第1章 1 等腰三角形(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

三角形的证明 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， P 为等边三角形 ABC 内的一点 ， 它到三边 AB ， AC ， BC 的距离分别为 h 1 ， h 2 ， h 3 ， △ABC 的高 AM=h． 猜想 h 与 h 1 ， h 2 ， h 3 有何数量关系， 写出你的猜想并加以证明 ． 【分析】 如图， 连接 PA ， PB ， PC ， 由 S △ABC =S △PAB +S △PAC +S △PBC ， 可得 1 2 BC · h= 1 2 AB · h 1 + 1 2 AC · h 2 + 1 2 BC · h 3 ， 又由 △ABC 是等边三角形， 即可 得 h=h 1 +h 2 +h 3 ． 【解答】 h=h 1 +h 2 +h 3 ， 证明如下： 如图， 连接 PA ， PB ， PC ， 则 S △ABC =S △PAB +S △PAC +S △PBC ， ∴ 1 2 BC · h= 1 2 AB · h 1 + 1 2 AC · h 2 + 1 2 BC · h 3 . ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC ， ∴h=h 1 +h 2 +h 3 ． 【点拨】 此题考查等边三角形的性质与三角形面积的求解方法 ． 解题的关键是要恰当地作 辅助线， 将大三角形分割为三个小三角形， 从而运用面积的不同表示方法建立等量关系 . 此 外， 本例的解题方法为我们今后解面积类型的问题提供了基本的解题思路 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 将一个等边三角形剪去一个角后， ∠1+∠2= °. 2. 如图， l∥m ， 等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 m 上， 边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20° ， 则 ∠α 为 °. 3. 如图， △ABC 是等边三角形， AD 为中线， AD=AE ， 则 ∠EDC 的度数为 . 4. 如图， D 是等边三角形 ABC 外一点 ． 若 BD=8 ， CD=6 ， 连接 AD ， 则 AD 的最大值与最 小值的差为 . 5. 如图， △ABP 与 △CDP 是两个全等的等边三角形， 且 PA⊥PD. 有下列四个结论： 第 1 题图 1 2 20° α A B l m C A B D E C P D A B C 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 A B C D 1 等腰三角形 （第 2课时） 例题答图 A B C D E F M P 例题图 A B C D E F M P 7 八年级下册 （北师大版）数学 ①BP=PC ； ②∠PBC=15° ； ③AD∥BC ； ④ 四边形 ABCD 是轴对称图形 . 其中正确结论的个数 是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图， 已知 △ABC 是等边三角形， 点 B ， C ， D ， E 在同一条直线上， 且 CG=CD ， DF= DE ， 求 ∠E 的度数 . 7. 如图， △ABC 是等边三角形， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 上的点， 且 ∠DEF=60°． （ 1 ） 如图 1 ， 若 ∠1=50° ， 求 ∠2 的度数 . （ 2 ） 如图 2 ， 连接 DF ， 若 DF∥BC ， 求证： ∠1=∠3． 能力提升 综合拓展 8. 在等边 △ABC 中， 点 D ， E 分别在直线 AB ， AC 上， 且 AD=CE ， BE ， CD 交于点 P. （ 1 ） 如图 1 ， 当点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上时， 求 ∠CPE 的度数 . （ 2 ） 如图 2 ， 当点 D ， E 分别在边 BA ， AC 的延长线上时， 其他条件不变， 求 ∠CPE 的 度数 . 第 6 题图 G A B D F E C A B C D P E A B C D E P 图 2 图 1 第 8 题图 第 7 题图 图 1 图 2 A B C D E F 1 2 A B C D E F 1 2 3 8 三角形的证明 第一章 9. 已知 △ABC 是等边三角形， D 是射线 AB 上一点， 连接 CD ， 以 CD 为一边向上作等边 △ECD ， 连接 AE. （ 1 ） 如图 1 ， 当点 D 在线段 AB 上时， 求证： AE∥BC. （ 2 ） 如图 2 ， 当点 D 在射线 AB 上时， 其他条件不变， 请你在图 2 中补画出符合题意的 图形， （ 1 ） 的结论是否还成立？ 若成立， 请给予证明； 若不成立， 请说明理由 ． 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·凉山州） 如图， 边长为 2 的等边三角形 ABC 的两个顶点 A ， B 分别在两条射 线 OM ， ON 上滑动， 若 OM⊥ON ， 则 OC 的最大值是 . 11. （ 2024 ·泰安） 如图， 直线 l∥m ， 等边三角形 ABC 的两个顶点 B ， C 分别落在直线 l ， m 上， 若 ∠ABE=21° ， 则 ∠ACD 的度数是 （ ） A． 45° B． 39° C． 29° D． 21° 第 9 题图 图 2 图 1 A B C D E A B C D 第 10 题图 第 11 题图 A B C M N O A B C D E m l 9 参 考 答 案 参 考 答 案 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 （第 1 课时） 1. 60° 2.∠ABC=∠DCB 或 ∠ACB=∠DBC 或 OB=OC 或 OA=OD 或 AB=CD 3. 8 cm 180° 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. 证明： ∵CF∥AB ， ∴∠F=∠ADE ， ∠A=∠ACF. 又 ∵EA=EC ， ∴△ADE≌△CFE ， ∴ AD=CF. 10. 解： （ 1 ） ①△ABD≌△ACD ， ②△ABE≌△ACE ， ③△BDE≌△CDE. ① 证明： 在 △ABD 和 △ACD 中， ∵AB= AC ， BD=CD ， AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD （ SSS ） . ② 证明 ： 由 △ABD≌△ACD 得 ∠BAD=∠CAD ， 又 ∵AB=AC ， AE=AE ， ∴△ABE≌△ACE （ SAS ） . ③ 证明： 由 △ABE≌△ACE ， 得 BE=CE ， 又 ∵BD=CD ， DE=DE ， ∴△BDE≌△CDE （ SSS ） . （ 2 ） AE 是 △ABC 的顶角的平分线、 底边上的高线和底边的中线 . 11. 解 ： ∵OA=OB=OC ， ∴∠BAO=∠ABO ， ∠CAO=∠ACO ， ∠CBO=∠BCO. ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° ， ∴∠OBA+∠OBC+∠OAC=90°. ∵∠OBA=40° ， ∠OAC=30° ， ∴∠OBC=20°. * 1２. （ 1 ） △ABE 与 △CAF 全等成立 . 证明： 如正文图 1 ， ∵∠1 ， ∠2 分别是 △CAF ， △ABE 的外角， ∴∠1=∠ACF+ ∠CAF ， ∠2=∠BAE+∠ABE. 又 ∵∠BAC=∠BAE+∠CAF ， ∠1=∠2=∠BAC ， ∴∠BAE=∠ACF ， ∠ABE=∠CAF. 又 ∵ AB= CA ， ∴△ABE≌△CAF. （ 2 ） 解： 如正文图 2 ， ∵ 由 （ 1 ） 知 △ABE≌△CAF ， ∴S △ABE =S △CAF ， ∴S △ABE +S △CDF =S △CAF +S △CDF = S △ACD . 设 △ABC 的 BC 边上的高为 h ， ∴S △ABD = 1 2 h · BD ， S △ACD = 1 2 h · CD. ∵CD=2BD ， S △ABC =9 ， ∴S △ACD =6. ∴S △ABE +S △CDF =6. * 13. 解： （ 1 ） 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= （ 180°-∠A ） ÷2=50° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B=180°-2×80°=20° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=80°. 故 ∠B=50° 或 20° 或 80°. （ 2 ） 分两种情况： ① 当 90≤x＜180 时， ∠A 只能为顶 角， ∴∠B 的度数只有一个 . ② 当 0＜x＜90 时， 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= 180-x 2 2 ' ° . 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B= （ 180-2x ） ° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=x°. 当 180-x 2 ≠180-2x 且 180-2x≠x 且 180-x 2 ≠x ， 即 x≠60 时， ∠B 有 三个不同的度数 . 综上所述， 可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时， ∠B 有三个不同的度数 . * 14. 解： （ 1 ） ∠DAC 的度数不会改变 . ∵EA=EC ， ∴∠CAE=∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=90° ， ∴∠B=180°-∠BAE- ∠AED=90°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB. ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 90°-2∠C ）］ =45°+∠C. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°- （ 45°+∠C ） =45°-∠C ， ∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°. （ 2 ） ∵EA=EC ， ∴∠CAE= ∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=n° ， ∴∠B=180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB ， ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 180°-n°-2∠C ）］ = 1 2 n°+∠C ， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°- 1 2 n°-∠C= 1 2 n°-∠C. ∴∠DAC= ∠DAE+∠CAE= 1 2 n°-∠C+∠CAE= 1 2 n°. 15. 52° 16. 4 17. 6 18. 100° 19. C 20. B 21. B 22. 证明： ∵△ACD ， △BCE 分别是以 AC ， BC 为底边的等腰三角形， ∴AD=DC ， CE=BE. ∴∠A=∠DCA ， ∠ECB= ∠CBE. ∵∠A=∠CBE ， ∴∠A=∠ECB=∠DCA=∠CBE. ∴CD∥BE.∴∠DCE=∠CEB. ∵EF=AD ， AD=DC ， ∴EF=DC. 又 ∵CE= BE ， ∴△DCE≌△FEB （ SAS ） . ∴DE=BF. 1 等腰三角形 （第 2 课时） 1. 240 2. 40 3. 15° 4. 12 5. D 6. 解： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∴∠ACD=120°. ∵CG=CD ， ∴∠CDG=∠CGD= 1 2 （ 180°－∠ACD ） =30°. ∴∠FDE=150°. ∵DF=DE ， ∴∠E=∠EFD= 1 2 （ 180°－∠FDE ） =15°. 7. （ 1 ） 解： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠B=∠A=∠C=60° . ∵∠B+∠1+∠DEB=180° ， ∠DEB+∠DEF+∠2=180° ， ∠DEF=60° ， ∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB. ∴∠2=∠1=50°. （ 2 ） 证明： ∵DF∥BC ， ∴∠2=∠3. 又由 （ 1 ） 知， ∠1=∠2 ， ∴∠1=∠3． 8. 解： （ 1 ） ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴ ∠CBE=∠ACD. ∵∠BCD+∠ACD=60° ， ∴∠BCD+∠CBE=60° . 又 ∵∠CPE=∠BCD+∠CBE ， ∴∠CPE=60° . （ 2 ） ∵ △ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. ∵∠BCE=180°-∠ACB ， ∠CAD=180°-∠BAC ， ∴∠BCE=∠CAD= 120° . 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴∠BEC=∠ADC. ∵∠ECP=∠ACD ， ∴∠BEC+ ∠CPE=∠ADC+∠CAD. ∴∠CPE=∠CAD=120°. 9. （ 1 ） 证明： ∵△ABC 与 △ECD 是等边三角形， ∴AC=BC ， DC=EC ， ∠B=∠ACB=∠DCE= 60°． 又 ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD ， ∠ACE=∠DCE-∠ACD ， ∴∠BCD=∠ACE. ∴△ACE≌△BCD （ SAS ） . ∴∠CAE=∠CBD=60°． ∴∠CAE=∠ACB． ∴AE∥BC. （ 2 ） 补画的图形如图所示， （ 1 ） 的结论仍然成立 . 证明如下： 同 （ 1 ） 方法可证 △ACE≌ △BCD ， ∴∠CAE=∠CBD． ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60° ． ∴∠CAE= ∠CBD=120°． ∴∠BAE=∠CAE-∠BAC=60°. ∴∠BAE=∠ABC. ∴AE∥BC. 10. 1+ 3 姨 11. B 1 等腰三角形 （第 3 课时） 1. 55° 和 55° 或 70° 和 40° 2. 6 或 7 3. 42 4. D 5. B 6. C 7. 证明： ∵CE 是 ∠ACB 的平分线， ∴∠FCE=∠BCE. ∵EF∥BC ， ∴∠FEC=∠BCE. ∴∠FCE=∠FEC. ∴FE=FC. ∴△FEC 是等腰三角形 ． 8. 证明： ∵∠BAC=90° ， ∴∠ABE+∠AEB=90°. ∵AD⊥BC ， ∴∠DBF+∠BFD=90°. ∵∠ABE=∠CBE ， ∴∠AEB=∠BFD. E A B C D 第 9 题答图 179