17.1 勾股定理(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （人教版）数学 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 勾股定理的认识 ◎ 如图17.1-1，如果直角三角形两直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ， 那么 . 1. 已知 a ， b ， c 是 △ABC 的三边， 下列说法不正确的是 （ ） A. 若 ∠C＝90° ， 则 a 2 +b 2 =c 2 B. 若 ∠B＝90° ， 则 a 2 +c 2 =b 2 C. 若 ∠A＝90° ， 则 b 2 +c 2 =a 2 D. 总有 a 2 +b 2 =c 2 2. 如图 17.1-2 ， 正方形 B 的面积是 ， 正方形 B 的边长是 . 【知识点 2 】 运用勾股定理计算 1. 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°. （ 1 ） 若 a=3 ， b=4 ， 则 c= ； （ 2 ） 若 b=5 ， c=13 ， 则 a= ； （ 3 ） 若 a= 6 姨 ， b=2 2 姨 ， 则 c= . 2. 在 △ABC 中， AB=AC=4 ， 若 ∠A＝90° ， 则 BC＝ . 3. 一个直角三角形的两边长为 2 和 3 ， 则第三边长为 . 17.1 勾股定理 （第一课时） 第十七章 勾 股 定 理 勾股定理 直角三角形边 长的数量关系 勾股定理的逆定理 互逆定理 直角三角形的判定 C B A b c a 图 17.1-1 25 169 B 图 17.1-2 20 勾 股 定 理 第十七章 例题点拨 素养导向 【例】 如图 17.1-3 ， 在 △ABC 中， AB＝BC＝CA ， AD 是边 BC 上的高， AD＝ 3 姨 . （ 1 ） 求 AB 的长 . （ 2 ） 求 △ABC 的面积 . 【点拨】 （ 1 ） 在 Rt△ABD 中， 根据 ∠BAD＝30° ， 可知 AB＝2BD ， 根据勾股定理公式求出 BD ， 进而求出 AB 即可 . （ 2 ） 根据三角形的面积公式计算即可 . 夯实四基 达标闯关 1. 已知直角三角形的两直角边长为 6 和 8 ， 那么斜边上的高为 （ ） A. 6 B. 8 C. 4.8 D. 2.4 2. 如图， ∠C＝90° ， AC＝12 ， CB＝5 ， AM＝AC ， BN＝BC ， 则 MN 的长是 （ ） A. 2 B. 2.6 C. 3 D. 4 3. 求下列各图中 x 的值 . ①x＝ ； ②x＝ ； ③x＝ ； ④x＝ . 4. 某宾馆装修时， 需在台阶上铺上地毯 . 已知台阶宽 2.8 m ， 其剖面图如图， 则需要购 买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 图 17.1-3 B N M A C 第 2 题图 25 x 7 100 64 x 15 x 8 ① ② ③ ④ 第 3 题图 5 m 3 m BA 第 4 题图 13 12 x A CDB 21 八年级下册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 5. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D ， AC＝6 ， BC＝8 ， 求 S △ABD . 中考链接 真题演练 6. （ 2024 ·大庆） “为了安全， 请勿超速 . ” 如图， 一条公路建成通车， 在某直线路段 MN 限速 60 km/h. 为了检测车辆是否超速， 在公路 MN 旁设立了观测点 C ， 从观测点 C 测得一辆 汽车从点 A 到点 B 行驶了 6 s ， 已知 ∠CAN＝45° ， ∠CBN＝60° ， BC＝200 m. 问此车是否超速 . 请说明理由 . （参考数据： 2 姨 ≈1.41 ， 3 姨 ≈1.73 ） A D B C 第 5 题图 45° 60° M A B N C 第 6 题图 22 八年级下册 （ 人教版 ）数学 （ 3 ） 2 3 x 姨 （ 4 ） 6 2 姨 a 6. C 7. B 8. （1 ） 原式 =1. （ 2 ） 原式 = 5 3 姨 × 3 7 姨 × 7 5 姨 =1. 9. D 10. B 11. D 16.3 二次根式的加减 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 最简二次根式 被开方数 1. C 2. -2 2 姨 3. 8 3 3 姨 【 例 】 解 ： 原式 ＝4 3 姨 -2 3 姨 +12 3 姨 = 14 3 姨 . 1. D 2. C 3. D 4. 12 姨 ， 48 姨 5. 8 3 姨 6. 解 ： （ 1 ） 原式 = 2 姨 -3 2 姨 =-2 2 姨 . （ 2 ） 原式 = 3 姨 -2×4 3 姨 +3 3 姨 =-4 3 姨 . （ 3 ） 原式 = 2 3 姨 +2 5 姨 + 3 姨 - 5 姨 =3 3 姨 + 5 姨 . （ 4 ） 原 式 =5+2- 3 姨 +3 3 姨 =7+2 3 姨 . 7. 解 ： C＝a+b+c＝7 50 姨 +4 72 姨 +2 98 姨 ＝35 2 姨 +24 2 姨 +14 2 姨 ＝73 2 姨 ， 即周长 C 为 73 2 姨 . 8. B 9. D 10. D 11. 0 12. 解 ： （ 1 ） 原式 =6×2 3 姨 -2×3 3 姨 + 1 2 ×2 2 姨 -4× 2 姨 2 ＝12 3 姨 -6 3 姨 + 2 姨 -2 2 姨 ＝6 3 姨 - 2 姨 . （ 2 ） 原式 ＝ 1 2 2 姨 + 1 4 2 姨 + 1 8 2 姨 = 1 2 + 1 4 4 + 1 8 8 2 姨 = 7 8 2 姨 . （ 3 ） 原式 ＝ 2 3 6 姨 + 1 2 2 姨 + 1 4 2 姨 - 6 姨 +4 2 姨 ＝ 2 3 - 4 - 1 6 姨 + 1 2 + 1 4 + + - 4 2 姨 ＝- 1 3 6 姨 + 19 4 2 姨 . （ 4 ） 原式 ＝ 2a 姨 +a 2a 姨 - 3a 2a 姨 ＝ （ 1-2a ） 2a 姨 . 13. D 14. 3 姨 15. 2 7 姨 16. 3 2 姨 16.3 二次根式的加减 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 乘除 加减 2 姨 6 姨 1 【 例 】 解 ： 原式 ＝17- （ 19-6 2 姨 ） ＝-2+6 2 姨 . 1. C 2. D 3. B 4. B 5. -2 3 姨 6. 5 7. 解 ： （ 1 ） 原式 ＝3 2 姨 -2 2 姨 + 2 姨 =2 2 姨 . （ 2 ） 原式 ＝5 2 姨 × 18 6 姨 -2 6 姨 ＝5 2 姨 × 3 姨 -2 6 姨 ＝ 5 6 姨 -2 6 姨 ＝3 6 姨 . （ 3 ） 原式 ＝ 16 姨 - 6 姨 + 2 6 姨 =4+ 6 姨 . （ 4 ） 原式 ＝ （ 12-4 3 姨 +1 ） + （ 3- 3 3 姨 -10 ） =6-7 3 姨 . 8. C 9. C 10. 5 11. 6 2 姨 12. 4 2 姨 13. 解 ： （ 1 ） 原式 ＝ （ 2 6 姨 +5 2 姨 ） ÷ 2 姨 -6× 3 姨 3 ＝2 3 姨 +5-2 3 姨 ＝5. （ 2 ） 原式 ＝3 45×5 姨 × 3 2 8 3 姨 ＝3×15× 3 2 × 2 6 姨 3 ＝45 6 姨 . （ 3 ） 原式 ＝ 6 3 姨 - 2 3 姨 3 +4 3 姨 4 - ÷2 3 姨 ＝ 28 3 3 姨 ÷2 3 姨 ＝ 14 3 . 14. 解 ： 原式 = 6 姨 x-x 2 +x 2 -5= 6 姨 x-5. 当 x= 2 姨 时 ， 原式 = 6 姨 × 2 姨 -5＝2 3 姨 -5. 15. 解 ： 原式 ＝x 2 +2x+1+1＝ （ x+1 ） 2 +1. 当 x＝ 23 姨 -1 时 ， 原式 ＝23+1＝24. 16. 解 ： ∵a=2+ 3 姨 ， b=2- 3 姨 ， ∴a+b＝4 ， ab＝4- 3＝1 ， a -b＝2 3 姨 ， ∴ a b - b a ＝ a 2 -b 2 ab ＝ （ a+b ）（ a-b ） ab ＝ 4×2 3 姨 1 =8 3 姨 . 17. B 18. B 19. B 20. 2 21. 解 ： 原式 ＝3 3 姨 - 6 姨 2 ×2 2 姨 =3 3 姨 -2 3 姨 = 3 姨 . 22. 解 ： 原式 ＝ 3 3 姨 ÷ 3 姨 2 ×2 2 姨 -6 2 姨 ＝12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 第十七章 勾 股 定 理 17.1 勾股定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 a 2 +b 2 =c 2 1. D 2. 144 12 【 知识点 2 】 1. （ 1 ） 5 （ 2 ） 12 （ 3 ） 14 姨 2. 4 2 姨 3. 5 姨 或 13 姨 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵AB＝BC＝AC ， ∴∠B＝60° . ∵AD⊥BC ， ∴BD ＝DC. 在 Rt△ADB 中 ， ∵AD ＝ 3 姨 ， ∠BAD＝30° ， ∴AB＝2BD ， ∴AB 2 ＝AD 2 +BD 2 ， ∴ （ 2BD ） 2 ＝ （ 3 姨 ） 2 +BD 2 ， ∴BD＝1 ， ∴AB＝2BD＝2. （ 2 ） ∵BC＝AB＝2 ， AD＝ 3 姨 ， ∴S △ABC ＝ 1 2 · BC · AD＝ 3 姨 . 1. C 2. D 3. ①5 ②24 ③36 ④17 4. 解 ： 如题图 ， 根据勾股定理 ， AB= 5 2 -3 2 姨 = 4 （ m ）， 利用平移线段 ， 可知地毯长为 3+4＝7 （ m ）， ∴ 地毯的面积为 2.8×7＝19.6 （ m 2 ） . 答 ： 需要购买 19.6 m 2 的地毯 才能铺满所有台阶 . 5. 解 ： 作 DE⊥AB ， 垂足 为点 E ， DE 即为点 D 到 AB 的距离 . 又 ∵∠C＝90° ， AD 平 第 5 题答图 A D B C E 58 参 考 答 案 分 ∠CAB ， ∴DE＝DC. 在 △ABC 中 ， ∵∠C＝90° ， BC＝8 ， AC＝6 ， ∴AB＝10. 设 CD＝x ， 则 DE＝CD＝x ， BD＝8-x ， 在 Rt△ACD 与 Rt△AED 中 ， ∵ CD=DE ， AD=AD D ， ∴Rt△ACD≌ Rt△AED （ HL ）， ∴AE＝AC＝6 ， ∴BE＝4. 在 Rt△BED 中 ， ∵DE 2 +EB 2 ＝DB 2 ， 即 x 2 +4 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝3 ， ∴S △ABD ＝ 1 2 AB · DE＝ 1 2 ×10×3＝15. 6. 解 ： 此车没有超速 . 理由如下 ： 如图 ， 过点 C 作 CH⊥MN 于点 H ， ∵∠CBN＝ 60° ， ∴∠BCH ＝30° . ∵BC ＝ 200 m ， ∴BH＝100 m. ∵CH 2 + BH 2 =BC 2 ， ∴CH=100 3 姨 m. ∵∠CAN ＝45° ， ∴AH =CH = 100 3 姨 m ， ∴AB=100 3 姨 -100≈73 （ m ） . ∵60 km/h＝ 50 3 m/s 且 73 6 < 50 3 ， ∴ 此车没有超速 . 17.1 勾股定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. D 2. B 3. C 4. D 5. 解 ： ∵CB ＝60 m ， AC ＝20 m ， AC⊥AB ， ∴AB＝ 60 2 -20 2 姨 ＝40 2 姨 （ m ） . 【 例 】 解 ： ∵AB ＝DE ＝2.5 m ， BC ＝1.5 m ， ∠C ＝90 ° ， ∴AC ＝ AB 2 -BC 2 姨 ＝ 2 . 5 2 -1 . 5 2 姨 ＝ 2 （ m ） . 设 AE 的长为 x m ， 依题意得 CE＝AC-x= 2 -x. ∵BD ＝0.5 m ， ∴CD=CB+BD=2 m ， ∴ 在 Rt△ECD 中 ， CE＝ DE 2 -CD 2 姨 ＝ 2.5 2 - （ 1.5+0.5 ） 2 姨 ＝1.5 （ m ） ， ∴2 -x＝1.5 ， ∴x＝0.5 ， 即 AE＝0.5 m. 答 ： 滑杆顶端 A 下滑 0.5 m. 1. A 2. D 3. C 4. 解 ： 设 AB＝x m ， ∵∠ABD＝ 90° ， ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 根据勾股定理得 x 2 +5 2 ＝ （ x+1 ） 2 ， 解得 x＝12 ， ∴AB 的长为 12 m. 答 ： 旗杆 AB 的长为 12 m. 5. 解 ： 展开后由题意得 ∠C＝90° ， AC＝3×10+3×6＝48 ， BC＝55 ， 由勾股 定理得 AB＝ AC 2 +BC 2 姨 ＝ 48 2 +55 2 姨 ＝ 73 （ cm ） . 答 ： 最短路线的距离为 73 cm. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， BC= AB 2 -AC 2 姨 = 324-24 姨 =10 3 姨 （ m ） . 答 ： 该斜 坡的坡高 BC 长为 10 3 姨 m. （ 2 ） ∵∠α＝60° ， ∴∠AMN＝ 30° ， ∴AM＝2AN. ∵ 在 Rt△AMN 中 ， AN 2 +MN 2 ＝AM 2 ， ∴AN 2 +300＝4AN 2 ， ∴AN＝10 m ， ∴AM＝20 m ， ∴AM-AB＝ 20-18＝2 （ m ） . 答 ： 长度增加了 2 m. 17.1 勾股定理 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 1. B 2. A 【 知识点 2 】 1. D 2. 解 ： 由已知 ， △ADE 沿 DE 翻折 ， A ， B 两点重合 ， ∴AE=BE. 设 CE＝x ， 则 AE＝BE＝8-x. 在 Rt△BCE 中 ， BC 2 +CE 2 ＝BE 2 ， ∴6 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝ 7 4 . 答 ： CE 的长为 7 4 . 【 例 】 解 ： 设 EC 的长为 x cm ， 则 DE＝ （ 8-x ） cm. ∵△ADE 折叠后的图形是 △AFE ， ∴AD＝AF ， ∠D ＝∠AFE. 又 ∵AE =AE ， ∴△AFE≌△ADE ， ∴DE＝EF. ∵AD＝BC＝10 cm ， ∴AF＝AD＝10 cm. 又 ∵AB＝8 cm ， 在 Rt△ABF 中 ， 根据勾股定理 ， 得 AB 2 +BF 2 ＝AF 2 ， ∴8 2 +BF 2 ＝10 2 ， ∴BF＝6 cm. ∴FC＝ BC-BF＝10-6＝4 （ cm ） . 在 Rt△EFC 中 ， 根据勾 股定理 ， 得 FC 2 +EC 2 ＝EF 2 ， ∴4 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， ∴x＝3. 答 ： EC 的长为 3 cm. 1. C 2. 2 6 姨 3. 3 4. D 5. 解 ： 连接 DF ， 在长 方形 ABCD 中 ， ∵AE 平分 ∠BAD ， ∴BE＝AB＝4 ， CE＝ BC -BE ＝7 -4 ＝3 ， 则 在 Rt△CDE 中 ， DE＝ CE 2 +DC 2 姨 ＝5. 在 Rt△AFD 中 ， AF 2 +AD 2 ＝DF 2 ， 即 AF 2 +7 2 ＝DF 2 ， ① 在 Rt△BEF 中 ， （ 4-AF ） 2 +4 2 ＝EF 2 ， ② 在 Rt△EFD 中 ， DF 2 ＝EF 2 +5 2 ， ③ 化简可得 AF 2 ＝1 ， 即 AF＝1 ， ∴BF＝3. 则 在 Rt△BEF 中 ， EF＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰直角 三角 形 ， ∴AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAD＝∠CAE. 在 △ACE 和 △ABD 中 ， AC=AB ， ∠CAE=∠BAD ， AE=AD D * * * * ) * * * * + ， ∴△ACE≌△ABD. （ 2 ） 解 ： 不变 . 理由如下 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴ ∠ACE＝∠ABD＝45° ， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45° ＝90° ， ∴∠BCE 的度数不变 ， 为 90°. （ 3 ） 解 ： ① 点 D 在线段 BC 上时 ， 如图 1 ， ∵AB＝AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ AB 2 +AC 2 姨 = 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 -1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE ＝BD ＝ 第 6 题答图 A B C 第 5 题答图 B α A CN l 1 M l 2 第 6 题答图 第 5 题答图 D E C A B 图 1 D C B F A E 45° 60° M A B N C H 59