第2章 6 一元一次不等式组(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知不等式组 x+1<a ， 3-x≤ " 0 有解， 求实数 a 的取值范围 . 【分析】 先求出不等式组中每一个不等式的解集， 不等式组有解， 即两个不等式的解集 有公共部分， 据此即可列不等式求得 a 的取值范围 ． 【解答】 x+1<a ， ① 3-x≤0 ， " ② 由 ① 得 x＜a-1 ， 由 ② 得 x≥3. ∵ 不等式组 x+1<a ， 3-x≤ " 0 有解， ∴ 不等式组的解集应为 3≤x＜a-1. ∵ 不等式有解， ∴a-1＞3 ， 即 a＞4. 故实数 a 的取值范围是 a＞4． 【点拨】 本题考查对不等式组解集的理解 . 本例问题的基本特点是已知不等式组的解集， 求不等式中另一未知数的取值范围 ． 解题策略是先将另一未知数当作常数， 求出解集并与已 知解集进行比较， 进而求得另一个未知数 ． 基础巩固 达标闯关 1． 不等式组 2x+1>0 ， x>2x- " 5 的正整数解有 . 2. 关于 x 的不等式组 x+4 3 > x 2 +1 ， x+m< < & & & & % & & & & ' 0 的解集为 x<2 ， 则 m 的取值范围是 . 3． 若不等式组 x-a>0 ， x-a< " 1 的解集中任意一个 x 的值均不在 2≤x≤5 的范围内， 则 a 的取值 范围是 . 4. 若方程组 x-y+a=0 ， 3x+2y-4= " 0 的解 x ， y 是正数， 则 a 的取值范围是 （ ） A． a＞- 4 3 B． a＜- 4 3 C． a＜2 D． - 4 3 ＜a＜2 5． 已知关于 x 的不等式组 x-a≥0 ， x-2< " 0 的整数解共有 4 个， 则 a 的取值范围是 （ ） A． a≥－3 B． a≤－2 C． －3≤a≤－2 D． －3＜a≤－2 6 一元一次不等式组 （第 2课时） 63 八年级下册 （北师大版）数学 6． 生物兴趣小组要在温箱里培养 A ， B 两种菌苗 ． A 种菌苗的生长温度 x ℃ 的范围是 35≤x≤38 ， B 种菌苗的生长温度 y ℃ 的范围是 34≤y≤36． 那么温箱里的温度 T ℃ 应该设定 在 （ ） A． 35≤T≤38 B. 35≤T≤36 C． 34≤T≤36 D． 36≤T≤38 7． 解下列不等式组 . （ 1 ） 3 （ 1-x ） ≤2 （ 2-x ）， 7 （ x+3 ） ≥6 （ 3-x ） ） . （ 2 ） x-4 2 +3≥x ， 1-3 （ x-1 ） <6-x x & & & & % & & & & ' . （ 3 ） 3 （ x-2 ） +8>2x ， 2 （ x+2 ） <x-5 ） . （ 4 ） x+2< x-6 5 ， x+5 2 <4- x+2 3 3 & & & & & & % & & & & & & ' . 8. x 取哪些值时， 代数式 9x+2 7 与 3x-14 2 的差大于 6 且小于 8 ？ 能力提升 综合拓展 9． 已知方程组 3x+y=1+3m ， x+3y=1- ） m 的解 x ， y 满足 x+y＞0 ， 求 m 的最小正整数值 . 64 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 10. 试确定 a 的取值范围， 使不等式组 x+ x+1 4 >1 ， 3 2 a- 1 2 （ x+1 ） > 1 2 （ a-x ） + 1 2 （ 2x-1 1 # # # # # # " # # # # # # $ ） 只有一个整数解 . 11. 有甲、 乙两种客车， 2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人， 1 辆甲种客 车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人 ． （ 1 ） 请问： 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （ 2 ） 某学校组织 240 名师生集体外出活动， 拟租用甲、 乙两种客车共 6 辆， 一次将全部 师生送到指定地点 ． 若每辆甲种客车的租金为 1 200 元， 每辆乙种客车的租金为 800 元， 请 给出最节省费用的租车方案， 并求出最低费用 ． 12. 阅读解不等式 （ x+4 ）（ x-1 ） ＞0 的过程 ． 解： ① 当 x+4＞0 时， 则 x-1＞0 ， 即 x+4>0 ， x-1>0 0 . 解不等式组， 得 x＞1． ② 当 x+4＜0 时， 则 x-1＜0 ， 即 x+4<0 ， x-1<0 0 . 解不等式组， 得 x＜-4． 综合以上两种情况， 原不等式的解集为 x＞1 或 x＜-4． 以上解法的依据是当 ab＞0 ， 则 ab 同号 ． 请你模仿例题的解法， 解下列不等式： （ 1 ） （ x+1 ）（ x-2 ） ＞0. （ 2 ） （ 2x-1 ）（ 3x+2 ） ＜0． 65 八年级下册 （北师大版）数学 * 13. 若不等式 （组） 只有 n 个正整数解 （ n 为自然数）， 则称这个不等式 （组） 为 n 阶不 等式 （组） ． 我们规定： 当 n＝0 时， 这个不等式 （组） 为 0 阶不等式 （组） ． 例如， 不等式 x+ 1＜6 只有 4 个正整数解， 称其为 4 阶不等式 ． 不等式组 x+1>2 ， 2x-3< ! 7 只有 3 个正整数解， 称其为 3 阶不等式组 ． 请根据定义解答下列问题 . （ 1 ） x≤2 是几阶不等式？ x>1 ， x-3< ! 0 是几阶不等式组？ 请说明理由 . （ 2 ） 若关于 x 的不等式组 2x-4a<0 ， 2+3x≥ x+9 2 2 & & & & % & & & & ' 是 4 阶不等式组， 求 a 的取值范围 . （ 3 ） 关于 x 的不等式组 x≥p ， x< ! m 的正整数解有 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， …， 其中 a 1 ＜a 2 ＜a 3 ＜a 4 ＜ …， 如果 x≥p ， x< ! m 是 （ m-3 ） 阶不等式组， 且关于 x 的方程 2x-m=0 的解是不等式组 x≥p ， x< ! m 的正 整数解 a 3 ， 请求出 m 的值以及 p 的取值范围 ． 中考链接 真题演练 14． （ 2024 ·山东） 写出满足不等式组 x+2≥0 ， 2x-1< ! 1 的一个整数解： . 15. （ 2024 ·哈尔滨） 不等式组 x+2≥3 ， 3x-8< ! 1 的解集是 . 16. （ 2024 ·滨州） 若点 P （ 1-2a ， a ） 在第二象限， 那么 a 的取值范围是 （ ） A． a＞ 1 2 B． a＜ 1 2 C． 0＜a＜ 1 2 D． 0≤a＜ 1 2 17. （ 2024 ·南充） 若关于 x 的不等式组 2x-1<5 ， x<m+ ! 1 的解集为 x＜3 ， 则 m 的取值范围是 （ ） A． m＞2 B． m≥2 C． m＜2 D． m≤2 66 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 18. （ 2024 ·济南） 解不等式组： 4x>2 （ x-1 ）， ① x+2 2 < x+5 3 ， ， # # # # " # # # # $ ② 并写出它的所有整数解 ． 19. （ 2022 ·绵阳） 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售， 部分水果批发价格 与零售价格如下表： 请解答下列问题 . （ 1 ） 第一天， 该经营户用 1 700 元批发了菠萝和苹果共 300 kg ， 当日全部售出， 求这两 种水果获得的总利润 . （ 2 ） 第二天， 该经营户依然用 1 700 元批发了菠萝和苹果， 当日销售结束清点盘存时发 现进货单丢失， 只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于 88 kg ， 这两 种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润， 请通过计算说明该经营户第二 天批发这两种水果可能的方案有哪些 . 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格 / （元 /kg ） 4 5 6 40 零售价格 / （元 /kg ） 5 6 8 50 67 参 考 答 案 6 一元一次不等式组 （第 1 课时） 1. －1 2. 6≤x＜11 3. －4 4. C 5. B 6. C 7. A 8. （ 1 ） x≥2 （ 2 ） x>5 （ 3 ） 2<x≤8 （ 4 ） x≥3 （ 5 ） -1<x< 1 5 （ 6 ） 无解 9. 解： x+a≥0 ， ① 1-2x>x-2. . ② 由 ① 得 x≥-a ， 由 ② 得 x＜1 ， 故其解集为 -a≤x＜1. ∴-a＜1 ， 即 a＞-1. ∴a 的取值范围是 a＞-1. 10. 解： 由 2a－3x+1=0 ， 3b－2x－16=0 ， 得 a= 3x-1 2 ， b= 2x+16 3 . ∵a≤4<b ， ∴ 3x-1 2 ≤4 ， 2x+16 3 >4 4 & & & % & & & ' . ∴x 的取值范围是 -2<x≤3. 11. 2＜x＜3 12. - 1 2 ≤a<0 13. A 14. D 15. B 16. 解： 解不等式 3 （ x-1 ） ＜4+2x ， 得 x＜7. 解不等式 x-9 5 <2x ， 得 x＞-1. 将这两 个不等式的解集在数轴上表示如右图， ∴ 不等式组的解集为 -1＜x＜7． 6 一元一次不等式组 （第 2 课时） 1. 1 ， 2 ， 3 ， 4 2. m≤－2 3. a≤1 或 a≥5 4. D 5. D 6. B 7. （ 1 ） x≥－ 3 13 （ 2 ） －1＜x≤2 （ 3 ） 无解 （ 4 ） x＜－4 8. － 10 3 <x<6 9. 解： 已知方程组 3x+y=1+3m ， ① x+3y=1-m. . ② ①+② 得 4 （ x+y ） =2+2m ， 即 x+y= 1+m 2 . ∵x+y＞0 ， 则 1+m 2 ＞0. ∴m>-1 ， 故 m 的最小 正整数是 1. 10. 解： x+ x+1 4 >1 ， ① 3 2 a- 1 2 （ x+1 ） > 1 2 （ a-x ） + 1 2 （ 2x-1 ） . . & & & % & & & ' ② 解不等式 ① 得 x＞ 3 5 ， 解不等式 ② 得 x＜a. ∵ 不等式组有解， ∴ 不等 式组的解集为 3 5 ＜x＜a. 又 ∵ 不等式组只有一个整数解， ∴ 此不等式的整数解只能为 1. ∴1＜a≤2. 11. 解： （ 1 ） 设 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 x 人、 y 人， 2x+3y=180 ， x+2y=105 . . 解得 x=45 ， y=30 . . 答： 1 辆甲种 客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人 . （ 2 ） 设租用甲种客车 a 辆， 依题意， 得 45a+30 （ 6-a ） ≥240 ， a<6 . . 解得 4≤a<6. ∵a 取整数， ∴a＝4 或 5 ， ∴ 当 a＝4 时， 租车费用最低， 最低费用为 4×1 200+2×800＝6 400 （元） ． 12. 解 ： （ 1 ） ① 当 x+1＞0 时 ， 则 x-2＞0 ， ∴ x+1>0 ， x-2>0 . . 解这个不等式组 ， 得 x＞2． ② 当 x+1＜0 时 ， 则 x-2＜0 ， ∴ x+1<0 ， x-2<0 . . 解这个不等式组， 得 x＜-1. ∴ 原不等式的解集为 x＞2 或 x＜-1. （ 2 ） ① 当 2x-1＞0 时， 则 3x+2＜0 ， ∴ 2x-1>0 ， 3x+2<0 . . 由不等式 2x-1＞0 ， 得 x＞ 1 2 ； 由不等式 3x+2＜0 ， 得 x＜- 2 3 . ∴ 不等式组 2x-1>0 ， 3x+2<0 . . 无解 ． ② 当 2x-1＜0 时， 则 3x+2＞0 ， ∴ 2x-1<0 ， 3x+2>0 . . 由不等式 2x-1＜0 ， 得 x＜ 1 2 ； 由 3x+2＞0 ， 得 x＞- 2 3 . ∴ 原不等式的解集为 - 2 3 ＜x＜ 1 2 ． * 13. 解： （ 1 ） ∵x≤2 时， 正整数解为 1 ， 2 ， ∴x≤2 是 2 阶不等式 . 解不等式组 x>1 ， x-3<0 . . 得 1＜x＜3 ， ∴ 有 1 个正整数解 . ∴ x>1 ， x-3< . 0 是 1 阶不等式组 . （ 2 ） 解不等式组 2x-4a<0 ， 2+3x≥ x+9 2 . ， 得 1≤x＜2a. 由题意， 得 x 有 4 个正整数解， 分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ∴4＜2a≤5. 解得 2＜a≤2.5. （ 3 ） 由题意得， m 是正整数， 且 p≤x＜m 有 （ m-3 ） 个正整数解， ∴2＜p≤3. ∵ 关于 x 的方程 2x-m=0 的解为 x= m 2 ， 且 m 2 是不等式组 x≥p ， x< . m 的正整数解 a 3 ， 即 a 3 = m 2 ， 而所有正整数解从小到大排列为 3 ， 4 ， 5 ， …， （ m-3 ）， ∴ m 2 ＝5. ∴m＝10． 14. -1 （答案不唯一） 15. 1≤x＜3 16. A 17. B 18. 解： 解不等式 ① ， 得 x＞-1 ； 解不等式 ② ， 得 x＜4. ∴ 原不等式组的解集是 -1＜x＜4. ∴ 整数解为 0 ， 1 ， 2 ， 3． 19. 解： （ 1 ） 设第一天该经营户批发了菠萝 x kg 、 苹果 y kg ， 依题意， 得 x+y=300 ， 5x+6y=1 700 . . 解得 x=100 ， y=200 . . ∴ （ 6-5 ） x+ （ 8-6 ） y= （ 6-5 ） ×100+ （ 8-6 ） ×200=500 （元） ． 答： 这两种水果获得的总利润为 500 元 ． （ 2 ） 设购进 m kg 菠萝， 则购进 1 700-5m 6 kg 苹果， 依题意， 得 （ 6-5 ） m+ （ 8-6 ） × 1 700-5m 6 ＞500. 解得 m＜100． ∵ 菠萝的进货量不低于 88 kg ， ∴m≥88 ， 即 88≤m＜100． 又 ∵m ， 1 700-5m 6 均为正整数， ∴m 可以为 88 ， 94. ∴ 该经营户第二天共有两种批发水果的方案 . 方案一： 购进 88 kg 菠萝、 210 kg 苹果； 方案二： 购进 94 kg 菠萝、 205 kg 苹果 ． 第三章 图形的平移与旋转 1 图形的平移 （第 1 课时） 1. ④ 2. 8 3. C 4. D 5. （ 1 ） E ∠A FE （ 2 ） 由 C 到 E CE 1.5 （ 3 ） AD ， BF. 6. 略 . 7. 解： （ 1 ） 由图可知， △ABC 平移的方向是沿射线 BC 的方向 . ∵BC=6 cm ， ∴ 平移的距离是 6 cm. （ 2 ） 在 Rt△ABC 中 ， ∵AB=8 cm ， BC=6 cm ， ∴AC=10 cm. 又 ∵BD=6.4 cm ， DF=AC=10 cm ， EF=BC=6 cm ， ∴BF=DF-BD=10-6.4=3.6 （ cm ） . ∵∠EBF=90° ， 由勾股定理得 BE= EF 2 -BF 2 姨 =4.8 ， ∴△EBF 的面积 = 1 2 BF · EB= 1 2 ×3.6×4.8=8.64 （ cm 2 ） . 第 16 题答图 3210-1 4 65 7 185