第1章 4 角平分线(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACB 的外角 的平分线相交于点 P ， 连接 AP． （ 1 ） 求证： AP 平分 ∠BAC 的外角 ∠CAM. （ 2 ） 过点 C 作 CE⊥AP ， E 是垂足， 并延长 CE 交 BM 于点 D． 求证： CE=ED． 【分析】 （ 1 ） 过点 P 作 PT⊥BC 于点 T ， PS⊥AC 于点 S ， PQ⊥ BA ， 交 BA 的延长线于点 Q ， 根据角平分线性质证出 PQ=PS=PT ， 再根据角平分线判定定理即可得出 . （ 2 ） 根据 ASA 证 △AED≌△AEC 即可 ． 【证明】 （ 1 ） 如图， 过点 P 作 PT⊥BC 于点 T ， PS⊥AC 于点 S ， PQ⊥BA ， 交 BA 的延长线于点 Q. ∵∠ABC 的平分线与 ∠ACB 的外角的平分线相交于点 P ， ∴PQ=PT ， PS=PT ， ∴PQ=PS ， ∴AP 平分 ∠DAC ， 即 AP 平分 ∠BAC 的外角 ∠CAM. （ 2 ） ∵AP 平分 ∠BAC 的外角 ∠CAM ， ∴∠DAE=∠CAE. ∵CE⊥AP ， ∴∠AED=∠AEC=90°. 又 ∵AE=AE ， ∴△AED≌△AEC （ ASA ） . ∴CE=ED． 【点拨】 本题考查了角平分线性质定理和判定定理及全等三角形的性质和判定的应用 . 解 此题的关键是能正确作出辅助线并证出 PQ=PS 和 △AED≌△AEC. 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线相交于点 D ， ∠DBC=35° ， ∠DCB=30° ， 则 ∠BAD= . 2. 如图， 在 △ABC 中， BC=5 cm ， BP ， CP 分别是 ∠ABC ， ∠ACB 的平分线， 且 PD∥ AB ， PE∥AC ， 则 △PDE 的周长是 cm. 3. 如图， 已知 △ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90° ， BD ， CE 交于点 F ， 连接 AF． 下列结论： ①BD=CE ； ②BF⊥CF ； ③AF 平分 ∠CAD ； ④∠AFE=45°． 其中正确 例题图 B A C D E P M N 例题答图 B A C D E P M N Q T S 4 角平分线 （第 2课时） 第 3 题图 A B C D E F 第 2 题图 A B D C 第 1 题图 P A B D E C 32 三角形的证明 第一章 结论的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法错误的是 （ ） A. 三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部 B. 三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离都相等 C. 三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 D. 三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上 5. 如图， △ABC 的三边 AB ， BC ， CA 的长分别是 20 ， 30 ， 40 ， 其三 条角平分线将 △ABC 分为三个三角形， 则 S △ABO ∶ S △BCO ∶ S △CAO 等于 （ ） A． 3 ∶ 4 ∶ 5 B． 2 ∶ 3 ∶ 4 C． 1 ∶ 2 ∶ 3 D． 1 ∶ 1 ∶ 1 6. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是斜边 AB 上的高， E 是 BC 上一点， AE 交 CD 于点 F ， 且 ∠CEF=∠CFE ， EG⊥AB 于点 G. 求证： CE=EG. 7. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， 点 O 为 △ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥BC 于 点 D ， OE⊥AC 于点 E ， OF⊥AB 于点 F ， 且 BC=8 cm ， AC=6 cm ， 求 OE ， OF ， OD 的长 ． GA BD F E C 第 6 题图 A B C O 第 5 题图 第 7 题图 A B C D E F O 33 八年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 8. 已知： 如图， ∠ABC ， 射线 BC 上一点 D． 求作： 等腰三角形 PBD ， 使线段 BD 为等腰三角形 PBD 的底边， 点 P 在 ∠ABC 内部， 且点 P 到 ∠ABC 两边的距离相等 ． 9. 如图， 已知 AD 是 △ABC 的角平分线， AB=8 ， AC=6. （ 1 ） 求 S △ABD ∶S △ACD 的值 . （ 2 ） 求 BD CD 的值 . （ 3 ） 若 BC=12 ， 求 BD 的长 . 第 9 题图 A B C D A B C D 第 8 题图 34 三角形的证明 第一章 * 10. 如图， 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC 平分 ∠BAD ， CE⊥AB 于点 E ， ∠B+∠ADC=180°． （ 1 ） 求证： BC=CD. （ 2 ） 求证： AE-AD=BE. （ 3 ） 求证： AB+AD=2AE. （ 4 ） 求证： AB-AD=2BE． 中考链接 真题演练 11． （ 2024 ·湖南） 如图， 在锐角三角形 ABC 中， AD 是边 BC 上 的高， 在 BA ， BC 上分别截取线段 BE ， BF ， 使 BE＝BF ； 分别以点 E ， F 为圆心， 大于 1 2 EF 的长为半径画弧， 在 ∠ABC 内， 两弧交于点 P ， 作射线 BP ， 交 AD 于点 M ， 过点 M 作 MN⊥AB 于点 N． 若 MN＝2 ， AD＝4MD ， 则 AM＝ . 12. （ 2024 ·烟台） 某班开展 “用直尺和圆规作角平分线” 的探究活动， 各组展示作图痕 迹如下， 其中射线 OP 为 ∠AOB 的平分线的有 （ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 第 11 题图 第 12 题图 A B C D E F P M N A B C D O P A B C D O P A B C O P A B C D O P 第 10 题图 A B C D E 35 八年级下册 （北师大版）数学 13. （ 2023 ·河南） 如图， 在 △ABC 中， 点 D 在边 AC 上， 且 AD=AB． （ 1 ） 请用无刻度的直尺和圆规作出 ∠A 的平分线 . （保留作图痕迹， 不写作法） （ 2 ） 若 （ 1 ） 中所作的角平分线与边 BC 交于点 E ， 连接 DE． 求证： DE=BE． 14. （ 2024 ·青岛） 如图， 已知四边形 ABCD ， E 为 DC 边上一点 ． 求作： 四边形内一点 P ， 使 EP∥BC ， 且点 P 到 AB ， AD 的距离相等 ． 15. （ 2024 ·无锡） 如图， 在 △ABC 中， AB＞AC． （ 1 ） 作 ∠BAC 的角平分线， 在角平分线上确定点 D ， 使得 DB=DC. （不写作法， 保留痕 迹） （ 2 ） 在 （ 1 ） 的条件下， 若 ∠BAC=90° ， AB=7 ， AC=5 ， 求 AD 的长 . A B C D 第 13 题图 第 14 题图 A B C D E 第 15 题图 A B C 36 八年级下册 （北师大版）数学 4 角平分线 （第 1 课时） 1. 18 2. 3 3. 50° 4. α+β=180° 5. C 6. C 7. D 8. 证明： ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ADE ≌Rt△ADF. ∴AE=AF. ∴AD 垂直平分 EF. 9. 证明： 如图， 连接 AD. ∵AB=AC ， D 是 BC 的中点， ∴AD 是 ∠BAC 的平分线 . 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. ∴∠DEF=∠DFE. 10. 证明： 如图， 过点 P 作 PE⊥AB 于点 E ， PF⊥CD 于点 F ， ∵S △PAB =S △PCD ， ∴PE · AB=PF · CD. 又 ∵AB=CD ， ∴PE=PF. ∴OP 平分 ∠AOD. 11. （ 1 ） 证明： ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， ∠C=90° ， 即 CD⊥ AC ， ∴DC=DE. 在 Rt△FCD 和 Rt△BED 中， DC=DE ， DF=DB ， ∴Rt△FCD≌ Rt△BED （ HL ） . ∴CF=EB. （ 2 ） 解： AB=AF+2BE. 理由： 由 （ 1 ） 得， DC= DE ， 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ） . ∴AC=AE. ∴AB=AE+BE= AF+FC+BE=AF+2BE． 12. （ 1 ） 证明： 如图， 过点 E 作 EG⊥AD 于点 G ， EH⊥BC 于 点 H ， ∵EF⊥AB ， ∠AEF =50° ， ∴ ∠FAE=90°-50°=40°. ∵∠BAD=100° ， ∴∠CAD=180°- 100°-40°=40°. ∴∠FAE=∠CAD=40° ， 即 CA 为 ∠DAF 的平分线 . 又 ∵EF⊥AB ， EG⊥AD ， ∴EF=EG. ∵BE 是 ∠ABC 的平分 线 ， ∴EF=EH. ∴EG=EH. ∴ 点 E 在 ∠ADC 的平分线上 . ∴DE 平分 ∠ADC. （ 2 ） 解： 设 EG=x ， 由 （ 1 ） 得 EF=EH=EG=x. ∵S △ACD =15 ， AD=4 ， CD=8 ， ∴ 1 2 AD · EG+ 1 2 CD · EH=15 ， 即 4x+8x=30. 解得 x= 5 2 . ∴EF= 5 2 . ∴S △ABE = 1 2 AB · EF= 1 2 ×7× 5 2 = 35 4 ． * 13. （ 1 ） 证明： ∵AC 平分 ∠MAN ， ∠MAN=120° ， ∴∠CAB=∠CAD=60°. ∵∠ABC=∠ADC= 90° ， ∴∠ACB=∠ACD=30°. ∴AB=AD= 1 2 AC. ∴AB+AD=AC. （ 2 ） 成立 . 证明： 如图， 过点 C 分别作 AM ， AN 的垂线 ， 垂足分别为 E ， F. ∵AC 平分 ∠MAN ， ∴CE=CF. ∵∠ABC+∠ADC= 180° ， ∠ADC+∠CDE=180° ， ∴∠CDE=∠ABC. ∵∠CED=∠CFB=90° ， ∴△CED≌△CFB. ∴ED= FB. ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE. 由 （ 1 ） AF+AE=AC ， ∴AB+AD=AC. （ 3 ） 3 姨 14. 12 15. C 16. A 17. （ 1 ） 如图 . （ 2 ） ∠NOB ∠ONM 等边对等角 内错角相等， 两直线平行 4 角平分线 （第 2 课时） 1. 25° 2. 5 3. C 4. C 5. B 6. 证明： ∵CD⊥AB ， ∴∠DAE+∠DFA=90°. ∵∠CEF=∠CFE ， ∠DFA=∠CFE ， ∴∠DAE+∠CEF=90°. 又 ∵∠ACB=90° ， ∴∠CAE+∠CEF=90°. ∴∠CAE=∠DAE. ∴AE 是 ∠CAD 的平分线 . 又 ∵GE⊥AB ， ∠ACB=90° ， ∴CE=EG. 7. 解： ∵O 为 △ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥BC ， OE⊥AC ， OF⊥AB ， ∴OD=OE=OF. ∵∠ACB=90° ， BC=8 cm ， AC=6 cm ， ∴S △ABC = 1 2 BC · AC= 1 2 ×8×6=24 （ cm 2 ） . 由勾股定理 ， 得 AB＝ BC 2 +AC 2 姨 =10 cm. 设 OD=OE=OF=x cm ， ∵S △ABC =S △BOC +S △COA +S △BOA = 1 2 BC · OD+ 1 2 AC · OE+ 1 2 AB · OF ， ∴ 1 2 · 8x+ 1 2 · 6x+ 1 2 · 10x=12x. ∴12x=24. 解得 x=2. ∴OD=OE=OF=2 cm. 8. 解 ： 如图 ， ∵ 点 P 到 ∠ABC 两边的距离相等 ， ∴ 点 P 在 ∠ABC 的平分线上 . ∵ 线段 BD 为等腰三角形 PBD 的底边， ∴PB= PD. ∴ 点 P 在线段 BD 的垂直平分线上 . ∴ 点 P 是 ∠ABC 的平分线 与线段 BD 的垂直平分线的交点 . 9. 解： （ 1 ） 如图， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F ， ∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴DE=DF. ∴ S △ABD S △ACD = AB AC = 8 6 = 4 3 . （ 2 ） 如图， 作 AG⊥BC 于点 G ， ∵ S △ABD S △ACD = AB · DE AC · DF = BD · AG DC · AG ， ∴ BD CD = AB AC = 4 3 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知， BD CD = AB AC = 4 3 ， 且 BC=12 ， ∴ BD 12-BD = 4 3 . ∴BD= 48 7 . * 10. 证明： （ 1 ） 如图， 过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F ， 又 ∵CE⊥AB ， AC 平分 ∠BAD ， ∴CE=CF． ∵∠B+∠ADC=180° ， ∠FDC+∠ADC=180° ， ∴∠B=∠FDC． 又 ∵ ∠CFD=∠CEB ， CE=CF ， ∴△BCE≌△DCF （ AAS ） . ∴BC=CD. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得， △BCE≌ △DCF ， ∴BE =DF． ∵AC 平 分 ∠BAD ， ∴∠FAC =∠EAC． ∵∠CFD =∠CEA ， AC =AC ， ∴ △ACE≌△ACF （ AAS ） . ∴AE=AF=AD+DF=AD+BE. ∴AE-AD=BE. （ 3 ） ∵AE=AF ， BE= DF ， ∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE. （ 4 ） ∵AE=AF ， BE=DF ， ∴AB-AD= （ AE+BE ） - （ AF-DF ） =BE+DF= 2BE． 11. 6 12. D 13． （ 1 ） 解： 如图， AE 即为所求 . （ 2 ） 证明： ∵AE 平分 ∠BAC ， ∴∠BAE=∠DAE. ∵AB=AD ， AE=AE ， ∴△BAE≌ △DAE （ SAS ） . ∴DE=BE． 14. 解： 如图， 作 ∠DAB 的平分线 AM ， 以 E 为顶点， ED 为一边作 ∠DEN=∠C ， EN 交 AM 于点 P ， 点 P 即为所求 ． 15. 解： （ 1 ） 如图 1 ， AD 即为所求 ． （ 2 ） 如图 2 ， 过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E ， 过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于 点 F ， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， ∠BAC＝90° ， ∴DE＝DF ， ∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴∠ADE＝∠ADF＝45°. ∴AE=DE ， AF=DF. ∴AE＝AF＝ED＝DF. 设 AE＝AF＝ED＝DF＝x ， ∴BE＝AB-AE＝7-x ， FC＝AC-AF＝5-x. 在 Rt△BED 中， BD 2 ＝ ED 2 +BE 2 ＝x 2 + （ 7-x ） 2 . 在 Rt△CFD 中， CD 2 ＝DF 2 +FC 2 ＝x 2 + （ 5-x ） 2 . ∵DB＝DC ， ∴DB 2 ＝DC 2 ， 即 x 2 + （ 7-x ） 2 ＝x 2 + （ 5-x ） 2 . 解得 x＝6. 第 9 题答图 A B D F E C O P E B D C 第 10 题答图 F A 第 17 题答图 A B O M C D P N 第 13 题答图 M N F A B D E C 第 12 题答图 A B C D E F H G 第 10 题答图 A B C D E F 第 8 题答图 C B D P A A B C D 第 9 题答图 E F G 182 参 考 答 案 ∴AD＝ AF 2 +DF 2 姨 ＝ 6 2 +6 2 姨 ＝6 2 姨 ． 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1 不 等 关 系 1. m－2＜0 2. 0＜a≤100 3. 1 2 （ y 2 -9 ） ≥0 4. D 5. B 6. A 7. C 8. A 9. （ 1 ） 4a＞b+5 （ 2 ） 1 2 m-n 2 <0 （ 3 ） 3x+1<2x-5 （ 4 ） a （ a+b ） ＜ （ 3a－1 ） 2 10. 解： （ 1 ） 如一个长与宽分别是 a cm 和 b cm 的矩形的周长不超过 15 cm. （ 2 ） 如小明身上共有 40 元， 他到水 果超市买了 5 元 1 kg 的提子 x kg ， 3 元 1 kg 的苹果 y kg. 11. 6x－2 （ 19－x ） ＞75. 12. 0<x- x 2 + x 4 + x 7 7 % <6. 13. 20×5+15x≥300. 14. D 15. A 2 不等式的基本性质 1. ＞ ＞ 2. ＞ ＜ 3. ＜ ＜ 4. ＜4 5. B 6. A 7. B 8. D 9. （ 1 ） x＞3 （ 2 ） x＞5 （ 3 ） x＞ 5 18 （ 4 ） x> 2 3 （ 5 ） x＜80 （ 6 ） x＞0.075 10. 解： （ 1 ） 正确 . 不等式两边都乘以 3 ， 再同时减去 c. （ 2 ） 正确 . 不等式的两边都除以 －2 ， 再同时加 3. 11. 10a+b＞10b+a ， a＞b. 12. 解： 解法不正确 . 不等式两边同时除以 m 时， 没有考虑 m 的符号 . 正确解答： 当 m＞0 时， 得 x＜－1 ； 当 m＜0 时， 得 x＞－1. * 13. 解： （ 1 ） ∵x-y=3 ， ∴x=3+y. ∵x＞2 ， ∴3+y＞2. ∴y＞-1. 又 ∵y＜1 ， ∴-1＜y＜1. ① 同理得 2＜x＜4 ， ② ∴①+② 得 -1+ 2＜x+y＜1+4 ， ∴1＜x+y＜5. （ 2 ） ∵x-y=a ， ∴x=a+y. ∵x＜-1 ， ∴a+y＜-1. ∴y＜-1-a. ∵y＞1 ， ∴1＜y＜-a-1. ∴2a+2＜-2y＜-2. ① 同理 得 1+a＜x＜-1 ， ② ∴①+② 得 3a+3＜x-2y＜-3． 14. A 15. C 16. D 3 不等式的解集 1. 1 ， 2 ， 3 2. x≤2 3. 6 4. x≤ 1 1-a 5. 答案不唯一， 如 x＜3.5 6. D 7. D 8. B 9. 略 . 10. x＜ － 5 3 ， 图略 . 11. 解： ∵ 不等式 （ a+1 ） x＞a+1 的解集是 x＜1 ， ∴a+1＜0 ， ∴a＜-1． 12． C 13． A 14． A 4 一元一次不等式 （第 1 课时） 1. ② 2. 4 无数 4 3. ＜5 4. C 5. B 6. A 7. D 8. （ 1 ） x≥－ 9 2 （ 2 ） x＜7 （ 3 ） x≤－2 （ 4 ） x＞3 （ 5 ） x≤5 （ 6 ） y＞ 1 5 图略 . 9. 解： 两人均错误 . 正确的解答过程如下： 去分母， 得 6x- （ x+2 ） ＜2 （ 2-x ） . 去括号， 得 6x-x-2＜4-2x. 移项， 得 6x-x+ 2x＜4+2. 合并同类项， 得 7x＜6. 两边都除以 7 ， 得 x＜ 6 7 ． 10. 解： x＞－3 ， ∴x=－2 ， a=4. 11. 解： （ 1 ） （ -2 ） ※ 3 姨 = （ -2 ） 2 × 3 姨 - （ -2 ） × 3 姨 -3 3 姨 =4 3 姨 +2 3 姨 -3 3 姨 =3 3 姨 . （ 2 ） 由题意， 得 3※m≥-6 ， 则 9m-3m-3m≥-6 ， 解得 m≥-2. 图略 . 12. x＜1 13. 0≤m＜ 1 3 14. x＞8 m≤7 15. D 16. A 4 一元一次不等式 （第 2 课时） 1. x≥－15 2. 14 3. b a < b+m a+m （ a>b>0 ， m>0 ） 4. A 5. B 6. 0 ， 1 ， 2 ； 1 ， 2 ， 3 ； 2 ， 3 ， 4. 7. 解： 设这 5 名工人的平均体重为 x kg ， 得 5x+700>1 000. 解这个不等式， 得 x>60. 答： 这 5 名工人的平均体重超 过了 60 kg. 8. 解： 设小英的速度为 x km/h ， 则 1 15 x≥ 1 6 + 1 15 7 % ×4. 解得 x≥14. 答： 小英的平均速度至少是 14 km/h. 9. 解： （ 1 ） 设租用 45 座客车 a 辆， 则 45a=60 （ a-1 ） -30. 解得 a=6. 45a=270. 答： 该校参加春游的人数为 270 人 . （ 2 ） 设租用 45 座客车为 x 辆， 则 45x+60 （ x+1 ） ≥270. 解得 x≥2. 所以 x=2 ， 此时租金为 5 600 元 . 10. 解： （ 1 ） 设每辆 A 型号货车满载能运 x t 生活物资 ， 每辆 B 型号货车满载能运 y t 生活物资 ， 依题意 ， 得 x+3y=28 ， 2x+5y=50 0 . 解得 x=10 ， y=6 0 . 答： 每辆 A 型号货车满载能运 10 t 生活物资， 每辆 B 型号货车满载能运 6 t 生活物资 . （ 2 ） 设 还需联系 m 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意， 得 10×3+6m≥62.4. 解得 m≥5.4. 又 ∵m 为 正整数， ∴m 的最小值为 6． 答： 至少还需联系 6 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 . 11. 解： （ 1 ） ∵35×8+30=310 （元）， 310＜370 ， ∴m＜35． 依题意， 得 30+8m+12 （ 35-m ） =370. 解得 m=20． 答： 该车间的 日废水处理量为 20 t． （ 2 ） 设一天产生工业废水 x t ， 当 0＜x≤20 时 ， 8x+30≤10x. 解得 15≤x≤20 ； 当 x＞20 时 ， 12 （ x-20 ） +8×20+30≤10x. 解得 20＜x≤25． 综上所述， 该厂一天产生的工业废水量的范围为 15≤x≤25． 第 13 题答图 A B C D E 第 14 题答图 A B C D M N P E A B C D A B C D E F 图 1 第 15 题答图 图 2 183