第1章 1 等腰三角形(第4课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠B=30° ， E 是 AB 的 中点， 且 DE⊥AB ， 若 BD=6 cm ， 求 BC 的长 ． 【分析】 求出 ∠C=30° ， ∠BAC=120° ， 根据 △ADE 与 △BDE 全 等证出 AD=BD ， 进而得出 ∠CAD=90° ， 根据含 30° 角的直角三角 形的性质求出 CD ， 即可求解 ． 【解答】 ∵AB=AC ， ∠B=30° ， ∴∠B=∠C=30° ， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°. ∵E 是 AB 的中点， 且 DE⊥AB ， ∴AE=BE ， ∠AED=∠BED=90°. 又 ∵DE=DE ， ∴△ADE≌△BDE ， ∴AD=BD=6 cm ， ∠BAD=∠B=30°. ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°. 在 △ADC 中， ∠CAD=90° ， ∠C=30° ， AD=6 cm ， ∴CD=2AD=12 cm ， ∴BC=6+12=18 （ cm ） . 【点拨】 本题考查等腰三角形的性质、 三角形的内角和定理、 含 30° 角的直角三角形的性 质以及三角形全等的判定和性质的应用， 解此题的关键是建立 DC 与 BD 的关系 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ， 点 E 是 AC 的中点， EF⊥BC 于点 F ， ∠C=30° ， AB=8 cm ， 则 DE= ， EF= . 2. 如图， 在 Rt△ABC 中， CM 平分 ∠ACB 交 AB 于点 M ， 过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N ， 且 MN 平分 ∠AMC ， 若 AN=1 ， 则 BC 的长为 . 3. 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半， 那么这个三角形的顶角的度数为 . 4. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半， 那么这个三角形的顶角的度数为 . 5. 如图， 正六边形 DEFGHI 的顶点都在边长为 6 cm 的等边三角形 ABC 的边上， 则这个 正六边形的边长是 cm. 例题图 A B D F E C I H G A B D F E C 第 2 题图 第 5 题图第 1 题图 A B E D C A B C M N 1 等腰三角形 （第 4课时） 14 三角形的证明 第一章 6. 如图， P ， Q 是 △ABC 中 BC 边上的两点， 且 BP=AP=AQ=QC ， ∠PAQ=60°. （ 1 ） 求证： AB=AC. （ 2 ） 求 ∠BAC 的度数 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在等边三角形 ABC 中， D 是 BC 边上一点， △DEB 为等边三角形， 连接 CE 并 延长交 AB 的延长线于点 M ， 连接 AD 并延长与 BE 的延长线交于点 N ， 再连接 MN. 求证： △BMN 是等边三角形 . 8. 如图， 在 △ABC 中， ∠A＝40° ， 点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， BD＝BC＝CE ， 连接 CD ， BE． （ 1 ） 若 ∠ABC＝80° ， 求 ∠BDC ， ∠ABE 的度数 . （ 2 ） 写出 ∠BEC 与 ∠BDC 之间的关系， 并说明理由 ． M N A B D E C 第 7 题图 P Q A B C 第 6 题图 第 8 题图 D A B C E 15 八年级下册 （北师大版）数学 * 9. （ 1 ） 如图 1 ， 在 △ABC 中， ∠BAC＝90° ， AB=AC ， 直线 m 经过点 A ， BD⊥ 直线 m ， CE⊥ 直线 m ， 垂足分别为点 D ， E. 猜想 DE ， BD ， CE 的数量关系 . （直接写出猜想， 不要求 证明） （ 2 ） 如图 2 ， 将 （ 1 ） 中的条件改为： 在 △ABC 中， AB=AC ， D ， A ， E 三点都在直线 m 上， 并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α ， 其中 α 为任意锐角或钝角 . 请问 （ 1 ） 中猜想的结论是 否成立？ 若成立， 请你给出证明； 若不成立， 请说明理由 . （ 3 ） 如图 3 ， D ， E 是 D ， A ， E 三点所在直线 m 上的两动点 （ D ， A ， E 三点互不重合）， 点 F 为 ∠BAC 平分线上的一点， 且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形， 连接 BD ， CE ， 若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC ， 试判断 △DEF 的形状， 并说明理由 . 中考链接 真题演练 10． （ 2024 ·新疆） 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， ∠A=30° ， AB=8． 若点 D 在直线 AB 上 （不 与点 A ， B 重合）， 且 ∠BCD=30° ， 则 AD 的长为 ． 11. （ 2022 ·黑龙江） △ABC 和 △ADE 都是等边三角形 ． （ 1 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 1 的位置时， 连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合）， 有 PA+PB=PC （或 PA+PC=PB ） 成立 （不需证明） . （ 2 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时， 连接 BD ， CE 相交于点 P ， 连接 PA ， 猜想 线段 PA ， PB ， PC 之间有怎样的数量关系， 并加以证明 . （ 3 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 3 的位置时， 连接 BD ， CE 相交于点 P ， 连接 PA ， 猜想 线段 PA ， PB ， PC 之间有怎样的数量关系， 直接写出结论， 不需要证明 ． m A B D E C m A B D E C m A B D E C F 第 9 题图 图 1 图 2 图 3 A B C D E （ P ） A B C D E P A B C D E P 第 11 题图 图 2 图 3 图 1 16 八年级下册 （北师大版）数学 ∵∠BFD =∠AFE ， ∴∠AEB=∠AFE. ∴AE=AF. 9. 证明 ： 如图 ， 过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G ， 则 ∠GDF=∠E ， ∠DGB=∠ACB． ∴ ∠DGF=∠ECF. ∵F 为 DE 的中点 ， ∴DF=EF. ∴△GDF≌△CEF （ ASA ） . ∴GD=CE． ∵BD=CE ， ∴BD=GD. ∴∠B=∠DGB. ∵DG∥AC ， ∴∠DGB=∠ACB. ∴∠B=∠ACB. ∴AB=AC. ∴△ABC 是等腰 三角形 ． 10. 证明： ∵∠B+∠BDE+∠BED=180° ， ∠BED+∠DEF+∠FEC=180° ， ∠B=∠DEF ， ∴ ∠BDE=∠FEC. ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. 又 ∵BD=CE ， ∴△BED≌△CFE. ∴DE=EF ， 即 △DEF 是 等腰三角形 . 11. （ 1 ） 证明： ∵BD 是等边三角形 ABC 的中线 ， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∵∠ACB=60° ， CE=CD ， ∴∠E=∠CDE=30°. ∴∠CBD=∠E. ∴DB=DE. （ 2 ） 解： 成立 . 若 BD 是 △ABC 的角平 分线或高， 根据等腰三角形的三线合一性质， BD 即是三角形的中线， 转化为 （ 1 ） 的问题 . 12. （ 1 ） 证明： ∵EF∥AD ， 即 EP∥AD ， ∴∠1=∠4 ， ∠2=∠P. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠1= ∠2. ∴∠4=∠P. ∴AF=AP. ∴△APF 是等腰三角形 . （ 2 ） AB=PC． 证明： ∵CH∥AB ， ∴∠5=∠B ， ∠H=∠1. ∵EF∥AD ， ∴∠1=∠3. ∴∠H=∠3. 又 ∵BE=CD ， ∴△BEF≌△CDH （ AAS ） . ∴BF=CH. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠H. ∴AC=CH. ∴AC=BF. ∵AB=AF+BF ， PC=AP+AC ， 由 （ 1 ） 得， AF=AP ， ∴AB=PC． * 13. 证明： 方法一： 延长 DE 到点 F ， 使 EF=DE ， 连接 BF. 在 △CDE 和 △BFE 中， ∵CE= BE ， ∠DEC=∠FEB ， DE=FE ， ∴△CDE≌△BFE. ∴CD=BF ， ∠F=∠CDE. ∵∠BAE=∠CDE ， ∴ ∠F=∠BAE ， ∴BF=AB ， ∴AB=CD. 方法二： 过点 C 作 CF∥AB ， 与 DE 的延长线交于点 F ， 则 ∠BAE=∠F ， ∠B=∠BCF. ∵BE=CE ， ∴△ABE≌△FCE ， ∴AB=CF. ∵∠BAE=∠CDE ， ∴∠CDE= ∠F. ∴DC=CF. ∴AB=CD. 14. D 15. A 1 等腰三角形 （第 4 课时） 1. 4 cm 2 cm 2. 6 3. 120° 4. 90° 5. 2 6. （ 1 ） 证明 ： ∵BP=AP=AQ=QC ， ∴∠B=∠PAB ， ∠C=∠QAC. ∵∠PAQ=60° ， ∴△APQ 为等边三角形 . ∴∠PAQ= ∠APQ=∠AQP=60°. ∵∠APQ=∠B+∠PAB ， ∠AQP=∠C+∠QAC ， ∴∠B=∠PAB=∠C=∠QAC=30°. ∴AB=AC. （ 2 ） 解： ∵ ∠B=∠C=30° ， ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=120°. 7. 证明： ∵△ABC 和 △DEB 为等边三角形， ∴BC=AB ， ∠ABC=∠DBE=60° ， DB=EB. ∴△ADB≌△CEB （ SAS ） . ∴ ∠BAD=∠BCE. 又 ∵∠ABN=∠ABC+∠CBN=120° ， ∠CBM=180°-∠ABC=120° ， ∴∠ABN=∠CBM. ∴△ABN≌△CBM （ ASA ） . ∴BN=BM. 又 ∵∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60° ， ∴△BMN 是等边三角形 . 8. 解： （ 1 ） ∵∠ABC＝80° ， BD＝BC ， ∴∠BDC＝∠BCD＝ 1 2 × （ 180°-80° ） ＝50°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180° ， ∠A＝ 40° ， ∴∠ACB＝180°-40°-80°＝60°. ∵CE＝BC ， ∴△BCE 是等边三角形 . ∴∠EBC＝60°. ∴∠ABE＝∠ABC-∠EBC＝20°. （ 2 ） ∠BEC+∠BDC＝110°. 理由如下： 设 ∠BEC＝α ， ∠BDC＝β ， ∵α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE ， CE＝BC ， ∴∠CBE＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE. 在 △BDC 中， ∵BD＝BC ， ∴∠BDC+∠BCD+∠ABC＝2β+40°+2∠ABE＝ 180°. ∴ β＝70°-∠ABE. ∴α+β＝40°+∠ABE+70°-∠ABE＝110°. ∴∠BEC+∠BDC＝110°． * 9. （ 1 ） 解： DE= BD+CE. （ 2 ） 成立 . 证明： ∵∠BDA =∠BAC=α ， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α. ∴ ∠DBA=∠CAE. ∵∠BDA=∠AEC=α ， AB=AC ， ∴△ADB≌△CEA. ∴AE=BD ， AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. （ 3 ） 解： △DEF 为等边三角形 . 理由： 由 （ 2 ） 知 △ADB≌△CEA ， ∴BD=AE ， ∠DBA=∠CAE. ∵△ABF 和 △ACF 均为等边三角形， ∴ ∠ABF=∠CAF=60° . ∴∠DBA+∠ABF =∠CAE+∠CAF. ∴∠DBF =∠FAE. ∵BF =AF ， ∴△DBF≌△EAF. ∴DF =EF ， ∠BFD=∠AFE. ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°. ∴△DEF 为等边三角形 . 10. 6 或 12 11. （ 2 ） PB=PA+PC. 证明： 如图 1 ， 在 BP 上截取 BF=PC ， 连接 AF ， ∵△ABC ， △ADE 都是等边三角形 ， ∴AB=AC ， AD= AE ， ∠BAC=∠DAE=60°. ∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ， 即 ∠DAB =∠EAC. ∴△ABD≌△ACE （ SAS ） . ∴∠ABD =∠ACE. ∵AB=AC ， BF=CP ， ∴△BAF≌△CAP （ SAS ） . ∴AF=AP ， ∠BAF= ∠CAP. ∴∠PAF=∠BAC=60°. ∴△AFP 是等边三角形 . ∴PF=PA. ∴PB=BF+PF=PC+PA. （ 3 ） PC=PA+PB. 证明： 如图 2 ， 在 PC 上截取 CM=PB ， 连接 AM ， 同理得 △ABD≌△ACE （ SAS ） ， ∴ ∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC ， PB=CM ， ∴△AMC≌△APB （ SAS ） . ∴AM=AP ， ∠BAP=∠CAM. ∴∠BAC=∠PAM=60°. ∴△AMP 是等 边三角形 . ∴PM=PA. ∴PC=PM+CM=PA+PB． 2 直角三角形 （第 1 课时） 1. 16 2. n 姨 2 3. 20 4. C 5. A 6. 解： （ 1 ） 假命题 . 如果 x＞0 ， 那么 x 2 ＞0 ， 真命题 . （ 2 ） 真命题 . 有一个内角等于 90° 的三角形是直角三角形， 真 命题 . （ 3 ） 真命题 . 轴对称图形是等腰三角形， 假命题 . （ 4 ） 真命题 . 面积相等的两个三角形是全等的三角形， 假命 题 . 7. 证明： 在 △ABC 中， ∵∠B=90° ， AB=8 ， BC=6 ， ∴AC=10. 在 △ACD 中， ∵AC 2 +DC 2 =100+576=676 ， 而 AD 2 =26 2 = 676 ， ∴AC 2 +DC 2 =AD 2 . ∴△ACD 是直角三角形 . 8. 证明： 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB=90° ， ∴ 由勾股定理得 AC 2 +BC 2 =AB 2 . ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠D=90° ， AD=BD. 由勾股定理得 AD 2 +BD 2 =AB 2 ， ∴AD=BD= 2 姨 2 AB. ∴S 1 = 1 2 AD · BD= 1 4 AB 2 . 同理可得， S 2 = 1 4 BC 2 ， S 3 = 1 4 AC 2 . ∴S 2 + S 3 = 1 4 BC 2 + 1 4 AC 2 = 1 4 （ BC 2 +AC 2 ） = 1 4 AB 2 . ∴S 2 +S 3 =S 1 ， 即 S 1 =S 2 +S 3 . 9. 解： （ 1 ） 如图 . （ 2 ） △ADF 是等腰直角三角形 . 理由： ∵AB=AC ， AD⊥BC ， ∴∠BAD=∠CAD． ∵AF 平分 ∠EAC ， 第 9 题答图 A B C D E FG 第 12 题答图 A B C DE F H P 1 2 3 4 5 第 11 题答图 A B C D E F P 图 1 图 2 A B C D M E P 180