第1章 1 等腰三角形(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=3∠B ， ∠1=∠2 ， CD⊥ AD 于点 D． 求证： AB-AC=2CD． 【分析】 要证 AB-AC=2CD ， 须将 AB-AC 和 2CD 分别转化到 两条线段上， 为此， 延长 CD 交 AB 于点 E. 由已知易证 △ACE 为 等腰三角形， 进而得 AE=AC ， 则 AB-AC=BE. 再由 ∠ACB=3∠B ， 可得出 BE=EC ， 再由等腰三角形性质结论得证 ． 【证明】 如图， 延长 CD 交 AB 于点 E ， ∵CD⊥AD ， ∴∠ADE=∠ADC=90°. ∵∠1=∠2 ， ∠AED=180°-∠1-∠ADE ， ∠ACD=180°-∠2- ∠ADC ， ∴∠AED=∠ACD （三角形内角和定理） ． ∴AE=AC. ∴ED=CD． ∵∠ACD=∠ACB-∠ECB=3∠B-∠ECB ， ∠AED=∠B+∠ECB ， ∴3∠B-∠ECB=∠B+∠ECB ， ∴∠B=∠ECB． ∴EB=EC． ∵EB=AB-AE=AB-AC ， EC=2CD ， ∴AB-AC=2CD． 【点拨】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定， 解题的关键是利用截长补短法分别将 AB-AC 和 2CD 转化到 BE 和 EC 两条线段上， 进而证 BE 和 EC 两条线段相等 ． 当题目中涉及 垂直、 角平分线、 中线等条件时， 要构造等腰三角形， 反之亦然 ． 基础巩固 达标闯关 1. 若等腰三角形一个内角为 70° ， 则这个等腰三角形的另两个角的度数分别为 . 2. 若等腰三角形的一边长是 6 ， 周长为 20 ， 则它的腰长为 . 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线交于点 D ， 过点 D 作 EF∥BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F. 若 △AEF 的周长为 30 ， BC=12 ， 则 △ABC 的周长为 . 4. 如图， 在等边三角形 ABC 中， 高 AD ， BE 相交于点 F ， 则图中等 腰三角形 （包括 △ABC ） 的个数是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图， 在 △ABC 中， ∠A=36° ， D 是 AC 边上的点， 且 AD=BD=BC ， 则 ∠CBD= （ ） A. 18° B. 36° C. 45° D. 72° A B D C 第 5 题图 A B D F E C 第 4 题图 A B D F E C 第 3 题图 1 等腰三角形 （第 3课时） A B C D 1 2 E 例题答图 A B C D 1 2 例题图 10 三角形的证明 第一章 6. 下列命题中正确的个数是 （ ） ① 如果一个三角形一边上的中线和这条边所对的内角的平分线重合， 那么这个三角形是 等腰三角形； ② 有两个外角 （不在同一个顶点处） 相等的三角形是等腰三角形； ③ 两个内 角度数分别为 80° 和 20° 的三角形是等腰三角形； ④ 有两个角不相等的三角形一定不是等腰 三角形； ⑤ 三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的 2 倍， 那么这个三角形是等腰三 角形 . A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB 的平分线交 AB 于点 E ， 过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F ， 求证： △FEC 是等腰三角形 ． 8. 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD⊥BC ， ∠ABE=∠CBE. 求证： AE=AF. 9. 如图， 点 E 在 △ABC 的边 AC 的延长线上， 点 D 在 AB 边上， DE 交 BC 于点 F ， 且 BD=CE ， 若 F 为 DE 的中点， 求证： △ABC 是等腰三角形 ． A B D F E C 第 8 题图 A B C D E F 第 9 题图 第 7 题图 A B C E F 11 八年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 10. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， D ， E ， F 分别是边 AB ， BC ， AC 上的点， 且 BD=CE ， ∠B=∠DEF. 求证： △DEF 是等腰三角形 . 11. 如图， 已知 △ABC 是等边三角形， BD 是中线， 延长 BC 至点 E ， 使 CE=CD. （ 1 ） 求证： DB=DE. （ 2 ） 若 BD 是 △ABC 的角平分线或高， （ 1 ） 中的结论成立吗？ 请说明理由 . 12. 如图， 在 △ABC 中， AD 平分 ∠BAC ， E 是 BC 上一点， BE=CD ， EF∥AD 交 AB 于点 F ， 交 CA 的延长线于点 P ， CH∥AB 交 AD 的延长线于点 H． （ 1 ） 求证： △APF 是等腰三角形 . （ 2 ） 猜想 AB 与 PC 的大小关系， 并证明你的猜想 ． A B D E C 第 11 题图 第 12 题图 A B C DE F H P A B D F E C 第 10 题图 12 三角形的证明 第一章 * 13. 阅读下面的题目及分析过程， 并按要求进行证明 . 已知： 如图， E 是 BC 的中点， 点 A 在 DE 上， 且 ∠BAE=∠CDE. 求证： AB=CD. 分析： 证明两条线段相等， 常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性 质 . 观察本题中要证明的两条线段， 它们不在同一个三角形中， 且它们分别所在的两个三角 形也不全等 . 因此， 要证 AB=CD ， 必须添加适当的辅助线， 构造全等三角形或等腰三角形 . 请你根据上面的分析过程， 添加适当的辅助线， 证明原题 . （用两种方法添加辅助线） 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·菏泽） △ABC 的三边长 a ， b ， c 满足 （ a-b ） 2 + 2a-b-3 姨 + |c-3 2 姨 |＝0 ， 则 △ABC 是 （ ） A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 等腰直角三角形 15. （ 2023 ·衡阳） 我们可以用以下推理来证明 “在一个三角形中， 至少有一个内角小于 或等于 60° ” ． 假设三角形没有一个内角小于或等于 60° ， 即三个内角都大于 60° ， 则三角形的 三个内角的和大于 180°． 这与 “三角形的内角和等于 180° ” 这个定理矛盾， 所以在一个三角 形中， 至少有一个内角小于或等于 60°． 上述推理使用的证明方法是 （ ） A． 反证法 B． 比较法 C． 综合法 D． 分析法 A B D E C 第 13 题图 13 参 考 答 案 参 考 答 案 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 （第 1 课时） 1. 60° 2.∠ABC=∠DCB 或 ∠ACB=∠DBC 或 OB=OC 或 OA=OD 或 AB=CD 3. 8 cm 180° 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. 证明： ∵CF∥AB ， ∴∠F=∠ADE ， ∠A=∠ACF. 又 ∵EA=EC ， ∴△ADE≌△CFE ， ∴ AD=CF. 10. 解： （ 1 ） ①△ABD≌△ACD ， ②△ABE≌△ACE ， ③△BDE≌△CDE. ① 证明： 在 △ABD 和 △ACD 中， ∵AB= AC ， BD=CD ， AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD （ SSS ） . ② 证明 ： 由 △ABD≌△ACD 得 ∠BAD=∠CAD ， 又 ∵AB=AC ， AE=AE ， ∴△ABE≌△ACE （ SAS ） . ③ 证明： 由 △ABE≌△ACE ， 得 BE=CE ， 又 ∵BD=CD ， DE=DE ， ∴△BDE≌△CDE （ SSS ） . （ 2 ） AE 是 △ABC 的顶角的平分线、 底边上的高线和底边的中线 . 11. 解 ： ∵OA=OB=OC ， ∴∠BAO=∠ABO ， ∠CAO=∠ACO ， ∠CBO=∠BCO. ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° ， ∴∠OBA+∠OBC+∠OAC=90°. ∵∠OBA=40° ， ∠OAC=30° ， ∴∠OBC=20°. * 1２. （ 1 ） △ABE 与 △CAF 全等成立 . 证明： 如正文图 1 ， ∵∠1 ， ∠2 分别是 △CAF ， △ABE 的外角， ∴∠1=∠ACF+ ∠CAF ， ∠2=∠BAE+∠ABE. 又 ∵∠BAC=∠BAE+∠CAF ， ∠1=∠2=∠BAC ， ∴∠BAE=∠ACF ， ∠ABE=∠CAF. 又 ∵ AB= CA ， ∴△ABE≌△CAF. （ 2 ） 解： 如正文图 2 ， ∵ 由 （ 1 ） 知 △ABE≌△CAF ， ∴S △ABE =S △CAF ， ∴S △ABE +S △CDF =S △CAF +S △CDF = S △ACD . 设 △ABC 的 BC 边上的高为 h ， ∴S △ABD = 1 2 h · BD ， S △ACD = 1 2 h · CD. ∵CD=2BD ， S △ABC =9 ， ∴S △ACD =6. ∴S △ABE +S △CDF =6. * 13. 解： （ 1 ） 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= （ 180°-∠A ） ÷2=50° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B=180°-2×80°=20° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=80°. 故 ∠B=50° 或 20° 或 80°. （ 2 ） 分两种情况： ① 当 90≤x＜180 时， ∠A 只能为顶 角， ∴∠B 的度数只有一个 . ② 当 0＜x＜90 时， 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= 180-x 2 2 ' ° . 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B= （ 180-2x ） ° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=x°. 当 180-x 2 ≠180-2x 且 180-2x≠x 且 180-x 2 ≠x ， 即 x≠60 时， ∠B 有 三个不同的度数 . 综上所述， 可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时， ∠B 有三个不同的度数 . * 14. 解： （ 1 ） ∠DAC 的度数不会改变 . ∵EA=EC ， ∴∠CAE=∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=90° ， ∴∠B=180°-∠BAE- ∠AED=90°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB. ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 90°-2∠C ）］ =45°+∠C. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°- （ 45°+∠C ） =45°-∠C ， ∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°. （ 2 ） ∵EA=EC ， ∴∠CAE= ∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=n° ， ∴∠B=180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB ， ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 180°-n°-2∠C ）］ = 1 2 n°+∠C ， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°- 1 2 n°-∠C= 1 2 n°-∠C. ∴∠DAC= ∠DAE+∠CAE= 1 2 n°-∠C+∠CAE= 1 2 n°. 15. 52° 16. 4 17. 6 18. 100° 19. C 20. B 21. B 22. 证明： ∵△ACD ， △BCE 分别是以 AC ， BC 为底边的等腰三角形， ∴AD=DC ， CE=BE. ∴∠A=∠DCA ， ∠ECB= ∠CBE. ∵∠A=∠CBE ， ∴∠A=∠ECB=∠DCA=∠CBE. ∴CD∥BE.∴∠DCE=∠CEB. ∵EF=AD ， AD=DC ， ∴EF=DC. 又 ∵CE= BE ， ∴△DCE≌△FEB （ SAS ） . ∴DE=BF. 1 等腰三角形 （第 2 课时） 1. 240 2. 40 3. 15° 4. 12 5. D 6. 解： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∴∠ACD=120°. ∵CG=CD ， ∴∠CDG=∠CGD= 1 2 （ 180°－∠ACD ） =30°. ∴∠FDE=150°. ∵DF=DE ， ∴∠E=∠EFD= 1 2 （ 180°－∠FDE ） =15°. 7. （ 1 ） 解： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠B=∠A=∠C=60° . ∵∠B+∠1+∠DEB=180° ， ∠DEB+∠DEF+∠2=180° ， ∠DEF=60° ， ∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB. ∴∠2=∠1=50°. （ 2 ） 证明： ∵DF∥BC ， ∴∠2=∠3. 又由 （ 1 ） 知， ∠1=∠2 ， ∴∠1=∠3． 8. 解： （ 1 ） ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴ ∠CBE=∠ACD. ∵∠BCD+∠ACD=60° ， ∴∠BCD+∠CBE=60° . 又 ∵∠CPE=∠BCD+∠CBE ， ∴∠CPE=60° . （ 2 ） ∵ △ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. ∵∠BCE=180°-∠ACB ， ∠CAD=180°-∠BAC ， ∴∠BCE=∠CAD= 120° . 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴∠BEC=∠ADC. ∵∠ECP=∠ACD ， ∴∠BEC+ ∠CPE=∠ADC+∠CAD. ∴∠CPE=∠CAD=120°. 9. （ 1 ） 证明： ∵△ABC 与 △ECD 是等边三角形， ∴AC=BC ， DC=EC ， ∠B=∠ACB=∠DCE= 60°． 又 ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD ， ∠ACE=∠DCE-∠ACD ， ∴∠BCD=∠ACE. ∴△ACE≌△BCD （ SAS ） . ∴∠CAE=∠CBD=60°． ∴∠CAE=∠ACB． ∴AE∥BC. （ 2 ） 补画的图形如图所示， （ 1 ） 的结论仍然成立 . 证明如下： 同 （ 1 ） 方法可证 △ACE≌ △BCD ， ∴∠CAE=∠CBD． ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60° ． ∴∠CAE= ∠CBD=120°． ∴∠BAE=∠CAE-∠BAC=60°. ∴∠BAE=∠ABC. ∴AE∥BC. 10. 1+ 3 姨 11. B 1 等腰三角形 （第 3 课时） 1. 55° 和 55° 或 70° 和 40° 2. 6 或 7 3. 42 4. D 5. B 6. C 7. 证明： ∵CE 是 ∠ACB 的平分线， ∴∠FCE=∠BCE. ∵EF∥BC ， ∴∠FEC=∠BCE. ∴∠FCE=∠FEC. ∴FE=FC. ∴△FEC 是等腰三角形 ． 8. 证明： ∵∠BAC=90° ， ∴∠ABE+∠AEB=90°. ∵AD⊥BC ， ∴∠DBF+∠BFD=90°. ∵∠ABE=∠CBE ， ∴∠AEB=∠BFD. E A B C D 第 9 题答图 179 八年级下册 （北师大版）数学 ∵∠BFD =∠AFE ， ∴∠AEB=∠AFE. ∴AE=AF. 9. 证明 ： 如图 ， 过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G ， 则 ∠GDF=∠E ， ∠DGB=∠ACB． ∴ ∠DGF=∠ECF. ∵F 为 DE 的中点 ， ∴DF=EF. ∴△GDF≌△CEF （ ASA ） . ∴GD=CE． ∵BD=CE ， ∴BD=GD. ∴∠B=∠DGB. ∵DG∥AC ， ∴∠DGB=∠ACB. ∴∠B=∠ACB. ∴AB=AC. ∴△ABC 是等腰 三角形 ． 10. 证明： ∵∠B+∠BDE+∠BED=180° ， ∠BED+∠DEF+∠FEC=180° ， ∠B=∠DEF ， ∴ ∠BDE=∠FEC. ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. 又 ∵BD=CE ， ∴△BED≌△CFE. ∴DE=EF ， 即 △DEF 是 等腰三角形 . 11. （ 1 ） 证明： ∵BD 是等边三角形 ABC 的中线 ， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∵∠ACB=60° ， CE=CD ， ∴∠E=∠CDE=30°. ∴∠CBD=∠E. ∴DB=DE. （ 2 ） 解： 成立 . 若 BD 是 △ABC 的角平 分线或高， 根据等腰三角形的三线合一性质， BD 即是三角形的中线， 转化为 （ 1 ） 的问题 . 12. （ 1 ） 证明： ∵EF∥AD ， 即 EP∥AD ， ∴∠1=∠4 ， ∠2=∠P. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠1= ∠2. ∴∠4=∠P. ∴AF=AP. ∴△APF 是等腰三角形 . （ 2 ） AB=PC． 证明： ∵CH∥AB ， ∴∠5=∠B ， ∠H=∠1. ∵EF∥AD ， ∴∠1=∠3. ∴∠H=∠3. 又 ∵BE=CD ， ∴△BEF≌△CDH （ AAS ） . ∴BF=CH. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠H. ∴AC=CH. ∴AC=BF. ∵AB=AF+BF ， PC=AP+AC ， 由 （ 1 ） 得， AF=AP ， ∴AB=PC． * 13. 证明： 方法一： 延长 DE 到点 F ， 使 EF=DE ， 连接 BF. 在 △CDE 和 △BFE 中， ∵CE= BE ， ∠DEC=∠FEB ， DE=FE ， ∴△CDE≌△BFE. ∴CD=BF ， ∠F=∠CDE. ∵∠BAE=∠CDE ， ∴ ∠F=∠BAE ， ∴BF=AB ， ∴AB=CD. 方法二： 过点 C 作 CF∥AB ， 与 DE 的延长线交于点 F ， 则 ∠BAE=∠F ， ∠B=∠BCF. ∵BE=CE ， ∴△ABE≌△FCE ， ∴AB=CF. ∵∠BAE=∠CDE ， ∴∠CDE= ∠F. ∴DC=CF. ∴AB=CD. 14. D 15. A 1 等腰三角形 （第 4 课时） 1. 4 cm 2 cm 2. 6 3. 120° 4. 90° 5. 2 6. （ 1 ） 证明 ： ∵BP=AP=AQ=QC ， ∴∠B=∠PAB ， ∠C=∠QAC. ∵∠PAQ=60° ， ∴△APQ 为等边三角形 . ∴∠PAQ= ∠APQ=∠AQP=60°. ∵∠APQ=∠B+∠PAB ， ∠AQP=∠C+∠QAC ， ∴∠B=∠PAB=∠C=∠QAC=30°. ∴AB=AC. （ 2 ） 解： ∵ ∠B=∠C=30° ， ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=120°. 7. 证明： ∵△ABC 和 △DEB 为等边三角形， ∴BC=AB ， ∠ABC=∠DBE=60° ， DB=EB. ∴△ADB≌△CEB （ SAS ） . ∴ ∠BAD=∠BCE. 又 ∵∠ABN=∠ABC+∠CBN=120° ， ∠CBM=180°-∠ABC=120° ， ∴∠ABN=∠CBM. ∴△ABN≌△CBM （ ASA ） . ∴BN=BM. 又 ∵∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60° ， ∴△BMN 是等边三角形 . 8. 解： （ 1 ） ∵∠ABC＝80° ， BD＝BC ， ∴∠BDC＝∠BCD＝ 1 2 × （ 180°-80° ） ＝50°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180° ， ∠A＝ 40° ， ∴∠ACB＝180°-40°-80°＝60°. ∵CE＝BC ， ∴△BCE 是等边三角形 . ∴∠EBC＝60°. ∴∠ABE＝∠ABC-∠EBC＝20°. （ 2 ） ∠BEC+∠BDC＝110°. 理由如下： 设 ∠BEC＝α ， ∠BDC＝β ， ∵α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE ， CE＝BC ， ∴∠CBE＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE. 在 △BDC 中， ∵BD＝BC ， ∴∠BDC+∠BCD+∠ABC＝2β+40°+2∠ABE＝ 180°. ∴ β＝70°-∠ABE. ∴α+β＝40°+∠ABE+70°-∠ABE＝110°. ∴∠BEC+∠BDC＝110°． * 9. （ 1 ） 解： DE= BD+CE. （ 2 ） 成立 . 证明： ∵∠BDA =∠BAC=α ， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α. ∴ ∠DBA=∠CAE. ∵∠BDA=∠AEC=α ， AB=AC ， ∴△ADB≌△CEA. ∴AE=BD ， AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. （ 3 ） 解： △DEF 为等边三角形 . 理由： 由 （ 2 ） 知 △ADB≌△CEA ， ∴BD=AE ， ∠DBA=∠CAE. ∵△ABF 和 △ACF 均为等边三角形， ∴ ∠ABF=∠CAF=60° . ∴∠DBA+∠ABF =∠CAE+∠CAF. ∴∠DBF =∠FAE. ∵BF =AF ， ∴△DBF≌△EAF. ∴DF =EF ， ∠BFD=∠AFE. ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°. ∴△DEF 为等边三角形 . 10. 6 或 12 11. （ 2 ） PB=PA+PC. 证明： 如图 1 ， 在 BP 上截取 BF=PC ， 连接 AF ， ∵△ABC ， △ADE 都是等边三角形 ， ∴AB=AC ， AD= AE ， ∠BAC=∠DAE=60°. ∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ， 即 ∠DAB =∠EAC. ∴△ABD≌△ACE （ SAS ） . ∴∠ABD =∠ACE. ∵AB=AC ， BF=CP ， ∴△BAF≌△CAP （ SAS ） . ∴AF=AP ， ∠BAF= ∠CAP. ∴∠PAF=∠BAC=60°. ∴△AFP 是等边三角形 . ∴PF=PA. ∴PB=BF+PF=PC+PA. （ 3 ） PC=PA+PB. 证明： 如图 2 ， 在 PC 上截取 CM=PB ， 连接 AM ， 同理得 △ABD≌△ACE （ SAS ） ， ∴ ∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC ， PB=CM ， ∴△AMC≌△APB （ SAS ） . ∴AM=AP ， ∠BAP=∠CAM. ∴∠BAC=∠PAM=60°. ∴△AMP 是等 边三角形 . ∴PM=PA. ∴PC=PM+CM=PA+PB． 2 直角三角形 （第 1 课时） 1. 16 2. n 姨 2 3. 20 4. C 5. A 6. 解： （ 1 ） 假命题 . 如果 x＞0 ， 那么 x 2 ＞0 ， 真命题 . （ 2 ） 真命题 . 有一个内角等于 90° 的三角形是直角三角形， 真 命题 . （ 3 ） 真命题 . 轴对称图形是等腰三角形， 假命题 . （ 4 ） 真命题 . 面积相等的两个三角形是全等的三角形， 假命 题 . 7. 证明： 在 △ABC 中， ∵∠B=90° ， AB=8 ， BC=6 ， ∴AC=10. 在 △ACD 中， ∵AC 2 +DC 2 =100+576=676 ， 而 AD 2 =26 2 = 676 ， ∴AC 2 +DC 2 =AD 2 . ∴△ACD 是直角三角形 . 8. 证明： 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB=90° ， ∴ 由勾股定理得 AC 2 +BC 2 =AB 2 . ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠D=90° ， AD=BD. 由勾股定理得 AD 2 +BD 2 =AB 2 ， ∴AD=BD= 2 姨 2 AB. ∴S 1 = 1 2 AD · BD= 1 4 AB 2 . 同理可得， S 2 = 1 4 BC 2 ， S 3 = 1 4 AC 2 . ∴S 2 + S 3 = 1 4 BC 2 + 1 4 AC 2 = 1 4 （ BC 2 +AC 2 ） = 1 4 AB 2 . ∴S 2 +S 3 =S 1 ， 即 S 1 =S 2 +S 3 . 9. 解： （ 1 ） 如图 . （ 2 ） △ADF 是等腰直角三角形 . 理由： ∵AB=AC ， AD⊥BC ， ∴∠BAD=∠CAD． ∵AF 平分 ∠EAC ， 第 9 题答图 A B C D E FG 第 12 题答图 A B C DE F H P 1 2 3 4 5 第 11 题答图 A B C D E F P 图 1 图 2 A B C D M E P 180