第2章 1 不等关系-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 知识网络 不等式 实 际 背 景 不等式的基本性质 解不等式 解集 数轴表示 一元一次不等式 一元一次不等式组 一元一次不等式与一次函数关系 解法 解集 数轴表示 一元一次不等式的应用 1 不 等 关 系 自主导学 典例精析 例题 1 用适当的式子表示： x 与 3 的和的一半是负数 . 【分析】 “和的一半”， 应先求和， 再将和乘以 1 2 ； 负数， 即小于 0． 【解答】 根据题意， 得 1 2 （ x+3 ） ＜0． 例题 2 某校男子 100 m 跑的纪录是 12 s ， 在今年的校田径运动会上， 小刚的 100 m 跑打破了该项纪录， 那么小刚跑 100 m 所用的时间 t （ s ） 与 12 s 有怎样的大小关系？ 【分析】 根据小刚的 100 m 跑成绩 t s ， 打破了 12 s 纪录， 可得 t＜12． 【解答】 ∵ 小刚的 100 m 跑成绩打破了该项纪录 12 s ， ∴t<12. 【点拨】 找准关键字， 把文字语言转换为符号语言 ． 在列不等关系式时， 找出表示不等关 系的文字语言， 如 “至多” “至少” “不超过” “非负” 等， 并根据这些关键词列出不等式 是解题的关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 如果关于 x 的一元一次方程 x+2－m=0 的解是负数， 则关于 m 的不等关系为 . 2. 一辆卡车在公路上的行驶速度是 a km/h （ a＞0 ）， 已知公路对卡车的限速是 100 km/h ， 一元一次不等式与 一元一次不等式组 第二章 37 八年级下册 （北师大版）数学 那么 a 的取值可用不等式表示为 . 3. y 的平方与 9 的差的一半是非负数， 用不等式表示为 . 4. 下列式子是不等式的是 （ ） A. 3x＋5 B. y=－2x+5 C. 4x－6=3x D. 7x+6＞y 5. 下列不等式中， 不一定正确的是 （ ） A. －6＞－9 B. a＞－a C. 3<4 D. 1+a 2 ＞0 6. 实数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示， 有下列不等关系： ①a+b＞0 ； ②c－b＜bc ； ③abc＞0 ； ④ c a <-1. 其中正确的个数是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 下面列出的不等式中， 正确的是 （ ） A. a 是负数， 可表示为 a≤0 B. b 是非正数， 可表示为 b≥0 C. x 与 5 的和小于 6 ， 可表示为 x+5<6 D. x 与 4 的差是正数， 可表示为 x-4≥0 8. 在数轴上与原点的距离小于 8 的点对应的 x 满足的条件是 （ ） A. －8＜x＜8 B. x＜－8 或 x＞8 C. x＜8 D. x＞－8 9. 用适当的符号表示下列关系 . （ 1 ） a 的 4 倍比 b 与 5 的和大 . （ 2 ） m 的一半与 n 的平方的差是负数 . （ 3 ） x 的 3 倍与 1 的和小于 x 的 2 倍与 5 的差 . （ 4 ） 长为 a+b 、 宽为 a 的长方形面积小于边长为 3a－1 的正方形的面积 . 10. 请你将下列的两个不等式分别赋予一个实际背景 . （ 1 ） 2 （ a+b ） ≤15. （ 2 ） 5x+3y≤40. c b 0 a 第 6 题图 38 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 能力提升 综合拓展 11. 数学智力竞赛共有 20 道选择题， 其中每答对一道题得 6 分， 每答错一道题扣 2 分， 如果不答， 则不得分 . 小李同学有一道题没有答， 且他的成绩在 75 分以上， 试写出他答对的 题数 x 应满足的不等式 . 12. 有人问一位老师， 他所教的班有多少学生 . 老师说 : “一半的学生在学数学， 四分之 一的学生在学英语， 七分之一的学生在学音乐， 还剩不足六名同学在操场上踢足球 . ” 如果 设这个班的学生有 x 人， 请你列出关于 x 的不等式 . 13. 某物流公司听说某灾区的人们急需生活物资， 便准备将 300 t 物资运往该灾区 . 现有 A ， B 两种型号的车可供调用， 已知每辆 A 型车可装 20 t 物资， 每辆 B 型车可装 15 t 物资， 在每辆车不超载的条件下， 把 300 t 物资装运完， 问在已确定调用 A 型车 5 辆的前提下， 至 少还需调用 B 型车多少辆 . 如果设需调用 B 型车 x 辆， 那么请你列出关于 x 的不等式 . 中考链接 真题演练 14． （ 2022 ·吉林） y 与 2 的差不大于 0 ， 用不等式表示为 （ ） A． y-2＞0 B． y-2＜0 C． y-2≥0 D． y-2≤0 15. （ 2023 ·丽水） 小霞原有存款 52 元， 小明原有存款 70 元 ． 从这个月开始， 小霞每月 存 15 元零花钱， 小明每月存 12 元零花钱， 设经过 n 个月后小霞的存款超过小明， 可列不等 式为 （ ） A． 52+15n＞70+12n B． 52+15n＜70+12n C． 52+12n＞70+15n D． 52+12n＜70+15n 39 参 考 答 案 ∴AD＝ AF 2 +DF 2 姨 ＝ 6 2 +6 2 姨 ＝6 2 姨 ． 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1 不 等 关 系 1. m－2＜0 2. 0＜a≤100 3. 1 2 （ y 2 -9 ） ≥0 4. D 5. B 6. A 7. C 8. A 9. （ 1 ） 4a＞b+5 （ 2 ） 1 2 m-n 2 <0 （ 3 ） 3x+1<2x-5 （ 4 ） a （ a+b ） ＜ （ 3a－1 ） 2 10. 解： （ 1 ） 如一个长与宽分别是 a cm 和 b cm 的矩形的周长不超过 15 cm. （ 2 ） 如小明身上共有 40 元， 他到水 果超市买了 5 元 1 kg 的提子 x kg ， 3 元 1 kg 的苹果 y kg. 11. 6x－2 （ 19－x ） ＞75. 12. 0<x- x 2 + x 4 + x 7 7 % <6. 13. 20×5+15x≥300. 14. D 15. A 2 不等式的基本性质 1. ＞ ＞ 2. ＞ ＜ 3. ＜ ＜ 4. ＜4 5. B 6. A 7. B 8. D 9. （ 1 ） x＞3 （ 2 ） x＞5 （ 3 ） x＞ 5 18 （ 4 ） x> 2 3 （ 5 ） x＜80 （ 6 ） x＞0.075 10. 解： （ 1 ） 正确 . 不等式两边都乘以 3 ， 再同时减去 c. （ 2 ） 正确 . 不等式的两边都除以 －2 ， 再同时加 3. 11. 10a+b＞10b+a ， a＞b. 12. 解： 解法不正确 . 不等式两边同时除以 m 时， 没有考虑 m 的符号 . 正确解答： 当 m＞0 时， 得 x＜－1 ； 当 m＜0 时， 得 x＞－1. * 13. 解： （ 1 ） ∵x-y=3 ， ∴x=3+y. ∵x＞2 ， ∴3+y＞2. ∴y＞-1. 又 ∵y＜1 ， ∴-1＜y＜1. ① 同理得 2＜x＜4 ， ② ∴①+② 得 -1+ 2＜x+y＜1+4 ， ∴1＜x+y＜5. （ 2 ） ∵x-y=a ， ∴x=a+y. ∵x＜-1 ， ∴a+y＜-1. ∴y＜-1-a. ∵y＞1 ， ∴1＜y＜-a-1. ∴2a+2＜-2y＜-2. ① 同理 得 1+a＜x＜-1 ， ② ∴①+② 得 3a+3＜x-2y＜-3． 14. A 15. C 16. D 3 不等式的解集 1. 1 ， 2 ， 3 2. x≤2 3. 6 4. x≤ 1 1-a 5. 答案不唯一， 如 x＜3.5 6. D 7. D 8. B 9. 略 . 10. x＜ － 5 3 ， 图略 . 11. 解： ∵ 不等式 （ a+1 ） x＞a+1 的解集是 x＜1 ， ∴a+1＜0 ， ∴a＜-1． 12． C 13． A 14． A 4 一元一次不等式 （第 1 课时） 1. ② 2. 4 无数 4 3. ＜5 4. C 5. B 6. A 7. D 8. （ 1 ） x≥－ 9 2 （ 2 ） x＜7 （ 3 ） x≤－2 （ 4 ） x＞3 （ 5 ） x≤5 （ 6 ） y＞ 1 5 图略 . 9. 解： 两人均错误 . 正确的解答过程如下： 去分母， 得 6x- （ x+2 ） ＜2 （ 2-x ） . 去括号， 得 6x-x-2＜4-2x. 移项， 得 6x-x+ 2x＜4+2. 合并同类项， 得 7x＜6. 两边都除以 7 ， 得 x＜ 6 7 ． 10. 解： x＞－3 ， ∴x=－2 ， a=4. 11. 解： （ 1 ） （ -2 ） ※ 3 姨 = （ -2 ） 2 × 3 姨 - （ -2 ） × 3 姨 -3 3 姨 =4 3 姨 +2 3 姨 -3 3 姨 =3 3 姨 . （ 2 ） 由题意， 得 3※m≥-6 ， 则 9m-3m-3m≥-6 ， 解得 m≥-2. 图略 . 12. x＜1 13. 0≤m＜ 1 3 14. x＞8 m≤7 15. D 16. A 4 一元一次不等式 （第 2 课时） 1. x≥－15 2. 14 3. b a < b+m a+m （ a>b>0 ， m>0 ） 4. A 5. B 6. 0 ， 1 ， 2 ； 1 ， 2 ， 3 ； 2 ， 3 ， 4. 7. 解： 设这 5 名工人的平均体重为 x kg ， 得 5x+700>1 000. 解这个不等式， 得 x>60. 答： 这 5 名工人的平均体重超 过了 60 kg. 8. 解： 设小英的速度为 x km/h ， 则 1 15 x≥ 1 6 + 1 15 7 % ×4. 解得 x≥14. 答： 小英的平均速度至少是 14 km/h. 9. 解： （ 1 ） 设租用 45 座客车 a 辆， 则 45a=60 （ a-1 ） -30. 解得 a=6. 45a=270. 答： 该校参加春游的人数为 270 人 . （ 2 ） 设租用 45 座客车为 x 辆， 则 45x+60 （ x+1 ） ≥270. 解得 x≥2. 所以 x=2 ， 此时租金为 5 600 元 . 10. 解： （ 1 ） 设每辆 A 型号货车满载能运 x t 生活物资 ， 每辆 B 型号货车满载能运 y t 生活物资 ， 依题意 ， 得 x+3y=28 ， 2x+5y=50 0 . 解得 x=10 ， y=6 0 . 答： 每辆 A 型号货车满载能运 10 t 生活物资， 每辆 B 型号货车满载能运 6 t 生活物资 . （ 2 ） 设 还需联系 m 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意， 得 10×3+6m≥62.4. 解得 m≥5.4. 又 ∵m 为 正整数， ∴m 的最小值为 6． 答： 至少还需联系 6 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 . 11. 解： （ 1 ） ∵35×8+30=310 （元）， 310＜370 ， ∴m＜35． 依题意， 得 30+8m+12 （ 35-m ） =370. 解得 m=20． 答： 该车间的 日废水处理量为 20 t． （ 2 ） 设一天产生工业废水 x t ， 当 0＜x≤20 时 ， 8x+30≤10x. 解得 15≤x≤20 ； 当 x＞20 时 ， 12 （ x-20 ） +8×20+30≤10x. 解得 20＜x≤25． 综上所述， 该厂一天产生的工业废水量的范围为 15≤x≤25． 第 13 题答图 A B C D E 第 14 题答图 A B C D M N P E A B C D A B C D E F 图 1 第 15 题答图 图 2 183