△ABD （ SAS ）， ∴CE＝BD. （ 2 ） 解 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴BD＝EC＝4. ∵BC 2 ＝ AC 2 +AB 2 ＝2 2 +2 2 ＝8 ， CD 2 ＝ （ 2 2 姨 ） 2 ＝8 ， BD 2 ＝4 2 ＝16 ， ∴BC 2 + CD 2 ＝BD 2 ， ∴∠BCD＝90°. ∵∠ACB＝45° ， ∴∠ACD＝∠BCD+ ∠ACB＝135°. （ 3 ） 2 10 姨 . 6. 解 ： （ 1 ） ∵AB 2 +AC 2 ＝20 2 +15 2 ＝625 ， BC 2 ＝25 2 ＝ 625 ， ∴AB 2 +AC 2 ＝BC 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠BAC＝ 90° . ∵∠MAC＝40° ， ∴∠NAB＝180°-∠BAC-∠MAC＝ 180°-90°-40°＝50°. （ 2 ） ∵AD⊥BC ， ∴S △ABC ＝ 1 2 BC · AD＝ 1 2 AC · AB ， ∴ 1 2 ×25AD＝ 1 2 ×15×20 ， ∴AD＝12. 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 正整数 1. D 2. B 【 例 】 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， AB＝24 m ， BC＝7 m ， ∴AC= 24 2 +7 2 姨 =25 （ m ） . 在 △ADC 中 ， CD＝15 m ， AD＝20 m ， AC＝25 m ， ∵CD 2 +AD 2 ＝ 15 2 +20 2 ＝25 2 ＝AC 2 ， ∴△ADC 为直角三角形 ， ∴ ∠D＝90°. （ 2 ） ∵△ADC 是直角三角形 ， ∴S △ADC = 1 2 × AD×DC= 1 2 ×20×15=150 （ m 2 ） . ∵S △ABC = 1 2 ×AB× BC= 1 2 ×24×7=84 （ m 2 ）， ∴S 四边形 ABCD =S △ADC +S △ABC = 150+84=234 （ m 2 ） . 1. C 2. 40 m 3. 解 ： 设体育馆楼高 AC＝x m ， 则绳子长为 AB＝ （ x+2 ） m ， 在 Rt△ABC 中 ， AB 2 ＝AC 2 +BC 2 ， ∴ （ x+2 ） 2 ＝ x 2 +6 2 ， 解得 x＝8. 答 ： 体育馆楼高 AC 的值为 8 m. 4. 解 ： （ 1 ） 是 . 理由 ： 在 △CHB 中 ， ∵CH 2 +BH 2 ＝ 60 2 +80 2 ＝100 2 ， BC 2 ＝100 2 ， ∴CH 2 +BH 2 ＝BC 2 ， ∴CH⊥AB ， ∴CH 是从村庄 C 到河边的最近路线 . （ 2 ） 设 AC＝x m ， 在 Rt△ACH 中 ， 由已知得 AC＝ x ， AH＝x-60 ， CH＝80 ， 由勾股定理得 AC 2 ＝AH 2 +CH 2 ， ∴x 2 ＝ （ x-60 ） 2 +80 2 ， 解得 x＝ 250 3 . 答 ： 原来的路线 AC 的 长为 250 3 m. 5. （ 1 ） 解 ： DE 2 ＝BD 2 +EC 2 . （ 2 ） 证明 ： DE 2 ＝BD 2 + EC 2 仍然成立 . 如图 1 ， 将 △EAC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △TAB ， 连接 DT ， ∴∠ABT ＝∠C ＝45° ， AT ＝ AE ， ∠TAE＝90°. ∵∠ABC＝ 45° ， ∴∠TBC＝∠TBD＝90°. C A B E D 图 2 第 6 题答图 A C DB 第 3 题答图 T A CD EB 图 1 60 勾 股 定 理 第十七章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 利用勾股定理表示无理数 1. 如图 17.1-9 ， 数轴上点 A 所表示的数为 a ， 则 a 的 值是 （ ） A. 5 姨 +1 B. 5 姨 -1 C. - 5 姨 +1 D. - 5 姨 -1 2. 已知点 P （ -1 ， m ） 在第三象限， 且 OP＝ 5 姨 ， 则 m 的值是 （ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【知识点 2 】 利用勾股定理解决几何问题 1. 如图 17.1-10 ， 在 △ABC 中 ， ∠C＝90° ， AC＝4 ， 点 D 在 BC 上 ， ∠ADC＝2∠B ， AD＝5 ， 则 BC 的长为 （ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 8 2. 如图 17.1-11 ， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC＝8 ， BC＝6 ， 将 △ADE 沿 DE 翻折， 使点 A 恰好与点 B 重合， 求 CE 的长 . 17.1 勾股定理 （第三课时） -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A 1 图 17.1-9 A CD B 图 17.1-10 图 17.1-11 A C B D E 27 八年级下册 （人教版）数学 -1 0 1 2 D A M C B 例题点拨 素养导向 【例】 如图 17.1-12 ， 折叠长方形 （四个角都是直角， 对边相等） 的一边 AD ， 使点 D 落 在 BC 边的点 F 处， 已知 AB＝8 cm ， BC＝10 cm ， 求 EC 的长 . 【点拨】 由折叠的性质可得 AD＝AF ， ∠D＝∠AFE ， DE＝EF ， 由勾股定理可求 BF 的长和 EC 的长 . 本题主要考查了折叠问题的性质的运用， 需找到翻折后相应的直角三角形， 利用勾 股定理求解所需线段 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 长方形 ABCD 中， AB＝3 ， AD＝1 ， AB 在数轴上， 若以点 A 为圆心， 对角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点 M ， 则点 M 为 （ ） A. 2 B. 5 姨 -1 C. 10 姨 -1 D. 5 姨 2. 如图， ∠ACB＝∠ABD＝90° ， CA＝CB ， ∠DAB＝30° ， AD＝8 ， 则 AC＝ . 3. 如图， △ABC 的顶点 A ， B ， C 在边长为 1 的正方形网格的格点上， BD⊥AC 于点 D ， 则 BD 的长为 . 4. 如图， 在数轴上的点 A ， B 表示的数分别为 0 和 2 ， BC⊥AB 于 点 B ， 且 BC＝1 ， 连接 AC ， 在 AC 上截取 CD＝BC ， 以点 A 为圆心， AD 的长为半径画弧， 交线段 AB 于点 E ， 则点 E 表示的实数是 （ ） A. 2 5 姨 B. 5 姨 +1 C. 2 D. 5 姨 -1 图 17.1-12 D B A C 第 1 题图 第 2 题图 A D C B 第 3 题图 第 4 题图 A D E C F B C B 2 E D A 0 28 勾 股 定 理 第十七章 能力提升 综合拓展 5. 如图， 长方形 ABCD ， AB＝4 ， BC＝7 ， ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E ， 连接 DE ， 过点 E 作 EF⊥DE 交 AB 于点 F ， 求 EF 的长 . 中考链接 真题演练 6. （ 2023 ·安顺模拟） 已知等腰 Rt△ABC 中， ∠BAC＝90° ， 点 D 从点 B 出发， 沿射线 BC 移动， 以 AD 为腰作等腰 Rt△ADE ， ∠DAE＝90° ， AD＝AE ， 连接 CE. （ 1 ） 如图， 求证： △ACE≌△ABD. （ 2 ） 点 D 运动时， ∠BCE 的度数是否发生变化？ 若不变化， 求出它的度数； 若发生变 化， 请说明理由 . （ 3 ） 若 AC＝ 3 姨 ， CD＝1 时， 请求出 DE 的长 . 第 5 题图 D E C A B C A B C A B 备用图 备用图 第 6 题图 D C B F A E 29